2022届新教材北师大版圆锥曲线单元测试含答案16

2022届新教材北师大版  圆锥曲线   单元测试

1、双曲线－=1的渐近线方程是（    ）

A． y=±x       B． y=±x       C． y=±x         D． y=±

2、抛物线的准线方程为（    ）

A． B． C． D．

3、过抛物线y2＝4x的顶点O作互相垂直的两弦OM，ON，则M的横坐标x1与N的横坐标x2之积为(　　)．

A．64      B．32   C．16      D．4

4、双曲线的一条渐近线与直线平行，则双曲线的离心率为（　　）

A．    B．    C．    D．

5、

设分别是椭圆的左，右焦点，过点的直线交椭圆于两点，若的面积是的三倍，，则椭圆的离心率为（    ）

A．     B．     C．     D．

6、

已知双曲线，四点，，，中恰有三点在双曲线上，则该双曲线的离心率为（   ）

A．     B．     C．     D．

7、过椭圆的一个焦点且斜率存在的直线与椭圆交于，两点，则，与该椭圆的另一个焦点构成的三角形的周长是（   ）

A．8    B．4    C．    D．

8、以双曲线的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为(　　)

A．    B．    C．    D．

9、设，是双曲线C：的左、右焦点，O是坐标原点，点P在双曲线C的右支上且，的面积为，则双曲线C的离心率为　　

A． B． C．4 D．2

10、已知曲线（是参数），过点作直线与曲线有且仅有一个

公共点，则这样的直线有（    ）

A．1条 B．2条 C．3条 D．4条

11、下列说法正确的是（    ）

A．到点的距离之和等于8的点的轨迹是椭圆

B．到点的距离之和等于6的点的轨迹是椭圆

C．到点的距离之和等于12的点的轨迹是椭圆

D．到点距离相等的点的轨迹是椭圆

12、已知椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上，若，则（   ）

A.     B.     C.     D.

13、已知、、是椭圆上的三个动点，若右焦点是的重心，则的值是          

14、椭圆上一点到右准线的距离为，则该点到左焦点的距离为            

15、设F1、F2是椭圆E：的左、右焦点，P为直线上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为          

16、若命题p：曲线－＝1为双曲线，命题q：函数f(x)＝(4－a)x在R上是增函数，且p∨q为真命题，p∧q为假命题，则实数a的取值范围是________．

17、已知F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，过定点M(0,2)的直线l与椭圆交于不同的两点A，B，且∠AOB(O为坐标原点)为锐角，求直线l的斜率k的取值范围．

18、已知椭圆及直线：．

（1）当直线和椭圆有公共点时，求实数的取值范围；

（2）求被椭圆截得的最长弦长及此时直线的方程．

19、设椭圆(a＞b＞0)的左、右顶点分别为A，B，点P在椭圆上且异于A，B两点，O为坐标原点．

(1)若直线AP与BP的斜率之积为，求椭圆的离心率；

(2)若|AP|＝|OA|，证明直线OP的斜率k满足．

20、已知椭圆:()过点,其左、右焦点分别为,

且.

(1)求椭圆的方程;

(2)若是直线上的两个动点,且,则以为直径的圆是否过定点？请说明理由

21、双曲线与椭圆有相同焦点，且经过点，求双曲线的方程 

22、设椭圆M：的离心率与双曲线E:的离心率互为倒数，且椭圆的右顶点是抛物线C:的焦点．

（1）求椭圆M的方程；

（2）已知N(1，0)，若点P为椭圆M上任意一点，求的最值．

参考答案

1、答案A

2、答案C

根据抛物线方程求得，由此求得准线方程.

详解

抛物线的方程为，所以，所以抛物线的准线方程是.

故选：C

3、答案C　

由已知设OM的斜率为k，则ON的斜率为．

从而OM的方程为y＝kx，联立方程解得M的横坐标．同理可得N的横坐标x2＝4k2，可得x1x2＝16．

4、答案B

由双曲线的一条渐近线与直线平行，可知双曲线的一条渐近线方程为，即，从而可解得，再利用离心率的求解公式直接求解即可.

详解

双曲线，即，可知.

此双曲线的一条渐近线与直线平行，

所以双曲线的一条渐近线方程为，即.

因为双曲线的渐近线方程为.

所以有，解得.

则双曲线方程为：，有.

则双曲线的离心率为：.

故选B.

名师点评

本题主要考查了双曲线的渐近线及离心率，属于常规题型.

5、答案D

分析：设，由题意结合椭圆的定义和余弦定理可得是等腰直角三角形，则椭圆的离心率.

详解：设，依题意可得：，，

，.

，在中，由余弦定理可得：

，

，

化简可得：，而，故，，

，，，

，是等腰直角三角形.

，椭圆的离心率.

本题选择D选项.

名师点评：椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：

①求出a，c，代入公式；

②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝a2－c2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．

6、答案C

分析：先判断，在双曲线上，则一定不在双曲线上，则在双曲线上，则可得，求出 ，再根据离心率公式计算即可．

详解：根据双曲线的性质可得，在双曲线上，则一定不在双曲线上，则在双曲线上，解得

 故选C．

名师点评：本题考查了双曲线的简单性质和离心率的求法，属于基础题

7、答案A

根据椭圆的定义可知，三角形周长等于4.

详解

由可得：，

所以，

过焦点且斜率存在的直线与椭圆交于，两点，则，与该椭圆的另一个焦点构成的三角形的周长为.

故选A.

名师点评

本题主要考查了椭圆的定义，椭圆的标准方程，属于中档题.

8、答案D

由知，所以，，双曲线焦点为，

顶点为，因此椭圆的顶点是，焦点是，所以，椭圆的标准方程为，故选B．

考查目的：1.双曲线的简单几何性质；2.椭圆的的标准方程．

思路点晴本题主要考查的是双曲线的定义及简单几何性质，椭圆的标准方程，属于中档题．解决问题时首先分析出双曲线的焦点坐标、顶点坐标，然后得到椭圆的的焦点和顶点，写出长半轴和半焦距的长，再根据椭圆的简单几何性质求出椭圆的半长轴的长，利用焦点坐标分析出椭圆的方程形式，写出所求椭圆．

9、答案B

由直角三角形的判定定理可得为直角三角形，且，由双曲线的定义，可得，结合三角形的面积，可得双曲线的离心率．

详解

由，可得，即为直角三角形，且，

因为的面积为，故，

又因为，所以

即，故双曲线C的离心率为：，故选：B．

名师点评

圆锥曲线中的离心率的计算，关键是利用题设条件构建关于的一个等式关系．而离心率的取值范围，则需要利用坐标的范围、几何量的范围或点的位置关系构建关于的不等式或不等式组．

．

10、答案B

先由曲线的参数方程消去参数，化为普通方程，再判断定点与曲线关系，进而可得出结果.

详解

由消去参数可得；

又，因此点在双曲线右支的内部，

由双曲线的特征可知，当直线分别与双曲线的两条渐近线平行时，满足直线与双曲线只有一个公共点，

因此，这样的直线只有2条.

故选B

名师点评

本题主要考查双曲线的特征以及直线与双曲线的位置关系，熟记双曲线的性质即可，属于常考题型.

11、答案C

选项，到点的距离之和等于8的点的轨迹是线段，所以该选项错误；选项，轨迹不存在，所以该选项错误；选项，该轨迹是椭圆，所以该选项正确；选项，点的轨迹是线段的垂直平分线，所以该选项错误．

详解：对于选项，，故到点的距离之和等于8的点的轨迹是线段，所以该选项错误；

对于选项，到点的距离之和等于6的点的轨迹不存在，所以该选项错误；

对于选项，根据椭圆的定义，知该轨迹是椭圆，所以该选项正确；

对于选项，点的轨迹是线段的垂直平分线，所以该选项错误．

故选：C

名师点评

本题主要考查椭圆的定义和轨迹，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

12、答案D

∵椭圆，∴，，

∵，，∴，

∴.故选D.

13、答案5

14、答案　

15、答案

试题分析：根据题意，由于F1、F2是椭圆E：的左、右焦点，P为直线上一点，那么结合△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，F2F1=F2P=2c, .

16、答案 (－∞，2]∪[3,6)

17、答案

试题分析：设直线l：y＝kx＋2，联立直线方程和椭圆方程得到韦达定理，再由＝x1x2＋y1y2>0和Δ＝(4k)2－12＝4k2－3>0得到直线l的斜率k的取值范围．

详解

显然直线x＝0不满足题设条件，故设直线l：y＝kx＋2，A(x1，y1)，B(x2，y2)．

联立消去y并整理，得x2＋4kx＋3＝0.

所以x1＋x2＝－，x1x2＝.

由Δ＝(4k)2－12＝4k2－3>0，得k>或k<－.①

又0°<∠AOB<90°？cos∠AOB>0？>0，

所以＝x1x2＋y1y2>0.

又y1y2＝(kx1＋2)(kx2＋2)＝k2x1x2＋2k(x1＋x2)＋4＝，

所以>0，即k2<4.

所以－2<k<2.②

综合①②，得直线l的斜率k的取值范围为.

名师点评

（1）本题主要考查直线和椭圆的位置关系，考查平面向量的数量积，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)解答本题的关键是把∠AOB(O为坐标原点)为锐角转化为＝x1x2＋y1y2>0.

18、答案（1）；（2）当时，取最大值为，此时直线方程为．

19、答案解：设椭圆C的左焦点F关于直线l：2x＋y＝0的对称点为P(x0，y0)，

则有

解得，．

∵P在圆x2＋y2＝4上，∴．

∴a2＝8，b2＝(1－e2)a2＝4．

故椭圆C的方程为，点P的坐标为．

设点P的坐标为(x0，y0)．

由题意，有．①

由A(－a,0)，B(a,0)，得，．

由kAP·kBP＝，可得x02＝a2－2y02，代入①并整理得(a2－2b2)y02＝0．

由于y0≠0，故a2＝2b2．于是，

所以椭圆的离心率．

解：证明：(方法一)

依题意，直线OP的方程为y＝kx，设点P的坐标为(x0，y0)．由条件得

消去y0并整理得．②

由|AP|＝|OA|，A(－a,0)及y0＝kx0，

得(x0＋a)2＋k2x02＝a2．整理得

(1＋k2)x02＋2ax0＝0．而x0≠0，

于是，代入②，整理得

(1＋k2)2＝．

由a＞b＞0，故(1＋k2)2＞4k2＋4，

即k2＋1＞4，因此k2＞3．所以．

(方法二)

依题意，直线OP的方程为y＝kx，可设点P的坐标为(x0，kx0)，由点P在椭圆上，有．

因为a＞b＞0，kx0≠0，

所以，即(1＋k2)x02＜a2．③

由|AP|＝|OA|，A(－a,0)，

得(x0＋a)2＋k2x02＝a2，

整理得(1＋k2)x02＋2ax0＝0，于是x0＝．

代入③，得(1＋k2)＜a2，解得k2＞3，

所以．

20、答案(1)设点的坐标分别为,

则

故,可得,

所以,

故,

所以椭圆的方程为.

(2)设的坐标分别为,则,

又,可得,即,

又圆的圆心为半径为,

故圆的方程为,

即,

也就是,

令,可得或2,

故圆必过定点和.

21、答案解：，可设双曲线方程为,

点在曲线上，代入得，。

，可设双曲线方程为,

点在曲线上，代入得，。

22、答案（1）；（2），.

试题分析：分析：（1）求出的离心率与抛物线C:的焦点，结合性质，从而列出关于、、的方程组，求出、即可得结果；（2）设P点坐标为，则，，利用配方法可得结果.

详解：(1)由题可知，双曲线E的离心率为，抛物线C的焦点为(2，0)

则椭圆M的离心率e＝＝，

由得a＝2，c＝，b＝，

所以故椭圆M的方程为．

(2)设P点坐标为，则，

，.

名师点评：本题主要考查待定系数法求椭圆方程及圆锥曲线求最值，属于难题.解决圆锥曲线中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法求解.