专题09 导数的运算与导数的几何意义（解析版）学案

专题09  导数的运算与导数的几何意义

【热点聚焦与扩展】

导数的几何意义为高考热点内容，考查题型文科多为选择、填空题，理科常出现在解答题中，难度中等或更小．导数的运算基本不单独命题，主要是在导数的几何意义及导数的应用中加以考查.导数的几何意义问题归纳起来常见的命题探究角度有：

(1)求切线方程问题．

(2)确定切点坐标问题．

(3)已知切线问题求参数．

(4)切线的综合应用．

（一）与切线相关的定义

1、切线的定义：在曲线的某点A附近取点B，并使B沿曲线不断接近A.这样直线AB的极限位置就是曲线在点A的切线.

（1）此为切线的确切定义，一方面在图像上可定性的理解为直线刚好与曲线相碰，另一方面也可理解为一个动态的过程，让切点A附近的点向不断接近，当与距离非常小时，观察直线是否稳定在一个位置上.

（2）判断一条直线是否为曲线的切线，不再能用公共点的个数来判定.例如函数在处的切线，与曲线有两个公共点.

（3）在定义中，点不断接近包含两个方向，点右边的点向左接近，左边的点向右接近，只有无论从哪个方向接近，直线的极限位置唯一时，这个极限位置才能够成为在点处的切线.对于一个函数，并不能保证在每一个点处均有切线.例如在处，通过观察图像可知，当左边的点向其无限接近时，割线的极限位置为，而当右边的点向其无限接近时，割线的极限位置为，两个不同的方向极限位置不相同，故在处不含切线.

（4）由于点沿函数曲线不断向接近，所以若在处有切线，那么必须在点及其附近有定义（包括左边与右边）

2、函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点(x0，f(x0))处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)．相应地，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．

3、从导数的几何意义中可通过数形结合解释几类不含导数的点：

（1）函数的边界点：此类点左侧（或右侧）的点不在定义域中，从而某一侧不含割线，也就无从谈起极限位置.故切线不存在，导数不存在；与此类似还有分段函数如果不连续，则断开处的边界值也不存在导数.

（2）已知点与左右附近点的割线极限位置不相同，则不存在切线，故不存在导数.例如前面例子在处不存在导数.此类情况多出现在单调区间变化的分界处，判断时只需选点向已知点左右靠近，观察极限位置是否相同即可.

（3）若在已知点处存在切线，但切线垂直轴，则其斜率不存在，在该点处导数也不存在.例如：在处不可导.

综上所述：（1）-（3）所谈的点均不存在导数，而（1）（2）所谈的点不存在切线，（3）中的点存在切线，但没有导数.由此可见：某点有导数则必有切线，有切线则未必有导数.

（二）方法与技巧：

1、求切线方程的方法：一点一方向可确定一条直线，在求切线时可考虑先求出切线的斜率（切点导数）与切点，在利用点斜式写出直线方程.

2、若函数的导函数可求，则求切线方程的核心要素为切点的横坐标，因为可“一点两代”，代入到原函数，即可得到切点的纵坐标，代入到导函数中可得到切线的斜率,从而一点一斜率，切线即可求所以在解切线问题时一定要盯住切点横坐标，千方百计的把它求解出来.

3、求切线的问题主要分为两大类，一类是切点已知，那么只需将切点横坐标代入到原函数与导函数中求出切点与斜率即可，另一类是切点未知，那么先要设出切点坐标,再考虑利用条件解出核心要素，进而转化成第一类问题.

4、在解析几何中也学习了求切线的方法，即先设出切线方程，再与二次方程联立利用求出参数值进而解出切线方程.解析几何中的曲线与函数同在坐标系下，所以两个方法可以互通.若某函数的图像为圆锥曲线，二次曲线的一部分，则在求切线时可用解析的方法求解，例如：（图像为圆的一部分）在处的切线方程，则可考虑利用圆的切线的求法进行解决.若圆锥曲线可用函数解析式表示，像焦点在轴的抛物线，可看作关于的函数，则在求切线时可利用导数进行快速求解（此方法也为解析几何中处理焦点在轴的抛物线切线问题的重要方法）.

5、在处理切线问题时要注意审清所给已知点是否为切点.“在某点处的切线”意味着该点即为切点，而“过某点的切线”则意味着该点有可能是切点，有可能不是切点.如果该点恰好在曲线上那就需要进行分类讨论了.

【经典例题】

例1．【2020年高考全国Ⅰ卷理数6】函数的图像在点处的切线方程为 （   ）

A．          B．          C．          D．

【答案】B

【思路导引】求得函数的导数，计算出和的值，可得出所求切线的点斜式方程，化简即可．

【解析】，，，，因此，所求切线的方程为，即，故选B．

【专家解读】本题考查了导数的几何意义，考查曲线切线的求法，考查数学运算、直观想象等学科素养．解题关键是正确理解导数的几何意义．

例2．【2020年高考全国Ⅲ卷理数10】若直线与曲线和圆相切，则的方程为 （   ）

A．           B．          C．        D．

【答案】D

【思路导引】可以根据圆的切线性质，结合排除法得出正确答案；也可以根据导数的几何意义设出直线的方程，再由直线与圆相切的性质，即可得出答案．

【解析】解法一：由与圆相切，故圆心到直线的距离为圆半径，符合条件的只有A，D，将答案A的直线方程带入，得：，无解；将答案AD的直线方程带入，得：，有一解．故选D．

解法二：设直线在曲线上的切点为，则，

函数的导数为，则直线的斜率，

设直线的方程为，即，

由于直线与圆相切，则，

两边平方并整理得，解得，（舍），

则直线的方程为，即，故选D．

【专家解读】本题的特点是注重导数的几何意义的应用，本题考查了导数的几何意义，考查直线与圆的位置关系，考查圆的切线的几何性质，考查数学运算、直观想象、数学建模等学科素养．解题关键是正确有甴导数的几何意义及圆的切线性质解题．

例3．【2020年高考全国Ⅰ卷文数15】曲线的一条切线的斜率为，则该切线的方程为                    ．

【答案】

【思路导引】设切线的切点坐标为，对函数求导，利用，求出，代入曲线方程求出，得到切线的点斜式方程，化简即可．

【解析】设切线的切点坐标为，，

∴切点坐标为，所求的切线方程为，即，故答案为：．

【专家解读】本题考查了曲线切线方程的求法，考查数学运算学科素养．解题关键是正确应用导数的几何意义解题．

例4．（2020·渝中·重庆巴蜀中学高三三模）已知函数，，若与在公共点处的切线相同，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】设函数，的公共点设为，

则，即，解得，故选：B.

例5．（2020·四川成都·石室中学高三三模）已知a为常数，函数有两个极值点x1，x2(x1＜x2)，则下列结论正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】因为，

所以若要使函数有两个极值点，则有两个零点，

令，，则要使函数、的图象有两个不同交点，

易知直线恒过点，，

在同一直角坐标系中作出函数、的图象，如图，

当直线与函数的图象相切时，设切点为，

则，所以，，

所以当且仅当时，函数、的图象有两个不同交点，

所以若要使函数有两个极值点，则，故A、B错误；

当时，由图象可得当时，，函数单调递减，

且，

所以， ，故C正确，D错误.

故选：C.

例6．（2020·广东珠海·三模）直线是曲线和曲线的公切线，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】设直线与曲线相切于点，直线与曲线相切于点，

，则，由，可得，

则，即点，

将点的坐标代入直线的方程可得，可得，①

，则，由，可得，

，即点，

将点的坐标代入直线的方程可得，，②

联立①②可得，.故选：C.

例7．（2020·陕西延安中学高三三模）已知函数的图象在点处的切线为，若也与函数，的图象相切，则必满足（ ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】函数的导数为，图像在点处的切线的斜率为，切线方程为，即，设切线与相切的切点为，，由的导数为，切线方程为，即，∴，．

由，可得，且，解得，消去，可得，

令，，

在上单调递增，且，，所以有的根，故选D.

例8．（2020·常州市新桥高级中学三模）若函数的图象上的任意一点的切线斜率都大于0，则的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】因为函数，定义域

所以，

因为图象上的任意一点的切线斜率都大于0，

所以对任意的恒成立，

所以，

设，则

令，得到，舍去负根，

所以当时，，单调递增，

当时，，单调递减，

所以时，取最大值，为，

所以，故选B.

【精选精练】

1．（2020·河南中原·高三三模）若函数f（x）＝alnx（a∈R）与函数g（x）在公共点处有共同的切线，则实数a的值为（    ）

A．4 B． C． D．e

【答案】C

【解析】由已知得，

设切点横坐标为t，∴，解得.故选：C.

2．（2020·陕西榆林·高三三模）若函数的图象在处的切线与直线垂直，则（    ）

A． B．1 C． D．

【答案】D

【解析】，，∴，∴，

故选：D.

3．（2020·安徽池州·高三三模）已知函数，其中e为自然对数的底数，导函数，设，则下列判断正确的是（    ）

A．曲线在处的切线方程为，且

B．曲线在处的切线方程为，且

C．曲线在处的切线方程为，且

D．曲线在处的切线方程为，且

【答案】B

【解析】因为，所以，，所以曲线在处的切线方程为，

由指数函数的图象可知，函数的增长速度越来越快，故曲线的切线斜率越来越大，表示两点，连线所在直线的斜率，易知其在点处的切线斜率与点处的切线斜率之间，故选：B.

4．（2020·江西高三三模）曲线在处的切线与曲线在处的切线平行，则的递减区间为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】由题意，函数，，则，，

因为在处的切线与曲线在处的切线平行，

可得，即，即，解得，

所以，令，得，

即函数的递减区间为.故选：D.

5．（2020·黑龙江香坊·哈尔滨市第六中学校高三三模）过直线上一点可以作曲线两条切线，则点横坐标的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】由题意得，设切点为，

，

则过点的切线方程为，整理得

由点在切线上，则，即

因为过直线上一点可以作曲线两条切线

所以关于的方程有两个不等的实数根

即函数与函数的图象有两个交点

则函数在上单调递增，在上单调递减，且

时，；时，

则函数与函数的图象如下图所示

由图可知，，故选：C

6．（2020·小店·山西大附中高三三模）若函数与函数的图象存在公切线，则实数的取值范围是（   ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】设公切线与函数，分别切于点，，则过，的切线分别为：、，两切线重合，则有：代入得：，构造函数：，，．，，.，，，，∴，.欲合题意，只须.

7．（2020·雅安市高三三模）已知直线与曲线相切，则的最大值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】设切点，则由得，

又由，得，则，

有，令，则，

故当时；当时，故当时取得极大值也即最大值.故选：C.

8．（2020·安徽金安·六安一中高三三模）已知过点A（a，0）作曲线C：y＝x•ex的切线有且仅有两条，则实数a的取值范围是（　　）

A．（﹣∞，﹣4）∪（0，+∞） B．（0，+∞）

C．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） D．（﹣∞，﹣1）

【答案】A

【解析】设切点为，，，则切线方程为：，切线过点代入得：，

，即方程有两个解，则有或.故答案为:A.

9．（2020·定西市第一中学高三三模）已知曲线和，若直线与都相切，且与相切于点，则的横坐标为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】设，另设与相切于点，则．

由得，由得．

因为是和的切线，所以，即．

又在单调递增，所以．

又因为，即，

所以，

即，解得或（不合，舍去）．

所以，故选：C．

10．（2020·甘肃·西北师大附中高三三模）已知点是函数图象上一点，点是函数图象上一点，若存在使得成立，则的值为（    ）

A． B． C． D．1

【答案】A

【解析】由题意，当函数的图象上点处的切线与函数平行时，

此时函数的图象上点处的切线的斜率与函数的斜率相等，

又由，所以，即，解得，从而，即，

又由点到直线的距离为，

所以过点的直线与直线的垂直，

设点，则，解得.故选：A.

11．（2020·山东省实验高三三模）若函数与函数有两条公切线，则实数的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】设公切线与函数的图象切于点，

因为，所以，所以在点处斜线的斜率，

所以切线方程为；

设公切线与函数的图象切于点，

因为，所以，所以在处点斜线的斜率，

所以切线方程为，

所以有，

因为，所以，．又，

令，则，所以，

令且，得；令且，得，

所以在上为减函数，在上为增函数.

所以函数与函数有两条公切线，

满足，即，

所以．故选：D．

12．（2020·陕西高三三模）已知抛物线，P是直线上的动点，过点P向曲线C引切线，切点分别为A，B，则的重心（    ）

A．恒在x轴上方 B．恒在x轴上 C．恒在x轴下方 D．位置不确定

【答案】A

【解析】∵在直线上，∴设，

∵在上，∴设，

∵，∴，

∴点的切线方程为，

∵点在上，∴，即，

同理，点的切线方程有，

∴是方程的两根，

∴，

∴的重心恒在轴上方.故选：A.