高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第二册7.1 实际问题中导数的意义学案设计

这是一份高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第二册7.1 实际问题中导数的意义学案设计，共10页。学案主要包含了导数在物理学中的应用，导数在经济活动中的应用，导数在生活中的应用等内容，欢迎下载使用。

学习目标 1.了解导数在实际问题中的意义.2.能用导数解释一些实际问题．
导语
低碳生活(lw carbn living)，就是指在生活中要尽力减少所消耗的能量，特别是二氧化碳的排放量，从而减少对大气的污染，减缓生态恶化．低碳生活节能环保，势在必行．现实生活中，当汽车行驶路程一定时，我们希望汽油的使用效率最高，即每千米路程的汽油消耗最少或每升汽油能使汽车行驶的路程最长．如何使汽油的使用效率最高？
一、导数在物理学中的应用
例1 物体作自由落体运动，其方程为s(t)＝eq \f(1,2)gt2(其中位移单位：m，时间单位：s，g＝9.8 m/s2)．
(1)计算当t从2 s变到4 s时位移s关于时间t的平均变化率，并解释它的意义；
(2)求s′(2)，并解释它的意义．
解 (1)当t从2 s变到4 s时，位移s从s(2)变到s(4)，
此时，位移s关于时间t的平均变化率为
eq \f(s4－s2,4－2)＝eq \f(\f(1,2)g×42－\f(1,2)g×22,4－2)
＝9.8×3＝29.4(m/s)．
它表示物体从2 s到4 s这段时间平均每秒下落29.4 m.
(2)∵s′(t)＝gt，
∴s′(2)＝2g＝19.6(m/s)．
它表示物体在t＝2 s时的瞬时速度为19.6 m/s.
反思感悟 在物理学中：
(1)瞬时速度：物体在某一时刻的速度称为瞬时速度，它是位移s关于时间t的导数；速度v关于时间t的导数是加速度．
(2)功与功率：通常称力在单位时间内做的功为功率，它是功W关于时间t的导数．
(3)线密度：单位长度的物质质量称为线密度，它是质量关于长度的导数．
跟踪训练1 某人拉一车前行，他所做的功(单位：J)是时间t(单位：s)的函数，其函数关系式为W(t)＝t3－2t＋1.
(1)求t从1 s变到3 s时，功W关于时间t的平均变化率，并解释其意义；
(2)求W′(1)，W′(2)，解释它们的意义．
解 (1)当t从1 s变到3 s时，功W从W(1)＝1－2＋1＝0(J)变到W(3)＝33－2×3＋1＝22(J)，
其平均变化率为eq \f(W3－W1,3－1)＝eq \f(22－0,3－1)＝11(J/s)，
它表示从t＝1 s到t＝3 s这段时间内，这个人平均每秒做功11 J.
(2)因为W′(t)＝3t2－2，
所以W′(1)＝3－2＝1(J/s)，
W′(2)＝3×22－2＝10(J/s)，
W′(1)，W′(2)分别表示t＝1 s和t＝2 s时，这个人每秒做的功为1 J和10 J.
二、导数在经济活动中的应用
例2 某机械厂生产某种机器配件的最大生产能力为每日100件，假设日产品的总成本C(元)与日产量x(件)的函数关系为C(x)＝eq \f(1,4)x2＋60x＋2 050.求当日产量由10件提高到20件时，总成本的平均改变量，并说明其实际意义．
解 当x从10件提高到20件时，
总成本C从C(10)＝2 675元变到C(20)＝3 350元．
此时总成本的平均改变量为eq \f(C20－C10,20－10)＝67.5(元/件)，
其表示日产量从10件提高到20件时平均每件产品的总成本的改变量．
延伸探究 若本例的条件不变，求当日产量为75件时的边际成本，并说明其实际意义．
解 因为C′(x)＝eq \f(1,2)x＋60，
所以C′(75)＝eq \f(1,2)×75＋60＝97.5(元/件)，
它指的是当日产量为75件时，每多生产一件产品，需增加成本97.5元．
反思感悟 在生活和生产及科研中经常遇到的成本问题、用料问题、效率问题和利润等问题，在讨论其改变量时常用导数解决．
跟踪训练2 东方机械厂生产一种木材旋切机械，已知生产总利润c元与生产量x台之间的关系式为c(x)＝－2x2＋7 000x＋600.
(1)求产量为1 000台的总利润与平均利润；
(2)求产量由1 000台提高到1 500台时，总利润的平均改变量；
(3)求c′(1 000)与c′(1 500)，并说明它们的实际意义．
解 (1)产量为1 000台时的总利润为
c(1 000)＝－2×1 0002＋7 000×1 000＋600
＝5 000 600(元)，
平均利润为eq \f(c1 000,1 000)＝5 000.6(元/台)．
(2)当产量由1 000台提高到1 500台时，总利润的平均改变量为
eq \f(c1 500－c1 000,1 500－1 000)＝eq \f(6 000 600－5 000 600,500)＝2 000(元/台)．
(3)∵c′(x)＝(－2x2＋7 000x＋600)′
＝－4x＋7 000，
∴c′(1 000)＝－4×1 000＋7 000＝3 000(元/台)．
c′(1 500)＝－4×1 500＋7 000＝1 000(元/台)．
c′(1 000)＝3 000表示当产量为1 000台时，每多生产一台机械可多获利3 000元．
c′(1 500)＝1 000表示当产量为1 500台时，每多生产一台机械可多获利1 000元．
三、导数在生活中的应用
例3 某年高考，某考生在参加数学科考试时，其解答完的题目数量y(单位：道)与所用时间x(单位：分钟)近似地满足函数关系y＝f(x)＝2eq \r(x).
(1)求x从0分钟变化到36分钟时，y关于x的平均变化率，并解释它的实际意义；
(2)求f′(64)，f′(100)，并解释它们的实际意义．
解 (1)x从0分钟变化到36分钟时，y关于x的平均变化率为eq \f(f36－f0,36－0)＝eq \f(12,36)＝eq \f(1,3)(道/分钟)．
它表示该考生前36分钟平均每分钟解答eq \f(1,3)道题．
(2)因为f′(x)＝eq \f(1,\r(x))，
所以f′(64)＝eq \f(1,8)(道/分钟)，f′(100)＝eq \f(1,10)(道/分钟)．
它们分别表示该考生在第64分钟和第100分钟时每分钟可解答eq \f(1,8)和eq \f(1,10)道题．
反思感悟 解决实际问题的一般步骤
(1)审题：阅读理解文字表达的题意，分清条件和结论，找出问题的主要关系．
(2)建模：将文字语言转化成数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型．
(3)解模：把数学问题化归为常规问题，选择合适的数学方法求解．
(4)对结果进行验证评估，定性、定量分析，作出正确的判断，确定其答案．
跟踪训练3 一名工人上班后开始连续工作，生产的产品数量y(单位：g)是工作时间x(单位：h)的函数，设这个函数表示为y＝f(x)＝eq \f(x2,20)＋4eq \r(x).
(1)求x从1 h变到4 h时，y关于时间x的平均变化率，并解释它的实际意义；
(2)求f′(1)，f′(4)，并解释它的实际意义．
解 (1)当x从1 h变到4 h时，产量y从f(1)＝eq \f(81,20)(g)变到f(4)＝eq \f(176,20)(g)，
此时平均变化率为eq \f(f4－f1,4－1)＝eq \f(\f(176,20)－\f(81,20),3)＝eq \f(19,12)(g/h)，
它表示从1 h到4 h这段时间内这个人平均每小时生产eq \f(19,12) g产品．
(2)f′(x)＝eq \f(x,10)＋eq \f(2,\r(x))，
于是f′(1)＝eq \f(21,10)(g/h)，f′(4)＝eq \f(7,5)(g/h)，
分别表示在第1小时和第4小时这个人每小时生产产品eq \f(21,10) g和eq \f(7,5) g.
1.知识清单：
(1)导数在物理学中的应用．
(2)导数在经济活动中的应用．
(3)导数在生活中的应用．
2．方法归纳：数学建模．
3．常见误区：忽略实际问题的定义域．
1．某人拉动一个物体前进，他所做的功W是时间t的函数W＝W(t)，则W′(t0)表示( )
A．t＝t0时做的功
B．t＝t0时的速度
C．t＝t0时的位移
D．t＝t0时的功率
答案 D
2．在一次降雨过程中，降雨量y是时间t的函数，用y＝f(t)表示，则f′(10)表示( )
A．t＝10时的降雨强度 B．t＝10时的降雨量
C．t＝10时的时间 D．t＝10时的温度
答案 A
解析 f′(t)表示t时刻的降雨强度．故选A.
3．如果物体做直线运动的方程为s(t)＝2(1－t)2，则其在t＝4时的瞬时速度为( )
A．12 B．－12 C．4 D．－4
答案 A
解析 s′(t)＝－4(1－t)，∴s′(4)＝－4(1－4)＝12.
4．某汽车的路程函数是s＝2t3－eq \f(1,2)gt2(g＝10 m/s2)，则当t＝2 s时，汽车的加速度是________m/s2.
答案 14
解析 ∵v(t)＝s′(t)＝6t2－gt，a(t)＝v′(t)＝12t－g，
∴a(2)＝12×2－10＝14(m/s2)．
课时对点练
1．炼油厂某分厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第x小时，原油温度(单位：℃)为f(x)＝eq \f(1,3)x3－x2＋8(0≤x≤5)，那么原油温度的瞬时变化率的最小值是( )
A．8 B.eq \f(20,3) C．－1 D．－8
答案 C
解析 原油温度的瞬时变化率为f′(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1(0≤x≤5)，所以当x＝1时，原油温度的瞬时变化率取得最小值－1.
2．(多选)下列四个命题是假命题的是( )
A．曲线y＝x3在原点处没有切线
B．若函数f(x)＝eq \r(x)，则f′(0)＝0
C．加速度是动点位移函数s(t)对时间t的导数
D．函数y＝x5的导函数的值恒非负
答案 ABC
解析 A中，y′＝3x2，x＝0时，y′＝0，∴y＝x3在原点处的切线为y＝0；B中，f(x)在x＝0处导数不存在；C中，s(t)对时间t的导数为瞬时速度；D中，y′＝5x4≥0，∴命题A，B，C为假命题，D为真命题．
3．某公司的盈利y(元)和时间x(天)的函数关系是y＝f(x)，假设f′(x)>0恒成立，且f′(10)＝10，f′(20)＝1，则这些数据说明第20天与第10天比较( )
A．公司已经亏损
B．公司的盈利在增加，但增加的幅度变小
C．公司在亏损且亏损幅度变小
D．公司的盈利在增加，且增加的幅度变大
答案 B
解析 因为导数的含义是变化率，f′(10)>f′(20)>0，所以公司的盈利在增加，且增加的幅度变小．
4．细杆AB的长为20 cm，M为细杆AB上的一点，AM段的质量与A到M的距离的平方成正比，当AM＝2 cm时，AM的质量为8 g，那么当AM＝x cm时，M处的细杆线密度ρ(x)为( )
A．2x B．3x C．4x D．5x
答案 C
解析 设m(x)＝kx2，当AM＝2时，m(2)＝k·22＝8，
∴k＝2.
∴m(x)＝2x2.
∴ρ(x)＝m′(x)＝4x.
5．某汽车的紧急刹车在遇到特别情况时需在2 s内完成刹车，其位移s(单位：m)关于时间t(单位：s)的函数为s(t)＝－eq \f(1,3)t3－4t2＋20t＋15，则s′(1)的实际意义为( )
A．汽车刹车后1 s内的位移
B．汽车刹车后1 s内的平均速度
C．汽车刹车后1 s时的瞬时速度
D．汽车刹车后1 s时的位移
答案 C
解析 由导数的实际意义知，位移关于时间的瞬时变化率为该时刻的瞬时速度．
6．汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s看作时间t的函数，其图象可能是( )
答案 A
7．人体血液中药物的质量浓度c＝f(t)(单位：mg/mL)随时间t(单位：min)变化，且f′(2)＝0.3，则f′(2)表示_________________________________________________________________．
答案 服药后2 min时血液中药物的质量浓度以每分钟0.3 mg/mL的速度增加
8.如图，水波的半径以50 cm/s的速度向外扩张，当半径为250 cm时，一水波面的圆面积的膨胀率是________．
答案 25 000π
解析 ∵面积S＝πr2，半径r＝50t，∴S＝2 500πt2.
令r＝50t＝250，∴t＝5，
又S′＝5 000πt，
∴当t＝5时的膨胀率为5 000π×5＝25 000π.
9．某企业每天的产品均能售出，售价为490元/吨，其每天成本C与每天产量q之间的函数为C(q)＝2 000＋450q＋0.02q2.
(1)写出收入函数；
(2)写出利润函数；
(3)求利润函数的导数，并说明其经济意义．
解 设收入函数为R(q)，利润函数为L(q)．
(1)收入函数为R(q)＝490q.
(2)利润函数为L(q)＝R(q)－C(q)＝490q－(2 000＋450q＋0.02q2)＝－2 000＋40q－0.02q2.
(3)利润函数的导数为
L′(q)＝(－2 000＋40q－0.02q2)′＝40－0.04q.
利润函数的导数称为边际利润，其经济意义为当产量达到q时，再增加单位产量后利润的改变量．
10．某厂生产某种产品x件的总成本c(x)＝120＋eq \f(x,10)＋eq \f(x2,100)(元)．
(1)当x从200变到220时，总成本c关于产量x的平均变化率是多少？它代表什么实际意义？
(2)求c′(200)，并解释它代表什么实际意义？
解 (1)当x从200变到220时，总成本c从c(200)＝540元变到c(220)＝626元．
此时总成本c关于产量x的平均变化率为
eq \f(c220－c200,220－200)＝eq \f(86,20)＝4.3(元/件)，
它表示产量从x＝200件变化到x＝220件时，平均每件的成本为4.3元．
(2)c′(x)＝eq \f(1,10)＋eq \f(x,50)，于是c′(200)＝eq \f(1,10)＋4
＝4.1(元/件)．
它指的是当产量为200件时，每多生产一件产品，需增加4.1元成本．
11.如图，设有定圆C和定点O，当l从l0开始在平面上绕O匀速旋转(旋转角度不超过90°)时，它扫过的圆内阴影部分的面积S是时间t的函数，则它的图象大致是( )
答案 D
解析 由于是匀速旋转，所以阴影部分的面积在开始和最后时段缓慢增加，而中间时段相对增速较快．选项A表示面积的增速是常数，与实际不符；选项B表示最后时段面积的增速较快，也与实际不符；选项C表示开始时段和最后时段面积的增速比中间时段快，与实际不符；选项D表示开始和最后时段面积的增速缓慢，中间时段增速较快．符合实际．
12．设球的半径关于时间t的函数为R(t)，若球的体积V以均匀速度C增长，则球的表面积的增长速度与球半径( )
A．成正比，比例系数为C
B．成正比，比例系数为2C
C．成反比，比例系数为C
D．成反比，比例系数为2C
答案 D
解析 根据题意知，V＝eq \f(4,3)πR3(t)，S＝4πR2(t)，球的体积增长速度为V′＝4πR2(t)·R′(t)，球的表面积增长速度为S′＝2·4πR(t)·R′(t)＝eq \f(2C,Rt).∴球的表面积的增长速度与球半径成反比，比例系数为2C.
13．一个质量为2 kg的物体做直线运动，设运动距离s(单位：m)与时间t(单位：s)的关系可用函数s(t)＝t2＋t＋1表示，并且物体的动能Ek＝eq \f(1,2)mv2，则物体开始运动后第5 s时的动能为________J.
答案 121
解析 由s(t)＝t2＋t＋1，得v＝s′(t)＝2t＋1.
则物体开始运动后第5 s时的瞬时速度v＝s′(5)＝11，
此时的动能为Ek＝eq \f(1,2)×2×112＝121.
14．假设某国家在20年间的平均通货膨胀率为5%，物价p(单位：元)与时间t(单位：年)有如下函数关系：p(t)＝p0(1＋5%)t，其中p0为t＝0时的物价，假定某种商品的p0＝1，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是________元/年(精确到0.01)．
答案 0.08
解析 ∵p0＝1，∴p(t)＝(1＋5%)t＝1.05t.
在第10个年头，这种商品价格上涨的速度，即为函数的导函数在t＝10时的函数值．
∵p′(t)＝(1.05t)′＝1.05t·ln 1.05，
∴p′(10)＝1.0510×ln 1.05≈0.08(元/年)．
∴在第10个年头，这种商品的价格约以0.08元/年的速度上涨．
15．水以20 m3/min的速度流入一圆锥形容器，设容器深30 m，上底直径为12 m，试求当水深10 m时，水面上升的速度为________．
答案 eq \f(5,π) m/min
解析 设容器中水的体积在t min时为V，水深为h，
则V＝20t，V＝eq \f(1,3)πr2h(r如图所示)．
由图知eq \f(r,h)＝eq \f(6,30)，∴r＝eq \f(1,5)h，
∴V＝eq \f(1,3)π·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,5)))2·h3＝eq \f(π,75)h3，
∴20t＝eq \f(π,75)h3，∴h＝eq \r(3,\f(1 500,π)t)，
于是h′＝eq \r(3,\f(1 500,π))·eq \f(1,3)·，
当h＝10时，t＝eq \f(2π,3)，此时h′＝eq \f(5,π)，
∴当水深10 m时，水面上升的速度为eq \f(5,π) m/min.
16．一个电路中，流过的电荷量Q(单位：C)关于时间t(单位：s)的函数为Q(t)＝3t2－ln t.
(1)求当t从1变到2时，电荷量Q关于时间t的平均变化率，并解释它的实际意义；
(2)求Q′(2)，并解释它的实际意义．
解 (1)当t从1变到2时，电荷量从Q(1)变到Q(2)，
此时电荷量Q关于时间t的平均变化率为eq \f(Q2－Q1,2－1)＝eq \f(3×22－ln 2－3×12－ln 1,1)≈8.31，
它表示从t＝1 s到t＝2 s这段时间内，平均每秒经过该电路的电荷量为8.31 C，也就是这段时间内电路的平均电流为8.31 A.
(2)Q′(t)＝6t－eq \f(1,t)，Q′(2)＝11.5，它的实际意义是在t＝2 s这一时刻经过该电路的电荷量为11.5 C，也就是这一时刻电路的电流为11.5 A.