人教A版 (2019)必修 第二册9.2 用样本估计总体优秀当堂达标检测题

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9.2 用样本估计总体
拓展练习

1. （2021高二下·桂林期末）在样本频率分布直方图中，各小长方形的高的比从左到右依次为 2:4:3 ，则第2组的频率是（    ）

A. 0.4                                        B. 0.3                                        
C. 0.2                                        D. 0.1

2. （2021高一下·山西期末）数据 x1 ， x2 ，…， x9 的平均数为4，标准差为2，则数据 3x1+2 ， 3x2+2 ，…， 3x9+2 的方差和平均数分别为（    ）
A. 36，14                               B. 14，36                               C. 12，19                               D. 4，12

3. （2020高一下·滨海期中）某校从高一年级参加期末考试的学生中抽出60名，其成绩(均为整数)的频率分布直方图如图所示，由此估计此次考试成绩的中位数、众数分别是（    ）

A. 73.3，75                             B. 73.3，80                             C. 70，70                             D. 70，75

4. （2018高二下·顺德期末）从某企业生产的某种产品中随机抽取 10 件，测量这些产品的一项质量指标，其频率分布表如下：
质量指标分组
[10,30)
[30,50)
[50,70)
频率
0.1
0.6
0.3
则可估计这批产品的质量指标的众数、中位数为（   ）
A. 30 ， 4313                         B. 40 ， 43                         C. 40 ， 4313                         D. 30 ， 43

5. 样本容量为100的频率分布直方图如图所示，则样本数据落在[14，18]内的频数为（   ）

A. 9                                         B. 10                                         C. 11                                         D. 12

6. 某次数学测验中的成绩，五名男生的成绩分别为86，94，88，92，90，五名女生的成绩分别为88，93，93，88，93．下列说法一定正确的是（   ）
A. 这种抽样方法是一种分层抽样
B. 这种抽样方法是一种系统抽样
C. 这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差
D. 该班级男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数

7. 将某选手的9个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，7个剩余分数的平均分为91.现场作的9个分数的茎叶图后来有1个数据模糊，无法辨认，在图中以x表示，则7个剩余分数的方差为(   )

A. 1169                                      B. 367                                      C. 36                                      D. 677

8. 设随机变量x~B40,P ， 且EX=16则P等于（  ）
A. 0.1                                       B. 0.2                                       C. 0.3                                       D. 0.4

9. 已知甲、乙两名同学在五次数学单元测验中得分如下：
学生甲
68
72
70
69
71
学生乙
69
72
68
73
68
则甲、乙两名同学数学成绩（　　）
A. 甲比乙稳定                   B. 甲、乙稳定程度相同                   C. 乙比甲稳定                   D. 无法确定

10. （2021高三上·天河月考）下列表述中，正确的个数是（    ）
①将一组数据中的每一个数据都加上同一个常数后，方差不变；
②设有一个回归方程 y=3−5x ，变量 x 增加1个单位时， y 平均增加5个单位；
③设具有相关关系的两个变量 x ， y 的相关系数为 r ，那么 |r| 越接近于0， x ， y 之间的线性相关程度越高；
④在一个 2×2 列联表中，根据表中数据计算得到 K2 的观测值 k ，若 k 的值越大，则认为两个变量间有关的把握就越大．
A. 0                                           B. 1                                           C. 2                                           D. 3

11. 某商场在今年元霄节的促销活动中，对3月5日9时至14时的销售额进行统计，其频率分布直方图如图所示．已知9时至10时的销售额为5万元，则11时至12时的销售额为（　　）


A. 10万元                               B. 15万元                               C. 20万元                               D. 25万元

12. 关于下面等高条形图说法正确的有（   ）

A. 在被调查的 x 1中，y 1占70%                             B. 在被调查的 x 2中，y 2占20%
C. x 1与 y 1有关                                                      D. 以上都不对

13. （2020·长春模拟）某项针对我国《义务教育数学课程标准》的研究中，列出各个学段每个主题所包含的条目数（如下表），下图是统计表的条目数转化为百分比，按各学段绘制的等高条形图，由图表分析得出以下四个结论，其中错误的是（   ）


A. 除了“综合实践”外，其它三个领域的条目数都随着学段的升高而增加，尤其“图象几何”  在第三学段增加较多，约是第二学段的 3.5 倍.
B. 所有主题中，三个学段的总和“图形几何”条目数最多，占50%，综合实践最少，约占4% .
C. 第一、二学段“数与代数”条目数最多，第三学段“图形几何”条目数最多.
D. “数与代数”条目数虽然随着学段的增长而增长，而其百分比却一直在减少.“图形几何”条目数，百分比都随学段的增长而增长.

14. （2019高一下·吉林期末）样本中共有5个个体，其值分别为a、0、1、2、3.若该样本的平均值为1，则样本的方差为（    ）
A. -1                                           B. 0                                           C. 1                                           D. 2

15. （2018·新疆模拟）一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图.为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10000人中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查，则在 [2500,3000) （元）月收入段应抽出      人.


16. （2020高一下·苏州期末）为抗击新型冠状病毒，普及防护知识，某校开展了“疫情防护”网络知识竞赛活动，现从参加该活动的学生中随机抽取了100名学生，将他们的比赛成绩（满分为100分）分为5组： [50,60) ， [60,70) ， [70,80) ， [80,90) ， [90,100] ，得到如图所示的频率分布直方图，则该100名学生中成绩在80分（含80分）以上的人数为________．


17. （2018高二上·沧州期中）已知一组数据 x1,x2，⋯,xn 的方差为2，若数据 ax1＋b,ax2＋b,⋯,axn＋b,(a>0) 的方差为8，则 a 的值为________.

18. （2021·漳州模拟）根据下面的数据：
x
1
2
3
4
y
32
48
72
88
求得 y 关于 x 的回归直线方程为 y=19.2x+12 ，则这组数据相对于所求的回归直线方程的4个残差的方差为      .(注：残差是指实际观察值与估计值之间的差.)

19. （2018高一下·芜湖期末）已知一组数据4.7,4.8,5.1,5.4,5.5,则该组数据的方差是      .

20. （2021·浦东模拟）若从总体中随机抽取的样本为：-2､-2､-1､1､1､3､2､2､4､2，则该总体标准差的点估计值是      .(精确到0.1)

21. （2018高二上·思南月考）某健康协会从某地区睡前看手机的居民中随机选取了 270 人进行调查，得到如右图所示的频率分布直方图，则可以估计睡前看手机在 40∼50 分钟的人数为________．
 

22. （2019高三上·江苏月考）从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图（如下图）.若要从身高在 [120,130) ， [130,140) ， [140,150] 三组内的学生中，用分层抽样的方法选取24人参加一项活动，则从身高在 [140,150] 内的学生中选取的人数应为      .


23. （2021高一下·青岛期中）某人任意统计5次上班步行到单位所花的时间(单位：分钟)分别为 8,12,10,11,9 ．则这组数据的标准差为       ．

24. （2020高二上·黄陵期末）200辆汽车通过某一段公路时的时速的频率分布直方图如图所示，则时速在 [50,60] 的汽车大约有________辆.




练习答案

1. 【答案】 A
【考点】频率分布直方图
【解析】解：由题意易知各小长方形的面积的比从左往右依次为2:4:3
则可设s1:s2:s3s4=2s:4s:3s:s
则2s+4s+3s+s=1
解得s=0.1
则第2组的频率是4s=0.4
故答案为：A
【分析】根据频率分布直方图的性质求解即可.
2. 【答案】 A
【考点】众数、中位数、平均数，极差、方差与标准差
【解析】数据 x1 ， x2 ，…， x9 的平均数为4，标准差为2，所以数据 x1 ， x2 ，…， x9 的方差为4，平均数为4.根据方差和平均数的性质可得 3x1+2 ， 3x2+2 ，…， 3x9+2 的方差为 32×4=36 ，平均数为 3×4+2=14 .
故答案为：A.
【分析】根据样本数据的平均数和方差的概念，即可得出答案。
3. 【答案】 A
【考点】频率分布直方图，众数、中位数、平均数
【解析】解：频率分布直方图是按照一定的规律排列的，一般是按照由小到大或由大到小，
就把组数想成一组数字，如果它是偶数就取它相邻的那组数据的平均数，得数就是横坐标；
如果组数是奇数，就取这些组数的中间的那组的数据，那组数就是横坐标；
小于70的有24人，大于80的有18人，则在 [70 ， 80] 之间18人，所以中位数为 70+103≈73.3 ；
众数就是分布图里最高的那条，即 [70 ， 80] 的中点横坐标75．
故答案为：A．
【分析】将频率分布直方图分成两个部分这就是面积平分，就可得到答案．众数就是分布图里最高的那条，即 [70 ， 80] 的中点横坐标75．
4. 【答案】 C
【考点】频率分布表，众数、中位数、平均数
【解析】根据频率分布表可知，频率最大的分组为 [30,50)     ∴ 众数为： 40
设中位数为 x
则 0.1+x−3050−30×0.6=0.5 ，解得： x=4313 ，即中位数为： 4313
故答案为： C
【分析】利用已知条件结合频率分布表估计出这批产品的质量指标的众数、中位数 。
5. 【答案】 D
【考点】频率分布直方图
【解析】解：由频率分布直方图的性质得：
样本数据落在[14，18]内的频率为： 12 [1﹣（0.02+0.08+0.09）×4]=0.12，
∴样本数据落在[14，18]内的频数为100×0.12=12．
故选：D．
【分析】由频率分布直方图的性质求出样本数据落在[14，18]内的频率，由此能求出样本数据落在[14，18]内的频数．
6. 【答案】 C
【考点】极差、方差与标准差
【解析】解：由题目看不出是抽样方法是分层抽样，故A错；
由题目看不出是系统抽样，故A错；
这五名男生成绩的平均数 x男 = 15 （86+94+88+92+90）=90，
这五名女生成绩的平均数 x女 = 15 （88+93+93+88+93）=91，
故这五名男生成绩的方差为 S男2 = 15 （42+42+22+22+02）=8，
这五名女生成绩的方差为 S女2 = 15 （32+22+22+32+22）=6，
故C正确，D错．
故选：C．
【分析】若抽样方法是分层抽样，男生、女生分别抽取6人、4人，由题目看不出是系统抽样，求出这五名男生成绩的平均数、方差和这五名女生成绩的平均数、方差，由此能求出结果．
7. 【答案】 B
【考点】茎叶图，众数、中位数、平均数，极差、方差与标准差
【解析】由题图可知去掉的两个数是87,99，所以87＋90×2＋91×2＋94＋90＋x＝91×7，解得x＝4.故s2＝ 17× [(87－91)2＋(90－91)2×2＋(91－91)2×2＋(94－91)2×2]＝ 367 .
【分析】由题意可知要去掉87,99两个数，由87＋90×2＋91×2＋94＋90＋x＝91×7可以解出x的值，通过x值可以解出7个剩余分数的方差。
8. 【答案】 D
【考点】极差、方差与标准差，离散型随机变量的期望与方差
【解析】根据题意，由于随机变量， 且， 故答案为D.
【分析】主要是考查了二项分布的期望值和方差的基本运算，属于基础题。
9. 【答案】 A
【考点】极差、方差与标准差
【解析】根据所给的数据可知甲的平均分是68+72+70+69+715=70，
乙的平均分是69+72+68+73+685=70
∴甲的方差是154+4+0+1+1=2
乙的方差是151+4+4+9+4=4.4
∵甲的方差小于乙的方差，
∴甲比乙稳定，
故选A．
【分析】根据条件所给的两组数据分别做出甲和乙的平均数，再根据甲和乙的分数和两者的平均数，算出两个人的方差，结果乙的方差小于甲的方差，得到甲比乙稳定。
10. 【答案】 C
【考点】极差、方差与标准差，变量间的相关关系，独立性检验的基本思想，回归分析的初步应用，相关系数
【解析】①将一组数据中的每一个数据都加上同一个常数 C 后 D(X+C)=D(X) ，方差不变，正确；
②设有一个回归方程 y=3−5x ，变量 x 增加1个单位时， y 平均减少5个单位，错误；
③设具有相关关系的两个变量 x ， y 的相关系数为 r ，那么 |r| 越接近于1， x ， y 之间的线性相关程度越高，错误；
④在一个 2×2 列联表中，根据表中数据计算得到 K2 的观测值 k ，若 k 的值越大，两个变量有关系的出错概率越小，则认为两个变量间有关的把握就越大，正确．
故答案为：C
【分析】利用已知条件结合方差的性质，得出将一组数据中的每一个数据都加上同一个常数 C 后 D(X+C)=D(X) ，方差不变；再利用已知条件结合回归方程的应用得出一个回归方程 y=3−5x ，变量 x 增加1个单位时， y 平均减少5个单位；利用已知条件结合相关系数与 x ， y 之间的线性相关程度判断的关系得出具有相关关系的两个变量 x ， y 的相关系数为 r ，那么 |r| 越接近于1， x ， y 之间的线性相关程度越高；利用已知条件结合 K2 的观测值 k 的值越大，两个变量有关系的出错概率越小，则认为两个变量间有关的把握就越大，从而找出正确的个数。
11. 【答案】 C
【考点】频率分布直方图
【解析】由频率分布直方图可知9时至10时的为0.10，11时至12时的为0.40
∵0.4÷0.1=4，∴11时至12时的销售额为5×4=20
故选：C
【分析】由频率分布直方图可得0.4÷0.1=4，也就是11时至12时的销售额为9时至10时的销售额的4倍，由此可得答案．
12. 【答案】 A
【考点】频率分布直方图
【解析】解：从图中可以得到在被调查的 x 1中，y 1占70%，在被调查的 x 2中，y 2占80%，可以说明x 1与 y 1无关
故选：A
【分析】根据等高高条形图和相关关系即可判断
13. 【答案】 D
【考点】频率分布表
【解析】结合统计图表可知，
除了“综合实践”外，其它三个领域的条目数都随着学段的升高而增加，
尤其“图象几何”  在第三学段增加较多，约是第二学段的 3.5 倍，故 A 正确；
所有主题中，三个学段的总和“图形几何”条目数最多，占50%，
综合实践最少，约占4% ，故 B 正确；
第一、二学段“数与代数”条目数最多，第三学段“图形几何”条目数最多，故 C 正确；
对 D 中，显然“数与代数”条目数虽然随着学段的增长而增长，
而其百分比却一直在减少；而“图形几何”条目数，
百分比随着学段数先减后增，故 D 错误；
故答案为：D
【分析】根据统计图表，结合每个选项即可容易求得结果.
14. 【答案】 D
【考点】众数、中位数、平均数，极差、方差与标准差
【解析】由题意可知， a+0+1+2+35=a+65=1 ，解得 a=−1 ，
因此，该样本的方差为 (−1−1)2+(0−1)2+(1−1)2+(2−1)2+(3−1)25=2 ，
故答案为：D.
【分析】根据样本的平均数计算出a的值，再利用方差公式计算出样本的方差.
15. 【答案】 25
【考点】频率分布直方图
【解析】由频率分布直方图可知在 [2500,3000) （元）/月收入段的频率为 0.0005×500=0.025 ，则从 10000 人中在 [2500,3000) （元）/月收入段应抽取 10000×0.025=25 人，故答案为 25 .
【分析】计算该区间的概率，乘以总人数，即可得出答案。
16. 【答案】 40
【考点】频率分布直方图
【解析】由题可得 (0.005+0.020+0.035+a+0.010)×10=1 ,解得： a=0.03 ；
该100名学生中成绩在80分（含80分）以上的人数为 100×(0.03+0.01)×10=40 人，
故答案为：40.
【分析】根据各小矩形面积之和为1，即可解方程求出a的值，再求出在80分（含80分）以上的频率，可得答案.
17. 【答案】 2
【考点】众数、中位数、平均数，极差、方差与标准差
【解析】设数据 x1,x2，⋯,xn 的平均数为 x ，
则 1n[(x1−x)2+(x2−x)2+⋯+(xn−x)2]=2 ，且数据 ax1＋b,ax2＋b,⋯,axn＋b 的平均数 ax+b ．
所以数据 ax1＋b,ax2＋b,⋯,axn＋b 的方差为
s2=1n[(ax1＋b−ax−b)2+(ax2＋b−ax−b)2+⋯+(axn＋b−ax−b)2]
=a2n[(x1−x)2+(x2−x)2+⋯+(xn−x)2]
=2a2 ，
由题意得 2a2=8 ，解得 a=2 或 a=−2 （舍去），
故 a=2 ．
故答案为：2．
【分析】利用平均数方差公式把数值代入公式计算出结果即可得关于a的方程求解出其值即可得到答案。
18. 【答案】 3.2
【考点】极差、方差与标准差，线性回归方程
【解析】把x=1，2，3，4依次代入回归直线方程为 y=19.2x+12 ，所得估计值依次为： y1=31.2 ， y2=50.4,y3=69.6,y4=88.8 ，
对应的残差依次为：0.8，-2.4，2.4，-0.8，它们的平均数为0，
所以4个残差的方差为 s2=0.82+(−2.4)2+2.42+(−0.8)24=3.2 .
故答案为：3.2
【分析】把x=1，2，3，4依次代入回归直线方程为 y=19.2x+12 ，所得估计值依次为： y1=31.2 ， y2=50.4,y3=69.6,y4=88.8 ，根据方差的公式进行计算即可。
19. 【答案】 0.1
【考点】极差、方差与标准差
【解析】这组数据的平均数为 15×(4.7+4.8+5.1+5.4+5.5)=5.1 ， ∴s2=15×[(4.7−5.1)2+(4.8−5.1)2+(5.1−5.1)2+(5.4−5.1)2+(5.5−5.1)2]=0.1 ．故答案应填：0.1
【分析】利用平均数公式、方差公式，可得结论。
20. 【答案】 1.9
【考点】众数、中位数、平均数，极差、方差与标准差
【解析】解：由已知，样本的平均值为 −2−2−1+1+1+3+2+2+4+210=1 ，
所以样本标准差的点估计值为
110[2(−2−1)2+(−1−1)2+2(1−1)2+(3−1)2+3(2−1)2+(4−1)2]=3.8≈1.9 ，
所以总体标准差的点估计值是1.9，
故答案为：1.9.
【分析】 先求出偶样本数据的平均数，然后总体标准差的点估计值的求解公式计算即可.
21. 【答案】 81
【考点】频率分布直方图
【解析】根据频率分布直方图知，
睡前看手机在 40~50 分钟的频率为
1−(0.01+0.037+0.023)×10=0.3 ，
所以，估计睡前看手机在 40~50 分钟的人数为
270×0.3=81 ，
故答案为81 .
【分析】根据频率分布直方图可得睡前看手机在 40~50 分钟的频率，依此可估计睡前看手机在 40∼50 分钟的人数 .
22. 【答案】 4
【考点】分层抽样方法，频率分布直方图
【解析】根据频率分布直方图的性质，可得 (0.005+0.035+a+0.020+0.010)×10=1 ，
解得 a=0.030 ，
所以从身高在 [140,150] 内的人数应为 24(0.030+0.020+0.010)×10×0.010×10=4 人 ．
故答案为：4.
【分析】根据频率分布直方图的性质，取得 a=0.030 ，再结合分层抽样的计算方法，即可求解 ．
23. 【答案】 2
【考点】极差、方差与标准差
【解析】对于A：由正弦定理可得 BCsinA=ACsinB ，
因为 sinA 同理，若 BC 所以 sinA 对于B：将函数 y=sin2x 的图象向右平移 π6 个单位长度，
可得 y=sin[2(x−π6)]=sin(2x−π3) ，B符合题意；
对于C： sinx−cosx=2sin(x−π4)≤2<32 ，
所以不存在x ， 满足 sinx−cosx=32 ，C不符合题意；
对于D：在 △ABC 中,因为 sin2A+sin2B 所以 cosC=a2+b2−c22ab<0 ，所以 C∈(π2,π) ，为钝角，D符合题意.
故答案为：ABD.
【分析】对于A，由正弦定理可得A正确；
对于B，平移后的函数是y=sin[2(x−π6)]=sin(2x−π3) ， 故B正确；
对于C,先化 sinx−cosx=2sin(x−π4)≤2<32 ， 故C错；
对于D，由余弦定理可知角C为钝角，故D正确。

24. 【答案】 60
【考点】频率分布直方图
【解析】由已知可得样本容量为200，
又 ∵ 数据落在区间的频率为 0.03×10=0.3
∴ 时速在 [50,60] 的汽车大约有 200×0.3=60
故答案为：60
【分析】先求得区间 [50,60] 的频率，由此求得时速在 [50,60] 的汽车的数量.