新教材2023版高中数学第二章圆锥曲线章末复习课学案北师大版选择性必修第一册

这是一份新教材2023版高中数学第二章圆锥曲线章末复习课学案北师大版选择性必修第一册，共9页。

第二章　章末复习课题型一　定点问题例1　设椭圆C：＝1(a>b>0)，F1，F2为左右焦点，B为短轴端点，长轴长为4，焦距为2c，且b>c，△BF1F2的面积为.(1)求椭圆C的方程；(2)设动直线l：y＝kx＋m与椭圆C有且仅有一个公共点M，且与直线x＝4相交于点N.试探究：在坐标平面内是否存在定点P，使得以MN为直径的圆恒过点P？若存在求出点P的坐标，若不存在．请说明理由．方法归纳求解直线和曲线过定点问题的基本解题模板是：把直线或曲线方程中的变量x，y当作常数，把方程一端化为零，既然是过定点，那么这个方程就要对变量的任意一个值都成立，这时变量的系数就要全部等于零，这样就得到一个关于x，y的方程组，这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点．跟踪训练1　已知抛物线E：x2＝2py(p>0)的焦点为F，A(2，y0)是E上一点，且|AF|＝2.(1)求E的方程；(2)设点B是E上异于点A的一点，直线AB与直线y＝x－3交于点P，过点P作x轴的垂线交E于点M，证明：直线BM过定点．题型二　定值问题例2　已知抛物线C：y2＝2px经过点P(1，2)．过点Q(0，1)的直线l与抛物线C有两个不同的交点A，B，且直线PA交y轴于M，直线PB交y轴于N.(1)求直线l的斜率的取值范围；(2)设O为原点，＝λ＝μ，求证：为定值．方法归纳解析几何中的定值问题是指某些几何量(线段的长度、图形的面积、角的度数、直线的斜率等)的大小或某些代数表达式的值和题目中的变量无关，始终是一个确定的值，对于定值问题常见的解题模板有两种：从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；②可以先研究一下特殊情况，找出定点或定值，再研究一般情况．同时，要掌握巧妙利用特殊值解决相关的定点、定值问题的方法，如将过焦点的弦特殊化，变成垂直于对称轴的弦来研究等．跟踪训练2　已知O为坐标原点，点F1，F2分别为椭圆M：＝1(a>b>0)的左、右焦点，点E(a，b)在抛物线N：x2＝y上，直线EF2与椭圆M的一个交点为F，且线段EF的中点恰为F2.(1)求椭圆M的标准方程；(2)过抛物线N上一点P且与抛物线N相切的直线l与椭圆M相交于A，B两点，设AB的中点为C，直线OP与直线OC的斜率分别是k1，k2，证明：k1k2为定值．题型三　最值问题例3　已知椭圆C：＝1(a>b>0)的离心率e＝，左顶点为A(－2，0)．过点A作直线l交椭圆C于另一点D，交y轴于点E，点O为坐标原点．(1)求椭圆C的方程；(2)已知P为AD的中点，是否存在定点Q，对任意的直线l，⊥恒成立？若存在，求出点Q的坐标；若不存在说明理由；(3)过O点作直线l的平行线与椭圆C相交，M为其中一个交点，求的最大值．方法归纳构建关于变量的目标函数，转化为求函数的值域或最值，常利用二次函数的相关知识或基本不等式求解．面积、弦长、含变量的代数式的最值问题，常选用此法，解决问题时要注意自变量的取值范围．跟踪训练3　顺次连接椭圆C：＝1(a>b>0)的四个顶点恰好构成了一个边长为且面积为4的菱形．(1)求椭圆C的标准方程；(2)设直线l与椭圆C相切于点A，过点O作OM⊥l，垂足为M，求△AMO面积的最大值．题型四　范围问题例4　抛物线C：y＝x2，直线l的斜率为2.(1)若l与C相切，求直线l的方程；(2)若l与C相交于A，B，线段AB的中垂线交C于P，Q，求的取值范围．方法归纳范围问题的解题策略解决有关范围问题时，先要恰当地引入变量(如点的坐标、角、斜率等)，寻找不等关系，其方法有：1．利用判别式或几何性质来构造不等式，从而确定所求范围；2．利用已知参数的取值范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是在两个参数之间建立相等关系；3．利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出所求范围；4．利用已知不等关系构造不等式，从而求出所求范围；5．利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定所求范围；6．利用已知，将条件转化为n个不等关系，从而求出参数的范围．跟踪训练4　已知椭圆C：＝1(a>b>0)，四点P1(2，0)，P2()，P3(1，)，P4(－1，)中恰有三点在椭圆上．(1)求椭圆C的方程；(2)设不经过左焦点的直线l交椭圆于A，B两点，若直线AF1、l、BF1的斜率依次成等差数列，求直线l的斜率k的取值范围．章末复习课考点聚集·分类突破例1　解析：(1)由题意知解得：故椭圆C的方程是＝1.(2)由得(4k2＋3)x2＋8kmx＋4m2－12＝0.因为动直线l与椭圆C有且只有一个公共点M(x0，y0)，所以m≠0且Δ＝0，即64k2m2－4(4k2＋3)(4m2－12)＝0，化简得4k2－m2＋3＝0.①此时x0＝－＝－，y0＝kx0＋m＝，所以M(－)，由得N(4，4k＋m)．假设平面内存在定点P满足条件，由图形对称性知，点P必在x轴上．设P(x1，0)，则·＝0对满足①式的m、k恒成立．因为＝(－－x1，)，＝(4－x1，4k＋m)，由·＝0，得＋＋3＝0，整理得解得x1＝1.故存在定点P(1，0)，使得以MN为直径的圆恒过点P.跟踪训练1　解析：(1)根据题意知，4＝2py0，①因为|AF|＝2，所以y0＋＝2.②联立①②解得y0＝1，p＝2.所以E的方程为x2＝4y.(2)证明：设B(x1，y1)，M(x2，y2)由题意，可设直线BM的方程为y＝kx＋b，代入x2＝4y，得x2－4kx－4b＝0.根与系数的关系．得x1＋x2＝4k，x1x2＝－4b.③由MP⊥x轴及点P在直线y＝x－3上，得P(x2，x2－3)，则由A，P，B三点共线，得＝，整理，得(k－1)x1x2－(2k－4)x1＋(b＋1)x2－2b－6＝0.将③代入上式并整理，得(2－x1)(2k＋b－3)＝0.由点B的任意性，得2k＋b－3＝0，所以y＝kx＋3－2k＝k(x－2)＋3.即直线BM恒过定点(2，3)．例2　解析：(1)因为抛物线y2＝2px过点(1，2)，所以2p＝4，即p＝2.故抛物线C的方程为y2＝4x.由题意知，直线l的斜率存在且不为0.设直线l的方程为y＝kx＋1(k≠0)．由得k2x2＋(2k－4)x＋1＝0.依题意Δ＝(2k－4)2－4×k2×1>0，解得k<0或00，b>－1，x1＋x2＝2，x1x2＝－b，所以|AB|＝|x1－x2|＝2，因为AB的中点为(1，2＋b)，所以直线PQ的方程为y＝－x＋＋b，联立可得x2＋x－－b＝0，所以x3＋x4＝－，x3x4＝－－b，所以|PQ|＝|x3－x4|＝，＝＝>，所以的取值范围为(，＋∞)．跟踪训练4　解析：(1)由椭圆的对称性，点P3，P4在椭圆上，代入椭圆，可得＝1，若点P2()在椭圆上，则有＝1，联立无解，所以点P1(2，0)在椭圆上，代入椭圆，可得a2＝4，代入＝1中，解得b2＝3，所以椭圆C的方程为＝1.(2)由(1)可知F1(－1，0)，设直线AB的方程为，y＝kx＋m(k≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立，消y，可得(3＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－12＝0，则有x1＋x2＝－，x1x2＝，且Δ＝(8km)2－4(3＋4k2)(4m2－12)＝48(4k2＋3－m2)>0①由题意可知，2k＝＝＝，化简整理，可得(m－k)(x1＋x2＋2)＝0，若m－k＝0，则直线AB的方程为y＝k(x＋1)，过点F1(－1，0)，不满足题意，所以x1＋x2＋2＝0，即－＋2＝0，化简可得，m＝k＋，代入①中得，4k2＋3>(k＋)2，整理可得16k4＋8k2－3>0，解得k2>，所以直线l的斜率k的取值范围为k>或k<－.