高中数学人教A版 (2019)必修 第二册10.3 频率与概率精品精练

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拓展练习
（2019·凌源模拟）如图，在直角坐标系 xOy 中，过坐标原点 O 作曲线 y=ex 的切线，切点为 P ，过点 P 分别作 x,y 轴的垂线，垂足分别为 A,B ，向矩形 OAPB 中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为（ ）
A. e−22e B. e−12e C. e−2e D. e−1e
某运动员每次投篮的命中率为60%，现采用随机模拟的方法估计该运动员3次投篮恰好命中2次的概率，先由计算器产生0到9之间取整数值的随机表，指定1，2，3，4表示命不中，5，6，7，8，9，0表示命中，再以每3个随机数为一组，代表3次投篮的结果，经随机模拟产生了如下10组随机数：
907 966 191 925 271 932 812 458 569 683
据此估计，该运动员3次投篮恰好命中2次的概率为（ ）
A. 0.35 B. 0.30 C. 0.6 D. 0.70
（2018·兰州模拟）在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，若曲线 C 的方程为 x2+y−1=0(x>0,y>0) ，则落入阴影部分的点的个数的估计为（ ）
A. 5000 B. 6667 C. 7500 D. 7854
（2020高二上·河北月考）现采用随机模拟的方法估计某运动员射击4次，至少击中3次的概率；先由计算器给出0到9之间取整数值的随机数，指定0、1、2、3表示没有击中目标， 4、5、6、7、8、9表示击中目标，以4个随机数为一组，代表射击4次的结果，经随机模拟产生了20组随机数，根据以下数据估计该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为（ ）
7527 0293 7140 9857 0347 4373 8636 6947 1417 4698
0371 6233 2616 8045 6011 3661 9597 7424 7610 4281
A. 0.4 B. 0.45 C. 0.5 D. 0.55
（2015·合肥模拟）在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分（曲线C的方程为x2﹣y=0）的点的个数的估计值为（ ）
A. 5000 B. 6667 C. 7500 D. 7854
（2018·安徽模拟）2018年行平昌冬季奥运会与2月9~2月25日举行，为了解奥运会五环所占面积与单独五个环面积和的比例P，某学生设计了如下的计算机模拟，通过计算机模拟项长为8，宽为5的长方形内随机取了N个点，经统计落入五环及其内部的点数为 n 个，圆环半径为1，则比值 P 的近似值为（ ）
A. 32n5πN B. 32nπN C. 8nπN D. 5πn32N
（2017高二下·赣州期末）《九章算术》中有如下问题：“今有勾八步，股一十五步，问勾中容圆，径几何？”其大意：“已知直角三角形两直角边长分别为8步和15步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是（ ）
A. 3π10 B. 3π20 C. 1−3π10 D. 1−3π20
如图在区域Ω={（x，y）|﹣2≤x≤2，0≤y≤4}中随机撒900粒豆子，如果落在每个区域的豆子数与这个区域的面积近似成正比，试估计落在图中阴影部分的豆子数为（ ）
A. 300 B. 400 C. 500 D. 600
（2016高二下·重庆期末）在利用随机模拟方法估计函数y=x2的图象、直线x=﹣1，x=1以及x轴所围成的图形面积时，做了1000次试验，数出落在该区域中的样本点数为302个，则该区域面积的近似值为（ ）
A. 0.604 B. 0.698 C. 0.151 D. 0.302
（2018·宣城模拟）通过模拟试验，产生了20组随机数
7130 3013 7055 7430 7740
4122 7884 2604 3346 0952
6107 9706 5774 5725 6576
5929 1768 6071 9138 6254
每组随机数中，如果恰有三个数在1,2,3,4,5,6中,则表示恰有三次击中目标，问四次射击中恰有三次击中目标的概率约为（ ）
A. 320 B. 15 C. 14 D. 920
（2017高一上·邢台期末）甲乙两位同学进行乒乓球比赛，甲获胜的概率为0.4，现采用随机模拟的方法估计这两位同学打3局比赛甲恰好获胜2局的概率：先利用计算器产生0到9之间取整数值的随机数，制定1，2，3，4表示甲获胜，用5，6，7，8，9，0表示乙获胜，再以每三个随机数为一组，代表3局比赛的结果，经随机模拟产生了30组随机数
102 231 146 027 590 763 245 207 310 386 350 481 337 286 139
579 684 487 370 175 772 235 246 487 569 047 008 341 287 114
据此估计，这两位同学打3局比赛甲恰好获胜2局的概率为（ ）
A. 13 B. 310 C. 25 D. 1130
用计算器或计算机产生20个0～1之间的随机数x，但是基本事件都在区间[﹣1，3]上，则需要经过的线性变换是（ ）
A. y=3x﹣1 B. y=3x+1 C. y=4x+1 D. y=4x﹣1
（2016高二下·南安期中）已知某运动员每次投篮命中的概率低于40%，现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示命中，5，6，7，8，9，0表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果．经随机模拟产生了如下20组随机数：
907 966 191 925 271 932 812 458 569 683
431 257 393 027 556 488 730 113 537 989
据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为（ ）
A. 0.35 B. 0.25 C. 0.20 D. 0.15
为了测算如图阴影部分的面积，作一个边长为6的正方形将其包含在内，并向正方形内随机投掷800个点，已知恰有200个点落在阴影部分内，据此，可估计阴影部分的面积是（ ）
A. 12 B. 9 C. 8 D. 6
（2019高二下·吉林期末）一只袋内装有m个白球， n−m 个黑球，所有的球除颜色外完全相同，连续不放回地从袋中取球，直到取出黑球为止，设此时取出了X个白球，则下列概率等于 （n−m)Am2An3 的是（ ）
A. P(X=3) B. P(X≥2) C. P(X≤3) D. P(X=2)
如图，面积为4的矩形ABCD中有一块阴影部分，若往矩形ABCD中随机投掷1000个点，落在矩形ABCD的非阴影部分中的点数为600个，则据此估计阴影部分的面积为（ ）
A. 1.2 B. 1.4 C. 1.6 D. 1.8
（2017·浙江）我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率π，理论上能把π的值计算到任意精度，祖冲之继承并发展了“割圆术”，将π的值精确到小数点后七位，其结果领先世界一千多年，“割圆术”的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积S6 ， S6= ．
（2017·石嘴山模拟）如图，在边长为1的正方形中随机撒1000粒豆子，有380粒落到阴影部分，据此估计阴影部分的面积为 ．
（2017高一上·邢台期末）如图，面积为10的矩形中有一封闭曲线围成的阴影区域，在矩形中随机撒一粒种子，它落在阴影区域内的概率为 35 ，则阴影区域的面积为 ．
在边长为2的正方形ABCD中有一个不规则的图形M，用随机模拟方法来估计不规则图形的面积．若在正方形ABCD中随机产生了10000个点，落在不规则图形M内的点数恰有2000个，则在这次模拟中，不规则图形M的面积的估计值为 ．
如图所示，分别以A，B，C为圆心，在△ABC内作半径为2的扇形（图中的阴影部分），在△ABC内任取一点P，如果点P落在阴影内的概率为13 ， 那么△ABC的面积是 ．
练习答案
【答案】 A
【考点】模拟方法估计概率
【解析】设切点 P(x0,ex0) ， y'=ex
所以切线方程 y−ex0=ex0(x−x0) ，又因为过原点
所以 0−ex0=ex0(0−x0) 解得 x0=1
所以点P (1,e)
因为 y=ex 与 x 轴在 [0,1] 围成的面积是 01exdx=e−1
则阴影部分的面积为 e−1−e2=e2−1
而矩形 OAPB 的面积为 e
故向矩形 OAPB 中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为 e2−1e=e−22e
故答案为：A
【分析】由题意，利用模拟方法根据题中数据可得所求概率 .
【答案】 B
【考点】模拟方法估计概率
【解析】由题意知模拟三次投篮的结果，经随机模拟产生了如下10组随机数，在10组随机数中表示三次投篮恰有两次命中的有：907，925，683，共3组随机数，∴所求概率为0.30．故选B．
【分析】由题意知模拟三次投篮的结果，经随机模拟产生了如下10组随机数，在10组随机数中表示三次投篮恰有两次命中的有可以通过列举得到共3组随机数，根据概率公式，得到结果
【答案】 B
【考点】模拟方法估计概率
【解析】由题意，阴影部分的面积为 S=∫10(1−x2)dx=(x−13x3)|10 =23 ，正方形的面积为1.
∵正方形中随机投掷10000个点，
∴落入阴影部分的点的个数的估计值为 1000×23≈6667
故答案为：B.
【分析】求出阴影部分面积，得出点落入阴影的概率，从而得出入阴影部分的点的个数．在大量重复试验的前提下，可以用随机事件发生的频率来估计其发生的概率，但确定随机事件发生的频率常常需要人工做大量的重复试验，既费时又费力，并且有时很难实现．因此我们可以借助于模拟方法来估计某些随机事件发生的概率．
【答案】 A
【考点】模拟方法估计概率
【解析】在20组数据中，至少击中3次的为7527、9857、8636、6947、4698、8045、9597、7424，共 8 次，故该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为 820=0.4 .
故答案为：A
【分析】根据20组随机数，计算出至少击中3次的次数，由此估计出该射击运动员射击4次至少击中3次的概率.
【答案】 B
【考点】模拟方法估计概率
【解析】解：由题意，阴影部分的面积S= = = 23 ，正方形的面积为1，
∵正方形中随机投掷10000个点，
∴落入阴影部分（曲线C的方程为x2﹣y=0）的点的个数的估计值为10000× 23 ≈6667，
故选B．
【分析】由题意，阴影部分的面积S= = = 23 ，正方形的面积为1，利用正方形中随机投掷10000个点，即可得出结论．
【答案】 C
【考点】随机数的含义与应用，模拟方法估计概率
【解析】设奥运五环所占的面积为 S1 ，矩形的面积为 S=8×5=40 ，
由在长方形内随机取了 N 个点，经统计落入五环及其内部的点数为 n 个，
根据面积比的几何概型概率公式得 S1S=nN ，则 S1=nNS=40nN ，
单独五个圆的面积为 S3=5π×12=5π ，
所以奥运会所占面积与单独五个环面积和的比例为 P=40nN5π=8nπN ，
故答案为：C.
【分析】求出五个圆的面积，利用模拟方法估计概率，即可求出答案．
【答案】 D
【考点】模拟方法估计概率
【解析】解：直角三角形的斜边长为 82+152 =17，
设内切圆的半径为r，则8﹣r+15﹣r=17，解得r=3．
∴内切圆的面积为πr2=9π，
∴豆子落在内切圆外部的概率P=1﹣ 9π12×8×15 =1﹣ 3π20 ．
故答案为：D．
【分析】求出内切圆半径，注意直角三角形内切圆半径等于两直角边和减去斜边的差的一半。计算内切圆和三角形的面积，从而得出答案．
【答案】 D
【考点】模拟方法估计概率
【解析】解：区域Ω的面积为S1=16．
图中阴影部分的面积：S2=S1﹣2．
设落在阴影部分的豆子数为m，由已知条件， 即m=600．
因此落在图中阴影部分的豆子约为600粒．
【分析】利用定积分，求出阴影部分的面积，再利用几何概型，即可得出结论．
【答案】 A
【考点】模拟方法估计概率
【解析】解：设区域面积为x，
由概率的几何概型知，则 3021000=x2 ，
解得x=0.604．
则该区域面积的近似值为0.604，
故选：A．
【分析】先求出矩形的面积为2，设区域面积为x，由概率的几何概型知 3021000=x2 ，由此能求出该区域面积
【答案】 B
【考点】模拟方法估计概率
【解析】20组随机数中恰有三个数在1,2,3,4,5,6中,有3013， 2604，5725，6576四组，因此四次射击中恰有三次击中目标的概率约为 420=15,
故答案为：B.
【分析】计算20组随机数中符合条件的随机数组数即可得出答案．在大量重复试验的前提下，可以用随机事件发生的频率来估计其发生的概率，但确定随机事件发生的频率常常需要人工做大量的重复试验，既费时又费力，并且有时很难实现．因此我们可以借助于模拟方法来估计某些随机事件发生的概率．
【答案】 B
【考点】模拟方法估计概率
【解析】解：由题意知模拟打3局比赛甲恰好获胜2局的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数，
在30组随机数中表示打3局比赛甲恰好获胜2局的有：102，146，245，310，481，337，139，235，246，共9组随机数，
∴所求概率为 930 = 310 ．
故答案为：B．
【分析】由题意可得在30组随机数中表示打3局比赛甲恰好获胜2局的共有9组随机数，根据模拟方法估计概率可得所求概率为310.
【答案】 D
【考点】模拟方法估计概率
【解析】解：根据题意得，需要经过的线性变换将0～1之间的随机数x变换成区间[﹣1，3]上的数，
设需要经过的线性变换为y=kx+b，则把它看成直线，此直线经过点（0，﹣1）和（1，3），如图．
从而有： ，
则需要经过的线性变换是y=4x﹣1．
故选D．
【分析】由题意得，需要经过的线性变换将0～1之间的随机数x变换成区间[﹣1，3]上的数，设需要经过的线性变换为y=kx+b，则把它看成直线，此直线经过点（0，﹣1）和（1，3），据此即可求得需要经过的线性变换．
【答案】 B
【考点】模拟方法估计概率
【解析】解：由题意知模拟三次投篮的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数，
在20组随机数中表示三次投篮恰有两次命中的有：191、271、932、812、393．
共5组随机数，
∴所求概率为 520=14 =0.25．
故选B．
【分析】由题意知模拟三次投篮的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数，在20组随机数中表示三次投篮恰有两次命中的有可以通过列举得到共5组随机数，根据概率公式，得到结果．
【答案】 B
【考点】模拟方法估计概率
【解析】解：根据题意，设阴影部分的面积为S，则正方形的面积为36，
向正方形内随机投掷800个点，已知恰有200个点落在阴影部分内，
则向正方形内随机投掷一点，其落到阴影部分的概率P= 200800=14；
，
解可得，S=9；
故选B．
【分析】设阴影部分的面积为S，根据题意，可得向正方形内随机投掷一点，其落到阴影部分的概率P=14；，又由几何概型可得 ， 解可得答案．
【答案】 D
【考点】模拟方法估计概率，概率的应用
【解析】当 X=2 时，即前2个拿出的是白球，第3个是黑球，
前2个拿出白球，有 Am2 种取法，再任意拿出1个黑球即可，有 Cn−m1 种取法，
而在这3次拿球中可以认为按顺序排列，
此排列顺序即可认为是依次拿出的球的顺序，即 An3 ，
P(X=2)=Am2Cn−m1An3=(n−m)Am2An3 ．
故答案为：D．
【分析】当 X=2 时，前2个拿出白球的取法有 Am2 种，再任意拿出1个黑球即可，有 Cn−m1 种取法，在这3次拿球中可以认为按顺序排列，由此能求出结果．
【答案】 C
【考点】模拟方法估计概率
【解析】解：根据几何概率的计算公式可得，向距形内随机投掷1000个点，落在矩形ABCD的非阴影部分中的点数为600个，则落在矩形ABCD的阴影部分中的点数为400个，
设阴影部分的面积为S，落在阴影部分为事件A，
∴落在阴影部分的概率P（A）= ， 解得S=1.6．
故选C．
【分析】根据若往矩形ABCD投掷1000个点，落在矩形ABCD的非阴影部分中的点数为600个可估计落在阴影部分的概率，而落在阴影部分的概率等于阴影部分的面积与矩形的面积比，从而可求出所求．
【答案】 332
【考点】模拟方法估计概率
【解析】解：如图所示，
单位圆的半径为1，则其内接正六边形ABCDEF中，
△AOB是边长为1的正三角形，
所以正六边形ABCDEF的面积为
S6=6× 12 ×1×1×sin60°= 332 ．
故答案为： 332 ．
【分析】根据题意画出图形，结合图形求出单位圆的内接正六边形的面积．
【答案】 0.38
【考点】模拟方法估计概率
【解析】解：正方形的面积S=1，设阴影部分的面积为S，
∵随机撒1000粒豆子，有380粒落到阴影部分，
∴由几何槪型的概率公式进行估计得 S1=3801000 ，
即S=0.38，
故答案为：0.38．
【分析】根据几何槪型的概率意义，即可得到结论．
【答案】 6
【考点】模拟方法估计概率
【解析】解：由题意， S阴影S矩形 = 35 ，
∴S阴影=10× 35 =6，
故答案为6．
【分析】根据概率之比等于面积之比可得。
【答案】 45
【考点】模拟方法估计概率
【解析】解：由题意，∵在正方形ABCD中随机产生了10000个点，落在不规则图形M内的点数恰有2000个，
∴概率P= 200010000=15 ，
∵边长为2的正方形ABCD的面积为4，
∴不规则图形M的面积的估计值为 ．
故答案为：45
【分析】先利用古典概型的概率公式求概率，再求不规则图形M的面积的估计值．
【答案】 6π
【考点】模拟方法估计概率
【解析】解：由题意知本题是一个几何概型，
∵试验发生包含的所有事件是直角三角形的面积S，
阴影部分的面积S1=12π22=2π．
点P落在区域M内的概率为P= 2πS=13 ．
故S=6π，
故答案为：6π．
【分析】由题意知本题是一个几何概型，先试验发生包含的所有事件是三角形的面积S，然后求出阴影部分的面积，代入几何概率的计算公式即可求解．