2022届新教材北师大版圆锥曲线单元测试含答案17

2022届新教材北师大版  圆锥曲线    单元测试

1、已知双曲线C：，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M、N.若OMN为直角三角形，则|MN|=

A． B．3 C． D．4

2、已知双曲线的右焦点与抛物线y2＝12x的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于(　　)．

A．      B．   C．3        D．5

3、等腰直角三角形ABO内接于抛物线y2＝2px(p>0)，O为抛物线的顶点，OA⊥OB，则△ABO的面积是(　　)

A． 8p2    B． 4p2    C． 2p2    D． p2

4、已知双曲线的离心率为，焦点到渐近线的距离为，则双曲线的焦距等于（     ）

A． B． C． D．

5、

设、是椭圆的左、右焦点，过的直线交椭圆于，两点，若的最大值为5，则椭圆的离心率为

A．     B．

C．     D．

6、

已知焦点在轴上的双曲线的一条渐近线的倾斜角为，且其焦点到渐近线的距离为，则该双曲线的标准方程是(    )

A．     B．     C．     D．

7、中心在原点,焦点在x轴上,焦距等于6,离心率等于,则椭圆的方程是(    )

A.   B.    C.     D.

8、已知点是双曲线 ： （ ， ）与圆 的一个交点，若 到 轴的距离为 ，则 的离心率等于（    ）

A.     B.     C.     D.

9、当双曲线的离心率取得最小值时， 的渐近线方程为（    ）

A.     B.     C.     D.

10、已知为定点，动点P满足，当和时，点P的轨迹分别为（    ）

A．双曲线和一条直线 B．双曲线的一支和一条直线

C．双曲线和一条射线 D．双曲线的一支和一条射线

11、椭圆的焦点坐标是(  )

A．         B．        C．        D．

12、已知椭圆的左顶点为，上顶点为，右焦点为，若，则椭圆的离心率为（  ）

A.     B.     C.     D.

13、已知椭圆与双曲线有相同的右焦点，点是椭圆与双曲线在第一象限的公共点，若，则椭圆的离心率等于_______.

14、已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，点P为椭圆上一点，且∠PF1F2=30°，∠PF2F1=60°，则椭圆的离心率e=           .

15、已知是椭圆的两个焦点, 若存在点P为椭圆上一点,  使得 , 则椭圆离心率的取值范围是          

16、已知P是双曲线上一点，F1，F2是双曲线的两个焦点，若|PF1|＝17，则|PF2|的值为________．

17、已知F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，过定点M(0,2)的直线l与椭圆交于不同的两点A，B，且∠AOB(O为坐标原点)为锐角，求直线l的斜率k的取值范围．

18、已知椭圆及直线：．

（1）当直线和椭圆有公共点时，求实数的取值范围；

（2）求被椭圆截得的最长弦长及此时直线的方程．

19、求过点且与椭圆有相同焦点的椭圆方程.

20、设椭圆的中心在原点，对称轴为坐标轴，且长轴长是短轴长的2倍．又点P（4，1）在椭圆上，求该椭圆的方程．

21、已知为平面直角坐标系的原点,过点的直线与圆交于两点．

（Ⅰ）若,求直线的方程;

（Ⅱ）若与的面积相等,求直线的斜率．

22、已知点，，动点满足条件.记动点的轨迹为.

（1）求的方程；

（2）若是上的不同两点，是坐标原点，求的最小值.

参考答案

1、答案B

详解

分析：首先根据双曲线的方程求得其渐近线的斜率，并求得其右焦点的坐标，从而得到，根据直角三角形的条件，可以确定直线的倾斜角为或，根据相关图形的对称性，得知两种情况求得的结果是相等的，从而设其倾斜角为，利用点斜式写出直线的方程，之后分别与两条渐近线方程联立，求得，利用两点间距离公式求得的值.

详解：根据题意，可知其渐近线的斜率为，且右焦点为，

从而得到，所以直线的倾斜角为或，

根据双曲线的对称性，设其倾斜角为，

可以得出直线的方程为，

分别与两条渐近线和联立，

求得，

所以，故选B.

名师点评：该题考查的是有关线段长度的问题，在解题的过程中，需要先确定哪两个点之间的距离，再分析点是怎么来的，从而得到是直线的交点，这样需要先求直线的方程，利用双曲线的方程，可以确定其渐近线方程，利用直角三角形的条件得到直线的斜率，结合过右焦点的条件，利用点斜式方程写出直线的方程，之后联立求得对应点的坐标，之后应用两点间距离公式求得结果.

2、答案A　

由双曲线的右焦点与抛物线y2＝12x的焦点重合，知，c2＝9＝4＋b2，于是b2＝5，．

因此该双曲线的渐近线的方程为，即．

故该双曲线的焦点到其渐近线的距离为．

3、答案B

设等腰直角三角形OAB的顶点A（x1，y1），B（x2，y2），利用OA=OB可求得x1=x2，进而可求得AB=4p，从而可得S△OAB．

详解

设等腰直角三角形OAB的顶点A（x1，y1），B（x2，y2），则=2px1，=2px2，

由OA=OB得：+=+，

∴﹣+2px1﹣2px2=0，即（x1﹣x2）（x1+x2+2p）=0，

∵x1＞0，x2＞0，2p＞0，

∴x1=x2，即A，B关于x轴对称．

∴直线OA的方程为：y=xtan45°=x，由解得或，

故AB=4p，

∴S△OAB=×2p×4p=4p2.

故选：B

名师点评

本题考查抛物线的简单几何性质，求得A，B关于x轴对称是关键，考查分析与运算能力，属于中档题．

4、答案D

设双曲线的焦点坐标为，求出焦点到渐近线的距离，可求出，再由离心率和关系，即可求解.

详解

设双曲线的焦点坐标为，

其中一条渐近线方程为，

点到渐近线的距离为，

，

.

故选:D.

名师点评

本题考查双曲线的简单几何性质，属于基础题.

5、答案A

因为，，

所以的周长为，

显然，当最小时，有最大值，

而，所以，解得，，

从而.故选A.

6、答案D

焦点在轴上的双曲线的一条渐近线的倾斜角为， 渐近线方程为，即，又焦点到到渐近线的距离为， ， ， 双曲线的标准方程是，故选D.

7、答案C

依题意,所以,所求椭圆方程为

8、答案D

到轴的距离为

故点纵坐标为，代入

椭圆

代入圆，即

即，

故选

9、答案A

由题意得，当且仅当，即时等号成立。此时双曲线的方程为，所以渐近线方程为

。选A。

10、答案D

根据双曲线的定义判断即可.

详解：解：，

当时，，∴点P的轨迹为靠近点的双曲线一支；

当时，，∴点P的轨迹为靠近点的一条射线

故选：D.

名师点评

考查双曲线的定义，基础题.

11、答案C

因为椭圆，所以，所以，所以，所以其焦点坐标为，故应选．

考查目的：1、椭圆及其标准方程．

12、答案D

依题意，代入得，即，两边除以得，解得.

13、答案

由题意，不妨设P在第一象限，

由双曲线的方程知|PF1|？|PF2|=4,c=2

∵|PF2|=2,∴|PF1|=6，

∴2a=|PF2|+|PF2|=8，

∴a=4.

∵椭圆与双曲线有相同的右焦点,c=2，

∴椭圆C1的离心率为e==，

故答案为： .

14、答案

15、答案

16、答案33

由双曲线方程得，则，P是双曲线上一点，所以，||，|PF1|＝17，则|PF2|=1或|PF2|=33，又因为|PF2|

所以|PF2|=33

17、答案

试题分析：设直线l：y＝kx＋2，联立直线方程和椭圆方程得到韦达定理，再由＝x1x2＋y1y2>0和Δ＝(4k)2－12＝4k2－3>0得到直线l的斜率k的取值范围．

详解

显然直线x＝0不满足题设条件，故设直线l：y＝kx＋2，A(x1，y1)，B(x2，y2)．

联立消去y并整理，得x2＋4kx＋3＝0.

所以x1＋x2＝－，x1x2＝.

由Δ＝(4k)2－12＝4k2－3>0，得k>或k<－.①

又0°<∠AOB<90°？cos∠AOB>0？>0，

所以＝x1x2＋y1y2>0.

又y1y2＝(kx1＋2)(kx2＋2)＝k2x1x2＋2k(x1＋x2)＋4＝，

所以>0，即k2<4.

所以－2<k<2.②

综合①②，得直线l的斜率k的取值范围为.

名师点评

（1）本题主要考查直线和椭圆的位置关系，考查平面向量的数量积，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)解答本题的关键是把∠AOB(O为坐标原点)为锐角转化为＝x1x2＋y1y2>0.

18、答案（1）；（2）当时，取最大值为，此时直线方程为．

19、答案焦点在y轴上，，设椭圆方程为，则

，将点的坐标带入方程有：

20、答案＝1或＝1.

试题分析：由椭圆的中心在原点，对称轴为坐标轴知所求方程为椭圆标准方程，长轴是短轴长的2倍，得到，又知过点P（4，1），所以用待定系数法求方程，但是不知焦点所在轴，故设两种形式的标准方程．

试题设该椭圆的方程为＝1或＝1（a>b>0），

依题意，2a＝2（2b），a＝2b．

由于点P（4，1）在椭圆上，

所以＝1或＝1.

解得b2＝5或，这样a2＝20或65，

故该椭圆的方程为＝1或＝1.

考查目的：1、椭圆的方程；2、椭圆的几何性质；3、待定系数法．

21、答案（Ⅰ）依题意,直线的斜率存在,

因为 直线过点,可设直线:．

因为 两点在圆上,所以 ,

因为 ,所以

所以      所以 到直线的距离等于．

所以 ,

得,

所以  直线的方程为或．

（Ⅱ）因为与的面积相等,所以,

设 ,,所以 ,．

所以   即　　（*）;

因为　,两点在圆上,

所以    把（*）代入,得  ,

所以 

所以  直线的斜率, 即．

22、答案（1）；（2）

试题分析：（1）根据双曲线的定义可知轨迹为双曲线的右支，从而可得轨迹方程；（2）当直线斜率不存在时，可求得；当直线斜率存在时，假设直线方程，代入可整理得到一元二次方程；根据有两个正实根可构造出不等式组，求得斜率；将利用坐标运算表示为符合韦达定理的形式，代入整理后，结合可求得；综合两种情况可得所求最小值.

详解：（1）

由双曲线定义可知：点的轨迹是以为焦点的双曲线的右支

，，

的方程为：

（2）①当直线斜率不存在时，设直线方程为：

此时，

②当直线斜率存在时，设直线方程为：

代入双曲线方程可得：

可知上式有两个不等的正实数根

解得：

由得：

综上所述，的最小值为

名师点评

本题考查根据双曲线的定义求解双曲线方程、直线与双曲线综合应用中的最值问题的求解；易错点是忽双曲线仅为右半支的情况，导致求解错误；求解最值问题的关键是能够将所求式子通过韦达定理来进行表示，利用韦达定理代入变为关于斜率的函数，从而结合斜率的范围求得最值.