人教A版 (2019)必修 第二册第九章 统计9.1 随机抽样精品练习

9.1  随机抽样

一、全面调查和抽样调查

注意点：

(1)全面调查的优点是精确，缺点是不宜操作，需要耗费巨大的人力、物力．

(2)抽样调查的优点是花费少，效率高，易操作，缺点是不够精确．

一般地，如果调查的对象比较少，容易调查，适合普查，如果调查的对象较多或者具有破坏性，适合于抽样调查．

二、简单随机抽样

1. 放回简单随机抽样、不放回简单随机抽样

一般地，设一个总体含有N(N为正整数)个个体，从中逐个抽取n(1≤n＜N)个个体作为样本，如果抽取是放回的，且每次抽取时总体内的各个个体被抽到的概率都相等，把这样的抽样方法叫做放回简单随机抽样；

如果抽取是不放回的，且每次抽取时总体内未进入样本的各个个体被抽到的概率都相等，把这样的抽样方法叫做不放回简单随机抽样。

2. 简单随机抽样：放回简单随机抽样和不放回简单随机抽样统称为简单随机抽样．通过简单随机抽样获得的样本称为简单随机样本

三、简单随机抽样的方法

1．抽签法具体的操作步骤：

(1)确定总体容量N并编号；

(2)制签并放入不透明容器中；

(3)充分搅拌均匀；

(4)不放回地逐个抽取n次，得到容量为n的样本．

2．随机数法：把总体的N个个体依次编号，例如按0,1,2，…，N－1编号，然后利用随机数工具产生0～N－1 范围内的整数随机数，产生的随机数是几就是选几号个体，直到抽足样本所需的数量．

注意点：(1)当总体个数较少时采用抽签法；

(2)产生随机数的方式有多种：①用随机试验生成随机数；②用信息技术生成随机数：(ⅰ)用计算器生成随机数，(ⅱ)用电子表格软件生成随机数，(ⅲ)用R统计软件生成随机数．

(3)如果生成的随机数有重复，可以剔除重复的编号并重新产生随机数，直到产生的不同编号个数等于样本所需要的数量．

反思感悟　(1)一个抽样试验能否用抽签法，关键看两点：一是制签是否方便；二是个体之间差异不明显．一般地，当样本容量和总体容量较小时，可用抽签法．

(2)当总体容量较大、样本容量不大时，用随机数法抽取样本较好．

四、用样本的平均数估计总体的平均数

一般地，总体中有N个个体，它们的变量值分别为Y1，Y2，…，YN，则称＝＝i为总体均值，又称总体平均数．如果从总体中抽取一个容量为n的样本，它们的变量值分别为y1，y2，…，yn，则称＝＝i为样本均值，又称样本平均数．我们常用样本平均数去估计总体平均数．

样本均值与总体均值的关系

(1)在简单随机抽样中，我们常用样本均值去估计总体均值；

(2)总体均值是一个确定的数，样本均值具有随机性；

(3)一般情况下，样本容量越大，估计值越准确．

五、分层随机抽样的定义

分层随机抽样：一般地，按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体，每个个体属于且仅属于一个子总体，在每个子总体中独立地进行简单随机抽样，再把所有子总体中抽取的样本合在一起作为总样本，这样的抽样方法称为分层随机抽样，每一个子总体称为层．在分层随机抽样中，如果每层样本量都与层的大小成比例，那么称这种样本量的分配方式为比例分配．

反思感悟　使用分层随机抽样的前提

分层随机抽样的使用前提条件是总体可以分层、层与层之间有明显区别，而层内个体间差异较小．

六、分层随机抽样的应用

在分层随机抽样的过程中，为了保证每个个体被抽到的可能性是相同的，这就要求各层所抽取的个体数与该层所包含的个体数之比等于样本容量与总体容量之比．

七、用分层随机抽样样本的平均数估计总体的平均数

如果总体分为2层，两层包含的个体数分别为M，N，两层抽取的样本量分别为m，n，两层的样本平均数分别为，，两层的总体平均数分别为，，总体平均数为，样本平均数为，则＝＋，＝＋.

求总体平均数的方法有

(1)＋；

(2)＋；

(3)＋.

八、获取数据的基本途径

获取数据的基本途径

选择获取数据的途径的依据

选择获取数据的途径主要是根据所要研究问题的类型，以及获取数据的难易程度．有的数据可以有多种获取途径，有的数据只能通过一种途径获取，选择合适的方法和途径能够更好地提高数据的可靠性．

九、获取数据途径的方法的设计

考点一 抽查方法

【例1】(2020·安徽高一月考)某市场监管局对所管辖的某超市在售的40种冷冻饮品中抽取了20种冷冻饮品，对其质量进行了抽检，则(    )

A．该市场监管局的调查方法是普查 B．样本的个体是每种冷冻饮品的质量

C．样本的总体是超市在售的40种冷冻饮品 D．样本容量是该超市的20种冷冻饮品数

【练1】(2021·陕西商洛市)某校去年有1100名同学参加高考，从中随机抽取50名同学的总成绩进行分析，在这个调查中，下列叙述错误的是(    )

A．总体是：1100名同学的总成绩 B．个体是：每一名同学

C．样本是：50名同学的总成绩 D．样本容量是：50

考点二 简单随机抽样

【例2】(2020·江西吉安市·高一期末)在简单随机抽样中，某一个个体被抽中的可能性是(    )

A．与第几次抽样无关，每次抽中的可能性都相等

B．与第几次抽样无关，每次都是等可能的抽取，但各次抽取的可能性不一样

C．第1次抽中的可能性要大于第2次，第2次抽中的可能性要大于第3次，…，以此类推

D．第1次抽中的可能性要小于第2次，第2次抽中的可能性要小于第3次，…，以此类推

【练2】(2020·天津市新华中学)下列问题中，最适合用简单随机抽样方法抽样的是(    )

A．某县从该县中、小学生中抽取200人调查他们的视力情况

B．从15种疫苗中抽取5种检测是否合格

C．某大学共有学生5600人，其中专科生有1300人、本科生3000人、研究生1300人，现抽取样本量为280的样本调查学生利用因特网查找学习资料的情况，

D．某学校兴趣小组为了了解移动支付在大众中的熟知度，要对岁的人群进行随机抽样调查

考点三 分层抽样

【例3】(2021·北京房山区·高一期末)某单位共有职工名，其中高级职称人，中级职称人，初级职称人．现采用分层抽样方法从中抽取一个容量为的样本，则从高级职称中抽取的人数为(    )

A．6 B．9 C．18 D．36

【练3】(2021·北京高一期末)某校高一年级有180名男生，150名女生，学校想了解高一学生对文史类课程的看法，用分层抽样的方式，从高一年级学生中抽取若干人进行访谈.已知在女生中抽取了30人，则在男生中抽取了(    )

A．18人 B．36人 C．45人 D．60人

考点四 获取数据的途径

【例4】(2020·全国高一课时练习)获取数据的方法有______、_______.

【练4】(2020·全国高一课时练习)为了了解某年级同学每天参加体育锻炼的时间，比较恰当地收集数据的方法是(    )

A．查阅资料 B．问卷调查 C．做试验 D．以上均不对

课后练习

1. （2021高一下·驻马店期末）从某小区随机抽取100户居民进行月用电量调查，发现其月用电量都在50到350度之间，制作的频率分布直方图如图所示，若由该直方图得到该小区居民户用电量的众数，中位数和平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）分别记为 ， ， ，则（    ） 

A.B.C.D.

2. （2021高一下·大庆期末）从某班50名同学中选出5人参加户外活动，利用随机数表法抽取样本时，先将50名同学按01，02，……，50进行编号，然后从随机数表的第1行第5列和第6列数字开始从左往右依次选取两个数字，则选出的第5个个体的编号为（注：表为随机数表的第1行与第2行） 

A.24           B.36、          C.46         D.47

3. （2021高一下·临渭期末）某中学高三年级有学生1200人，高二年级有学生900人，高一年级有学生1500人，现以年级为标准，用分层抽样的方法从这三个年级中抽取一个容量为108的样本进行某项研究，则应从高三年级学生中抽取的学生人数为（    ）           

A.18           B.36          C.72        D.144

4. （2021高一下·宁波期末）某小区有500人自愿接种新冠疫苗，其中49~59岁的有140人，18~20岁的有40人，其余为符合接种条件的其他年龄段的居民．在一项接种疫苗的追踪调查中，要用分层抽样的方法从该小区500名接种疫苗的人群中抽取50人，则从符合接种条件的其他年龄段的居民中抽取的人数是（    ）           

A.14         B.18            C.32        D.50

5. （2021高一下·天津期末）某校选修轮滑课程的学生中，一年级有20人，二年级有30人，三年级有20人.现用分层抽样的方法在这70名学生中抽取一个样本，已知在一年级的学生中抽取了4人，则这个样本中共有      人.   

6. （2021高一下·信阳期末）一组数据 ， ，…， ，的平均数为7，则数据 ， ，…， 的平均数为       ．   

7. （2021高一下·南开期末）某高校有甲、乙两个数学建模兴趣班．其中甲班有40人，乙班50人．现分析两个班的一次考试成绩，算得甲班的平均成绩是90分，乙班的平均成绩是81分，则该校数学建模兴趣班的平均成绩是      分．   

8. （2021·普陀模拟）在某次数学测验中，6位学生的成绩如下：78，85，a，82，69，80，他们得平均成绩为80，他们成绩的中位数为      .   

9. （2021高三下·陈仓模拟）中国在欧洲的某孔子学院为了让更多的人了解中国传统文化，在当地举办了一场由当地人参加的中国传统文化知识大赛，为了了解参加本次大赛参赛人员的成绩情况，从参赛的人员中随机抽取 名人员的成绩（满分100分）作为样本，将所得数据进行分析整理后画出频率分布直方图如图所示，已知抽取的人员中成绩在[50，60）内的频数为3. 

（1）求 的值和估计参赛人员的平均成绩（保留小数点后两位有效数字）；   

（2）已知抽取的 名参赛人员中，成绩在[80，90）和[90，100]女士人数都为2人，现从成绩在[80，90）和[90，100]的抽取的人员中各随机抽取2人，记这4人中女士的人数为 ，求 的分布列与数学期望.   

10. （2021高一下·桂林期末）长时间使用手机上网，会严重影响学生的身体健康.某校为了解A，B两班学生手机上网的时长，分别从这两个班中随机抽取5名同学进行调查，将他们平均每周手机上网的时长（小时）作为样本，绘制成茎叶图如图所示（图中的茎表示十位数字，叶表示个位数字）. 

（1）分别求出图中所给两组样本数据的平均值，并据此估计，哪个班的学生平均上网时间较长；   

（2）从A班的样本数据中随机抽取一个小于21的数据记为 ，从B班的样本数据中随机抽取一个小于21的数据记为 ，求 的概率.   

11. （2021高二上·厦门开学考）为了解我市高三学生参加体育活动的情况，市直属某校高三学生500人参加“体育基本素质技能”比赛活动，按某项比赛结果所在区间分组：第1组：[25,30)，第2组：[30,35)，第3组：[35,40)，第4组：[40,45)，第5组：[45,50]，得到不完整的人数统计表如下： 

其频率分布直方图为：

（1）求人数统计表中的a和b的值；   

（2）根据频率分布直方图，估计该项比赛结果的中位数；   

（3）用分层抽样的方法从第1，2，3组中共抽取6人，再从这6人中随机抽取2人参加上一级比赛活动，求参加上一级比赛活动中至少有1人的比赛结果在第3组的概率.   

精讲答案

【例1】

【答案】B

【解析】该市场监管局的调查方法是随机抽样，样本的总体是超市在售的40种冷冻饮品的质量，样本的个体是每种冷冻饮品的质量，样本容量是20.故选：B

【练1】

【答案】B

【解析】据题意：总体是1100名同学的总成绩，故A正确

个体是每名同学的总成绩，故B错样本是50名同学的总成绩，故C正确

样本容量是：50，故D正确故选：B

【例2】

【答案】A

【解析】不论先后，被抽取的概率都是，故选：A．

【练2】

【答案】B

【解析】A. 中学，小学生有群体差异，宜采用分层抽样；

B. 样本数量较少，宜采用简单随机抽样；

C. 中专科生、本科生、研究生有群体差异，宜采用分层抽样；

D. 年龄对于移动支付的了解有较大影响，宜采用分层抽样；故选：.

【例3】

【答案】C

【解析】依题意得：高级职称人数、中级职称人数、初级职称人数的比为，

高级职称人数的抽样比，采用分层抽样方法从中抽取一个容量为的样本，则从高级职称中抽取的人数为人.故选：C.

【练3】

【答案】B

【解析】女生一共有150名女生抽取了30人，故抽样比为：，

抽取的男生人数为：.故选：B.

【例4】

【答案】直接获取    间接获取   

【解析】获取数据的方法有直接获取与间接获取，故答案为：直接获取；间接获取.

【练4】

【答案】B

【解析】问卷调查能达到目的，比较适合.故选：B

练习答案

1. 【答案】 D  

【考点】频率分布直方图，众数、中位数、平均数   

【解析】设用电量在200到250度之间之间的频数为 .

则有

由频率分布直方图可知：

估计该小区居民户用电量的众数大约为： ，

解得： ,估计该小区居民户用电量的中位数值大约为：183.

估计该小区居民户用电量的平均值大约为：

，所以 .

故答案为：D.

【分析】 根据频率分布直方图可分别求出a, b, c即可进行比较.

2. 【答案】 A  

【考点】简单随机抽样   

【解析】【解答】解：由随机数表易知抽样编号依次为43,36,47，36前面出现过去掉，46，24，第5个是24.故答案为：A.

【分析】根据随机数表法求解即可.

3. 【答案】 B  

【考点】分层抽样方法   

【解析】抽样比为 ，所以高三年级应该抽取： 人.

故答案为：B.

【分析】 根据分层抽样的定义建立比例关系即可得到结论.

4. 【答案】 C  

【考点】分层抽样方法   

【解析】解：依题意从其余符合接种条件的其它年龄段的居民中抽取的人数为： ．

故答案为：C．

【分析】 利用分层抽样的性质直接求解即可.

5. 【答案】 14  

【考点】分层抽样方法   

【解析】设这个样本中共有 个人，则 ，解得 。

故答案为：14。

【分析】利用已知条件结合分层抽样的方法，从而求出这个样本中共有的人数。

6. 【答案】 17  

【考点】众数、中位数、平均数   

【解析】由题意，一组数据 ， ，…， ，的平均数为7，即 ，

则数据 ， ，…， 的平均数为 ．

故答案为：17.

【分析】利用平均数的性质直接求解。

7. 【答案】 85  

【考点】众数、中位数、平均数   

【解析】甲班有40人，乙班50人．现分析两个班的一次考试成绩，

算得甲班的平均成绩是90分，

乙班的平均成绩是81分，

该校数学建模兴趣班的平均成绩是 =85分。

【分析】利用已知条件结合平均数公式，从而求出该校数学建模兴趣班的平均成绩。

8. 【答案】 81  

【考点】众数、中位数、平均数   

【解析】解：因为6位学生的成绩如下：78，85，a，82，69，80，他们得平均成绩为80，

所以78+85+a+82+69+80=6×80，解得a=86，

则将6位学生的成绩从小到大排列为：69，78，80，82，85，86，

所以他们成绩的中位数为 。

故答案为：81。

【分析】利用已知条件结合平均数公式，从而求出a的值，再利用中位数的公式，从而求出6位学生成绩的中位数。

9. 【答案】 （1）解：由频率分布直方图知，成绩在 频率为 

，

成绩在[50，60）内频数为3， 抽取的样本容量 ，

参赛人员平均成绩为

（2）解：由频率分布直方图知，抽取的人员中成绩在[80，90）的人数为0.0125×10×40=5，

成绩在[90，100]的人数为0.0100×10×40=4，

的可能取值为0，1，2，3，4，

  ；   ，

  ，   ，

  .

的分布列为

.

【考点】众数、中位数、平均数，离散型随机变量及其分布列，离散型随机变量的期望与方差   

【解析】 (1) 由已知条件的频率直方图中的数据以及性质即可得出 成绩在 频率 ，结合样本容量的定义即可计算出m的值，结合平均值公式代入数值计算出结果即可。
(2)根据题意求出X的取值，再由概率公式计算出对应每个X的概率值，由此即可得出 的分布列 并把数值代入到期望值公式计算出结果即可。

10. 【答案】 （1）A班样本数据的平均值为 ， 

B班样本数据的平均值为 ，

据此估计B班学生平均每周上网时间较长.
（2）依题意，从A班的样本数据中随机抽取一个小于21的数据记为 ，从B班的样本数据中随机抽取一个小于21的数据记为 ，则共有8种，分别为 ， ， ， ， ， ， ， . 

其中满足条件“ ”的共有4种，分别为 ， ， ，

设“ ”为事件 ，则 .

所以 的概率为 .

【考点】茎叶图，众数、中位数、平均数，古典概型及其概率计算公式   

【解析】（1）根据平均数的计算，结合茎叶图求解即可；
（2）根据古典概型，结合列举法求解即可.

11. 【答案】 （1）由频率分布直方图得，比赛结果在 内的频率为： ，则 ， 

比赛结果在 内的频率为： ，则 ，

所以人数统计表中的a和b的值分别为200，50；
（2）由频率分布直方图知，比赛结果在 内的频率为0.2，比赛结果在 内的频率为0.6，则中位数应在 内， 

所以估计该项比赛结果的中位数为： ；
（3）因第1，2，3组的频率分别为0.1，0.1，0.4，则利用分层抽样在第1，2，3组中抽的人数比为 ，

于是得抽取的6人中，第1组抽取1人，第2组抽取1人，第3组抽取4人，

记第1组抽取的1位同学为A，第2组抽取的1位同学为B，第3组抽取的4位同学为 ， ， ， ，

则从6位同学中抽两位同学有： ， ， ， ， ， ， ， ， ，

， ， ， ， ， ，共有15种等可能结果，

其中2人比赛结果都不在第3组的有： ，共1种可能，

所以至少有1人比赛结果在第3组的概率为 .

【考点】频率分布直方图，众数、中位数、平均数，列举法计算基本事件数及事件发生的概率   

【解析】 (1)根据题意由频率分布图中的数据代入公式计算出结果即可。
 (2)根据频率分布直方图，能估计该项比赛结果的中位数.
(3)第1，2，3组共有300人，利用分层抽样在300名学生中抽取6名学生，第1组抽取的人数为1人，第2组抽取的人数为1人，第3组抽取的人数为4人，由此能求至少有1人比赛结果在第3组的概率.