新教材2023_2024学年高中数学第二章圆锥曲线测评北师大版选择性必修第一册

第二章测评

一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

1.抛物线y=ax2(a≠0)的准线方程是y-2=0,则a的值是(　　)

A. B.- C.8 D.-8

2.若将一个椭圆绕其中心旋转90°,所得椭圆的其中两顶点恰好是旋转前椭圆的两焦点,这样的椭圆称为“对偶椭圆”.下列椭圆中是“对偶椭圆”的是(　　)

A.=1 B.=1

C.=1 D.=1

3.已知0<θ<,则双曲线C1:=1与C2:=1的(　　)

A.实轴长相等 B.虚轴长相等

C.离心率相等 D.焦距相等

4.若ab≠0,则ax-y+b=0和bx2+ay2=ab所表示的曲线是(　　)

5.[2021全国乙,文11]设B是椭圆C:+y2=1的上顶点,点P在C上,则|PB|的最大值为(　　)

A. B. 

C. D.2

6.[2021新高考Ⅰ,5]已知F1,F2是椭圆C:=1的两个焦点,点M在C上,则|MF1|·|MF2|的最大值为(　　)

A.13 B.12 C.9 D.6

7.如图所示,双曲线=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别是F1,F2,过F1作倾斜角为30°的直线交双曲线右支于点M,连接MF2,若MF2垂直于x轴,则双曲线的离心率为(　　)

A. B. C. D.

8.我们把焦点相同,且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”,已知F1,F2是一对相关曲线的焦点,P是椭圆和双曲线在第一象限的交点,当∠F1PF2=60°时,这一对相关曲线中双曲线的离心率是(　　)

A. B. C. D.2

二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.

9.设圆锥曲线C的两个焦点分别为F1,F2,若曲线C上存在点P满足|PF1|∶|F1F2|∶|PF2|=4∶3∶2,则曲线C的离心率可以是(　　)

A. B. C. D.2

10.已知C:mx2+ny2=1,下列说法正确的是(　　)

A.若m=0,n>0,则C是两条直线

B.若m=n>0,则C是圆,其半径为

C.若m>n>0,则C是椭圆,其焦点在x轴上

D.若mn<0,则C是双曲线,其渐近线方程为y=±x

11.已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的离心率为,右顶点为A,以点A为圆心,b为半径作圆A,圆A与双曲线C的一条渐近线交于M,N两点,则有(　　)

A.渐近线方程为y=±x

B.渐近线方程为y=±x

C.∠MAN=60°

D.∠MAN=120°

12.已知椭圆C1:=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为e1,椭圆C1的上顶点为M,且=0,双曲线C2和椭圆C1有相同焦点,且双曲线C2的离心率为e2,P为曲线C1与C2的一个公共点,若∠F1PF2=,则有(　　)

A.=2 B.e1·e2=

C. D.=1

三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.

13.若抛物线y2=mx的准线与直线x=1的距离为3,则抛物线的方程为　　　　　　　. 

14.已知椭圆的中心在原点,长半轴长为a,短半轴长为b,且经过点P(3,0),a=3b,则椭圆的标准方程为　　　　　　　. 

15.如图所示,某桥是抛物线形拱桥,当水面在l时,拱顶离水面2 m,水面宽4 m.水位下降1 m后,水面宽为　　　　　米. 

16.[2021全国甲,理15]已知F1,F2为椭圆C:=1的两个焦点,P,Q为C上关于坐标原点对称的两点,且|PQ|=|F1F2|,则四边形PF1QF2的面积为　　　　　. 

四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.(10分)中心在原点,焦点在x轴上的一个椭圆与一双曲线有共同的焦点F1,F2,且|F1F2|=2,椭圆的长半轴长与双曲线的实半轴长之差为4,离心率之比为3∶7,求这两条曲线的标准方程.

18.(12分)如图所示,已知椭圆C的两焦点分别为F1(-1,0),F2(1,0),P为椭圆上一点,且2|F1F2|=|PF1|+|PF2|.

(1)求椭圆C的标准方程;

(2)若点P在第二象限,∠F2F1P=120°,求△PF1F2的面积.

19.(12分)

如图,已知抛物线y2=2px(p>0)上一点M(2,m)到焦点F的距离为3,直线l与抛物线交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,且y1>0,y2<0,=12(O为坐标原点).

(1)求抛物线的方程;

(2)求证:直线l过定点.

20.(12分)已知椭圆C:=1(a>b>0)的离心率为,点(2,)在椭圆C上.

(1)求椭圆C的方程;

(2)直线l不过原点O且不平行于坐标轴,l与椭圆C有两个交点A,B,线段AB的中点为M,证明:直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值.

21.(12分)[2021全国乙,理21]已知抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F,且F与圆M:x2+(y+4)2=1上点的距离的最小值为4.

(1)求p;

(2)若点P在M上,PA,PB是C的两条切线,A,B是切点,求△PAB面积的最大值.

22.(12分)[2021新高考Ⅰ,21]在平面直角坐标系xOy中,已知点F1(-,0),F2(,0),点M满足|MF1|-|MF2|=2.记M的轨迹为C.

(1)求C的方程;

(2)设点T在直线x=上,过T的两条直线分别交C于A,B两点和P,Q两点,且|TA|·|TB|=|TP|·|TQ|,求直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和.

参考答案

第二章测评

1.B　将抛物线方程化为标准形式得x2=y,其准线方程为y=-=2,所以a=-.

2.A　由题意,当b=c时,椭圆为“对偶椭圆”.故只有A选项中b=c=2.

3.D

4.C　方程可化为y=ax+b和=1.对于选项A,由双曲线的位置得,a<0,b>0,由直线的位置得,a>0,b>0,矛盾,错误;对于选项B,由椭圆知a,b∈(0,+∞),但由直线的位置得,a<0,b<0,矛盾,错误;对于选项C,由双曲线的位置得,a>0,b<0,直线中a>0,b<0,一致;对于选项D,由椭圆知a,b∈(0,+∞),由直线的位置得,a<0,b>0,矛盾,错误.

5.A　(方法一)由椭圆方程可得a=,b=1,

故椭圆的上顶点为B(0,1).

设P(x,y),则有+y2=1,故x2=5(1-y2),

由椭圆的性质可得-1≤y≤1.

则|PB|2=x2+(y-1)2=5(1-y2)+(y-1)2=-4y2-2y+6=-4y2++6=-4y+2+.

因为-1≤y≤1,所以当y=-时,|PB|2取得最大值,且最大值为,所以|PB|的最大值为.

(方法二)由题意可设P(cosθ,sinθ)(θ∈R),又B(0,1),则|PB|2=5cos2θ+(sinθ-1)2=5cos2θ+sin2θ-2sinθ+1=-4sin2θ-2sinθ+6=-4sinθ+2+,

于是当sinθ=-时,|PB|2最大,

此时|PB|2=,故|PB|的最大值为.

6.C　由题意知|MF1|+|MF2|=2a=6,

则=3,

则|MF1|·|MF2|≤9,当且仅当|MF1|=|MF2|=3时,等号成立.故|MF1|·|MF2|的最大值为9.故选C.

7.B　8.A

9.AC

10.AD　已知C:mx2+ny2=1,

若m=0,n>0,则C是两条直线:y=和y=-,所以A项正确;

若m=n>0,则C是圆,其半径为,所以B项错误;

若m>n>0,则C是椭圆,因为0<,所以其焦点在y轴上,所以C项错误;

若mn<0,则C是双曲线,其渐近线方程为y=±x,所以D项正确.

故选AD.

11.BC　如图,双曲线C:=1的渐近线方程为y=±x,离心率为,

则=1+,则=±,

故渐近线方程为y=±x,B项正确.

不妨设圆A与y=x相交,取MN的中点P,

连接AP,则点A到其中一条渐近线的距离d=|AP|=,

在△PAN中,cos∠PAN=,

∴cos∠MAN=cos2∠PAN=2cos2∠PAN-1=2×-1=,则∠MAN=60°,C项正确.

12.BD　因为=0且||=||,故三角形MF1F2为等腰直角三角形,

设椭圆的半焦距为c,则c=b=a,所以e1=.

在焦点三角形PF1F2中,设|PF1|=x,|PF2|=y,双曲线C2的实半轴长为a',则故xy=c2,

从而(x-y)2=x2+y2-xy-xy=,

所以(a')2=即e2=,故,e2e1==2,=1.故选BD.

13.y2=8x或y2=-16x　抛物线的准线方程为x=-,故1--=3,解得m=8或-16.所以所求抛物线的方程为y2=8x或y2=-16x.

14.=1或+y2=1　当焦点在x轴上时,设椭圆方程为=1(a1>b1>0).由椭圆过点P(3,0),代入得=1,又a1=3b1,得=1,=9,故椭圆的标准方程为+y2=1.当焦点在y轴上时,设椭圆方程为=1(a2>b2>0).由椭圆过点P(3,0),知=1,又a2=3b2,得=81,=9,故椭圆的标准方程为=1.所以椭圆的标准方程为=1或+y2=1.

15.2　以拱顶为坐标原点建立直角坐标系,水平向右为x轴正方向,竖直向上为y轴正方向.设抛物线方程为x2=-2py(p>0),将点(-2,-2)代入x2=-2py,解得p=1,∴x2=-2y.水位下降1m后,设直线y=-3与抛物线的交点为(x0,-3),则有=6,解得x0=±,∴水面宽为2m.

16.8　设坐标原点为O,由题意得a=4,b=2,c=2,

则|PQ|=|F1F2|=4.

∵|OQ|=|OF1|=|OF2|=2,

∴QF1⊥QF2,即四边形PF1QF2为矩形.

∵|QF1|+|QF2|=2a=8,|QF1|2+|QF2|2=|F1F2|2=48,

∴|QF1|·|QF2|=[(|QF1|+|QF2|)2-(|QF1|2+|QF2|2)]=8,即四边形PF1QF2的面积为8.

17.解 设椭圆的方程为=1(a1>b1>0),

双曲线的方程为=1(a2>0,b2>0),由题知半焦距c=,

由已知,得a1-a2=4,=3∶7,

解得a1=7,a2=3,所以=36,=4,

所以两条曲线的方程分别为=1,=1.

18.解 (1)设椭圆C的标准方程为=1(a>b>0),焦距为2c,则由已知得c=1,|F1F2|=2,

所以4=|PF1|+|PF2|=2a,所以a=2,

所以b2=a2-c2=4-1=3,

所以椭圆C的标准方程为=1.

(2)在△PF1F2中,|PF2|=2a-|PF1|=4-|PF1|.

由余弦定理,得|PF2|2=|PF1|2+|F1F2|2-2|PF1|·|F1F2|·cos120°,

即(4-|PF1|)2=|PF1|2+4+2|PF1|,解得|PF1|=,

所以|F1F2|·|PF1|·sin120°=×2×.

19.(1)解 由题意可得2+=3,p=2,

所以抛物线方程为y2=4x.

(2)证明 设直线l方程为x=my+t(t>0),

代入抛物线方程y2=4x中,消去x,得y2-4my-4t=0.

y1y2=-4t,x1x2=(y1y2)2=t2.

=x1x2+y1y2=+y1y2=t2-4t=12.

解得t=6或t=-2(舍去),所以直线l的方程为x=my+6,直线过定点Q(6,0).

20.(1)解 由题意,得e=, ①

又点(2,)在椭圆C上,所以代入椭圆方程,得=1, ②

联立①②,可解得a2=8,b2=4.

所以椭圆C的方程为=1.

(2)证明 由题意知,直线l的斜率存在且不为0.

设直线l:y=kx+m(k≠0,m≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),M(xM,yM).

将y=kx+m代入=1,

得(2k2+1)x2+4kmx+2m2-8=0.

故xM=,yM=kxM+m=.

所以直线OM的斜率kOM==-,

所以kOM·k=-.

故直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值,该值为-.

21.解 (1)点F到圆M上的点的距离的最小值为|FM|-1=+4-1=4,解得p=2.

(2)由(1)知,抛物线的方程为x2=4y,即y=x2,则y'=x.

设切点A(x1,y1),B(x2,y2),则易得直线lPA:y=x-,直线lPB:y=x-,从而得到P,设直线lAB:y=kx+b,联立抛物线方程,消去y并整理可得x2-4kx-4b=0,

∴Δ=16k2+16b>0,即k2+b>0,且x1+x2=4k,x1x2=-4b,∴P(2k,-b).

∵|AB|=,点P到直线AB的距离d=,

∴S△PAB=|AB|d=4(k2+b,①

又点P(2k,-b)在圆M:x2+(y+4)2=1上,故k2=,代入①得,S△PAB=4,

而yP=-b∈[-5,-3],

∴当b=5时,(S△PAB)max=20.

22.解 (1)∵|MF1|-|MF2|=2,且F1(-,0),F2(,0),

∴点M的轨迹为双曲线的右支,且满足

∴∴C的方程为x2-=1(x≥1).

(2)设T,显然直线AB的斜率与直线PQ的斜率都存在.

设直线AB的方程为y=k1+m,A(x1,y1),B(x2,y2),由

得16x2-+2k1m+m2=16,

即(16-)x2+(-2k1m)x-+k1m-m2-16=0.

∴|TA|·|TB|=(1+)x1-x2-=(1+)x1x2-(x1+x2)+=(1+)·=(1+)·=(1+)·.

设kPQ=k2,同理可得|TP|·|TQ|=(1+)·.

∵|TA|·|TB|=|TP|·|TQ|,

∴(1+)·=(1+)·.

∴-16-16.∴.

∵k1≠k2,∴k1=-k2.∴k1+k2=0.

即直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和为0.