2022届新教材北师大版圆锥曲线单元测试含答案15

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 2022届新教材北师大版  圆锥曲线 单元测试1、过抛物线的焦点作一条直线与抛物线相交于两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线（ ）A． 有且仅有一条    B． 有且仅有两条C． 有无穷多条    D． 不存在2、设F1，F2是双曲线的两个焦点，P是双曲线上的一点，且3|PF1|＝4|PF2|，则△PF1F2的面积等于(　　)．A．      B．    C．24         D．483、抛物线的准线方程是　　A． B． C． D．4、双曲线的渐近线方程是（  ）A．    B．    C．    D．5、已知两点，，且是与的等差中项，则动点的轨迹方程是（    ）A．       B．C．       D．6、下列双曲线中，焦点在轴上且渐近线为的是（  ）A．     B．     C．     D． 7、设点P是椭F1,F2是焦点,设k=|PF1|·|PF2|,则k的最大值为(　　)A. 1    B. 2    C. 3    D. 48、设双曲线的左右焦点分别为若在曲线的右支上存在点,使得的内切圆半径为,圆心记为，又的重心为，满足,则双曲线的离心率为（     ）．A.     B.      C.     D. 9、把离心率的曲线称之为黄金双曲线．若以原点为圆心，以虚半轴长为半径画圆，则圆与黄金双曲线（    ）A. 无交点    B. 有1个交点    C. 有2个交点    D. 有4个交点10、已知直线1：2x﹣y+2＝0被双曲线C：x2﹣ ＝1截得的线段长等于3，下面哪一条直线被双曲线C所截得的弦长不等于3（　　）A．2y﹣x+2＝0 B．﹣2x﹣y+2＝0C．2x+y+2＝0 D．2x﹣y﹣2＝011、已知椭圆的一个焦点为，离心率，则椭圆的标准方程为（    ）A.     B.     C.     D. 12、已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F（1,0），离心率等于，则C的方程是( ).  A、  B、   C、  D、13、已知圆过椭圆的两焦点且关于直线对称，则圆的方程为__________________.14、已知是椭圆的左右焦点，是短轴的一个端点，线段的延长线交椭圆于点，若为等腰三角形，则椭圆的离心率为______．15、椭圆的右焦点到直线的距离为____________16、若双曲线的左、右焦点分别为,抛物线的焦点恰好为线段的黄金分割点，则此双曲线的离心率为           17、已知F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，过定点M(0,2)的直线l与椭圆交于不同的两点A，B，且∠AOB(O为坐标原点)为锐角，求直线l的斜率k的取值范围．18、已知椭圆及直线：．（1）当直线和椭圆有公共点时，求实数的取值范围；（2）求被椭圆截得的最长弦长及此时直线的方程．19、已知椭圆C1：，椭圆C2以C1的长轴为短轴，且与C1有相同的离心率．(1)求椭圆C2的方程；(2)设O为坐标原点，点A，B分别在椭圆C1和C2上，，求直线AB的方程．20、已知椭圆的中心为坐标原点O,焦点在轴上,斜率为1且过椭圆右焦点F的直线交椭圆于A、B两点,与共线.（Ⅰ）求椭圆的离心率;（Ⅱ）设M为椭圆上任意一点,且,证明为定值.21、求经过点且焦点在坐标轴上的双曲线的标准方程.22、椭圆的对称中心在坐标原点,一个顶点为,右焦点与点的距离为.（1）求椭圆的方程;（2）是否存在斜率的直线:,使直线与椭圆相交于不同的两点满足,若存在,求直线的倾斜角;若不存在,说明理由. 
参考答案1、答案B过抛物线y2=4x的焦点作一条直线与抛物线相交于A、B两点，若直线AB的斜率不存在，则横坐标之和等于2，不适合．故设直线AB的斜率为k，则直线AB为y=k（x-1）代入抛物线y2=4x得，k2x2-2（k2+2）x+k2=0∵A、B两点的横坐标之和等于5，∴=5，k2=，则这样的直线有且仅有两条，故选B．考查目的：本题主要考查直线与抛物线的位置关系。点评：常见题型，联立方程组，整理得一元二次方程，运用根的判别式求参数的范围，是常规解法.2、答案C　由P是双曲线上的一点和3|PF1|＝4|PF2|可知，|PF1|－|PF2|＝2，解得|PF1|＝8，|PF2|＝6，又|F1F2|＝2c＝10，所以△PF1F2为直角三角形，所以△PF1F2的面积S＝×6×8＝24，故选C．3、答案D先把其转化为标准形式，求出p即可得到其准线方程．详解由题得：，所以：，即所：故准线方程为：．故选：D．名师点评本题主要考查了抛物线的简单性质解决抛物线的题目时，一定要注意判断出焦点所在位置，避免出错．4、答案B利用双曲线的方程直接求解渐近线方程即可．详解解：双曲线即，其中a=2，b=1，故其渐近线方程是：．故选：B．名师点评本题考查双曲线的简单性质，渐近线方程的求法，是基础题．5、答案C6、答案C焦点在轴上的有C,D，其中渐近线为，渐近线为，所以选C.名师点评：1.已知双曲线方程求渐近线： 7、答案D分析：利用椭圆的定义可以得到，由基本不等式可以得到的最大值.详解：因为点在椭圆上，所以，所以 ，故，当且仅当时等号成立.故选D.名师点评：一般地，椭圆的左右焦点为，点为椭圆上的动点，则.8、答案C由轴得： ， ，所以，又，由，由，得： ，因此，代入椭圆方程得： .名师点评列出一个关于的等式，就可以求出双曲线的离心率；列出一个关于的不等式，就可以求出双曲线的离心率的取值范围；本题借助于三角形的内切圆半径表示出三角形的面积，利用面积相等列出等量关系，在借助于双曲线的定义，求出点P的坐标满足双曲线方程，求出离心率.9、答案D由题意知，所以，因为，所以，所以，所以圆与黄金双曲线的左右两支各有2个交点，即圆与黄金双曲线由4个交点，故选D.10、答案A结合双曲线图象的对称性可以得出选项.详解根据双曲线的图象关于x轴，y轴和原点对称可知，与直线2x﹣y+2＝0关于原点对称的直线2x﹣y﹣2＝0被双曲线C所截得的弦长等于3；与直线2x﹣y+2＝0关于y轴对称的直线2x+y﹣2＝0被双曲线C所截得的弦长等于3；与直线2x﹣y+2＝0关于x轴对称的直线2x+y+2＝0被双曲线C所截得的弦长等于3；故选：A．名师点评本题主要考查双曲线的对称性，结合图形的特点，可以避免繁琐的计算.11、答案C设椭圆的标准方程为，椭圆的一个焦点为,离心率，所以.故椭圆的方程为故本题正确答案是 12、答案D由题意可知椭圆焦点在轴上，因而椭圆方程设为，可知，可得，又，可得，所以椭圆方程为.考查目的：椭圆的标准方程.13、答案14、答案根据椭圆的定义及条件求出点的坐标，然后根据点在椭圆上可得，进而可求得椭圆的离心率．详解如图，不妨设点是椭圆短轴的上端点，则点D在第四想象内，设点．由题意得为等腰三角形，且．由椭圆的定义得，，又，∴，解得．作轴于，则有，，∴，∴点的坐标为．又点在椭圆上，∴，整理得，所以．故答案为：．名师点评求椭圆离心率或其范围的方法(1)根据题意求出的值，再由离心率的定义直接求解．(2)由题意列出含有的方程(或不等式)，借助于消去，然后转化成关于的方程(或不等式)求解．15、答案16、答案由已知得，解得又因为，所以所以双曲线的离心率:17、答案试题分析：设直线l：y＝kx＋2，联立直线方程和椭圆方程得到韦达定理，再由＝x1x2＋y1y2>0和Δ＝(4k)2－12＝4k2－3>0得到直线l的斜率k的取值范围．详解显然直线x＝0不满足题设条件，故设直线l：y＝kx＋2，A(x1，y1)，B(x2，y2)．联立消去y并整理，得x2＋4kx＋3＝0.所以x1＋x2＝－，x1x2＝.由Δ＝(4k)2－12＝4k2－3>0，得k>或k<－.①又0°<∠AOB<90°？cos∠AOB>0？>0，所以＝x1x2＋y1y2>0.又y1y2＝(kx1＋2)(kx2＋2)＝k2x1x2＋2k(x1＋x2)＋4＝，所以>0，即k2<4.所以－2<k<2.②综合①②，得直线l的斜率k的取值范围为.名师点评（1）本题主要考查直线和椭圆的位置关系，考查平面向量的数量积，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)解答本题的关键是把∠AOB(O为坐标原点)为锐角转化为＝x1x2＋y1y2>0.18、答案（1）；（2）当时，取最大值为，此时直线方程为．19、答案解：由已知可设椭圆C2的方程为(a＞2)，其离心率为，故，则a＝4，故椭圆C2的方程为．解：方法一：A，B两点的坐标分别记为(xA，yA)，(xB，yB)，由及(1)知，O，A，B三点共线且点A，B不在y轴上，因此可设直线AB的方程为y＝kx，将y＝kx代入＋y2＝1中，得(1＋4k2)x2＝4，所以．将y＝kx代入中，得(4＋k2)x2＝16，所以．又由得，即，解得k＝±1，故直线AB的方程为y＝x或y＝－x．方法二：A，B两点的坐标分别记为(xA，yA)，(xB，yB)，由及(1)知，O，A，B三点共线且点A，B不在y轴上，因此可设直线AB的方程为y＝kx．将y＝kx代入＋y2＝1中，得(1＋4k2)x2＝4，所以．由得，，将代入中，得，即4＋k2＝1＋4k2，解得k＝±1，故直线AB的方程为y＝x或y＝－x．解：由已知可设椭圆C2的方程为(a＞2)，其离心率为，故，则a＝4，故椭圆C2的方程为．解：方法一：A，B两点的坐标分别记为(xA，yA)，(xB，yB)，由及(1)知，O，A，B三点共线且点A，B不在y轴上，因此可设直线AB的方程为y＝kx，将y＝kx代入＋y2＝1中，得(1＋4k2)x2＝4，所以．将y＝kx代入中，得(4＋k2)x2＝16，所以．又由得，即，解得k＝±1，故直线AB的方程为y＝x或y＝－x．方法二：A，B两点的坐标分别记为(xA，yA)，(xB，yB)，由及(1)知，O，A，B三点共线且点A，B不在y轴上，因此可设直线AB的方程为y＝kx．将y＝kx代入＋y2＝1中，得(1＋4k2)x2＝4，所以．由得，，将代入中，得，即4＋k2＝1＋4k2，解得k＝±1，故直线AB的方程为y＝x或y＝－x．20、答案（1）解:设椭圆方程为则直线AB的方程为,代入,化简得.令A（）,B）,则由与共线,得又,即,所以,故离心率（II）证明:（1）知,所以椭圆可化为设,由已知得 在椭圆上,即①由（1）知21、答案试题分析：设双曲线的方程为，将P，Q的坐标代入，可求得A，B的值，进而得双曲线的标准方程.详解：依题意,设双曲线的方程为,∵双曲线过点和,∴解得,,故双曲线的标准方程为.名师点评本题考查了待定系数法求双曲线的标准方程；解答本题的关键是根据焦点在x轴或在y轴上时，双曲线的方程的共同特征，设出双曲线的方程.22、答案（1）依题意,设椭圆方程为,则其右焦点坐标为,由,得,即,解得.又 ∵ ,∴ ,即椭圆方程为.（2）由知点在线段的垂直平分线上,由消去得即  （*）由,得方程（*）的,即方程（*）有两个不相等的实数根.设、,线段的中点,则,, ,即,,∴直线的斜率为,由,得,∴ ,解得:,即,又,故 ,或,∴ 存在直线满足题意,其倾斜角,或.