高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第三册7.3 离散型随机变量的数字特征同步达标检测题

7.3.1 离散型随机变量的均值

一、选择题

1．（2021·全国高二课时练）甲、乙两名射手一次射击得分(分别用X1，X2表示)的分布列如下：

甲得分：

乙得分：

则甲、乙两人的射击技术相比（    ）

A．甲更好            B．乙更好                C．甲、乙一样好      D．不可比较

【答案】B

【详解】因为E(X1)＝1×0.4＋2×0.1＋3×0.5＝2.1，E(X2)＝1×0.1＋2×0.6＋3×0.3＝2.2，所以E(X2)>E(X1)，故乙的射击技术更好.故选：B

2．（2021·全国高二课时练习）设ξ的分布列为

又设η＝2ξ＋5，则E(η)等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】E(ξ)＝1×＋2×＋3×＋4×＝，所以E(η)＝E(2ξ＋5)＝2E(ξ)＋5＝2×＋5＝.

3.（2021·天津十四中高三开学考试）某人进行一项实验，若实验成功，则停止实验，若实验失败，再重新实验一次，若实验3次均失败，则放弃实验，若此人每次实验成功的概率为，则此人实验次数的期望是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】由题意可得，每次实验成功的概率为，则失败的概率为，

； ，，则实验次数的分布列如下：

所以此人实验次数的期望是.

4．（2021·福建南平市高二月考）某企业计划加大技改力度，需更换一台设备，现有两种品牌的设备可供选择，品牌设备需投入60万元，品牌设备需投入90万元，企业对两种品牌设备的使用年限情况进行了抽样调查：

更换设备技改后，每年估计可增加效益100万元，从年均收益的角度分析：（    ）

A．不更换设备 B．更换为设备 C．更换为设备 D．更换为或设备均可

【答案】C

【详解】设更换为品牌设备使用年限为，则年，

更换为品牌设备年均收益为万元；设更换为品牌设备使用年限为，则年，更换为品牌设备年均收益为万元．所以更换为品牌设备，故选：C．

5．（多选题）已知随机变量的分布列为

若，则以下结论正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ABCD

【详解】由分布列性质知：，解得：，B正确；

，，A正确；

由均值的性质知：，C正确；

，D正确.故选：ABCD.

6．（多选题）（2021·浙江丽水高二月考）设，随机变量的分布列如下，则下列结论正确的有（    ）

A．随着的增大而增大 B．随着的增大而减小

C． D．的值最大

【答案】BC

【详解】由题意，由于，所以随着的增大而减小，A错，B正确；又，所以C正确；时，，而，D错．故选：BC．

二、填空题

7．（2021·江苏无锡市高二月考）设X是一个离散型随机变量，其分布列为：

则X的数学期望为_________．

【答案】

【详解】由得，，

∴.

8．（2021·全国高二专题练）已知某位运动员投篮一次命中的概率是未命中概率的4倍，设随机变量X为他投篮一次命中的个数，则X的期望是________．

【答案】0.8

【详解】因为，，所以

9．（2021·浙江省武义三中高二月考）在一个不透明的摸奖箱中有五个分别标有1，2，3，4，5号码的大小相同的小球，现甲､乙､丙三个人依次参加摸奖活动，规定：每个人连续有放回地摸三次，若得到的三个球编号之和恰为4的倍数，则算作获奖，记获奖的人数为，则的数学期望为___________.

【答案】

【详解】三个球编号之和恰为4的倍数的基本事件：有3种、有6种、有6种、有3种、有3种、有3种、有6种、有1种，而总共有，∴三个球编号之和恰为4的倍数的概率为，由题意，

∴的数学期望：.

10．（2021·浙江高三开学考试） “四书”是《大学》《中庸》《论语》《孟子》的合称，又称“四子书”，在世界文化史､思想史上地位极高，所载内容及哲学思想至今仍具有积极意义和参考价值.为弘扬中国优秀传统文化，某校计划开展“四书”经典诵读比赛活动.某班有4位同学参赛，每人从《大学》《中庸》《论语》《孟子》这4本书中选取1本进行准备，且各自选取的书均不相同.比赛时，若这4位同学从这4本书中随机抽取1本选择其中的内容诵读，则抽到自己准备的书的人数的均值为______.

【答案】1

【详解】记抽到自己准备的书的学生数为，则可能值为0，1，2，4

，，，，则．

三、解答题

11．（2021·重庆一中高二月考）“坚持五育并举，全面发展素质教育，强化体育锻炼”这是我们现阶段教育必须坚持的．甲乙两人为了培养自己的体育素养，分别进行乒乓球和羽毛球两场比赛，两场比赛中，胜者得2分、败者得0分，每场比赛一定会分出胜负，其中甲在两场比赛中胜出的概率分别为：和，每场比赛相互独立，谁最终得分多谁获胜．

（1）求甲获胜的概率；

（2）求甲得分的分布列及数学期望．

【答案】（1）；（2）分布列见解析；.

【详解】（1）设甲获胜的概率为，则．

（2）设甲得分数为，则可取值为0，2，4，

，，

于是分布列为：

于是．

12.（2021·全国高考真题）某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A，B两类问题，每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束.A类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；B类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分，己知小明能正确回答A类问题的概率为0.8，能正确回答B类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关.

（1）若小明先回答A类问题，记为小明的累计得分，求的分布列；

（2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由.

【答案】（1）见解析；（2）类．

【详解】（1）由题可知，的所有可能取值为，，．

；

；

．

所以的分布列为

（2）由（1）知，．

若小明先回答问题，记为小明的累计得分，则的所有可能取值为，，．

；

；

．

所以．

因为，所以小明应选择先回答类问题．