高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第二册7.1 实际问题中导数的意义当堂检测题

【精挑】7.1 实际问题中导数的意义练习

一．填空题

1．已知函数.

若，则的极大值点为______．

若有3个极值点，则实数的取值范围是______．

2．对任意正整数，函数，若，则的取值范围是_________；若不等式恒成立，则的最大值为_________．

3．已知函数，则的最大值为__________．

4．已知偶函数的导函数为，且满足.当时，，则使得成立的x的取值范围为__________.

5．已知是奇函数，若恒成立，则实数a的取值范围是______．

6．已知函数是定义在区间上的可导函数，其导函数为，且满足，则不等式的解集为______.

7．若关于x的不等式恒成立，则的最大值是________________.

8．若在上单调递增，则实数a的取值范围是__________．

9．函数在上递减，则实数的取值范围是_____.

10．已知函数 若关于的不等式的解集非空，且为有限集，则实数的取值集合为___________.

11．若关于的方程有且只有三个不相等的实根，则实数的取值范围是__________.

12．函数在的最大值等于__________.

13．已知，则不等式的解集为__________.

14．函数的最小值为__________．

15．若函数的图象上存在关于原点对称的相异两点，则实数的最大值是_______.

16．用边长为的正方形铁皮做一个无盖的铁盒时，在铁皮的四角各截去一个面积相等的小正方形，然后把四边折起，就能焊接成铁盒，所做的铁盒容积最大________，在四角截去的正方形的边长为________.

17．若函数，的最大值为，则实数的最大值为___________.

18．若函数（是自然对数的底数）在的定义域上单调递增，则称函数具有性质．下列函数中所有具有性质的函数的序号为_______．

①②③④

参考答案与试题解析

1．【答案】     

【解析】当时，利用导数求得的极大值点；根据有三个极值点，利用分离常数法求得的取值范围.

详解：当时，，，

令，解得.所以在和上递增，

在上递减.所以的极大值点为.

，，

令得，

构造函数，

，

所以在上递增，在上递减，

所以的极大值为，极小值为

注意到当时，，

所以由有个极值点，可得.

所以实数的取值范围是.

故答案为：；

【点睛】

本小题主要考查利用导数研究函数的极值点，属于中档题.

2．【答案】       

【解析】

由题,,解得.

当为奇数时,,由,得,

而函数为单调递增函数,所以,所以；

当为偶数时,,由,得,

设,

,单调递增,

,所以,

综上可知,若不等式恒成立,则的最大值为.

故答案为:(1)；(2)

3．【答案】1

【解析】先求函数的定义域，再求导，求出函数的单调区间，即可求出的最大值

详解：解：因为，所以它的定义域为，

求导得．

令，得，令，得，

所以在上单调递增，在上单调递减，

所以的最大值为．

故答案为：1

【点睛】

此题考查利用导数求函数的最值，属于基础题.

4．【答案】

【解析】令，利用导数以及当时，，可得在上为减函数，再根据等价于，利用在上为减函数，可解得结果.

详解：令，则，…，

所以当时，，所以在上为减函数，

因为为偶函数，所以，

所以，所以为偶函数，

因为，所以，

所以当时，等价于等价于

所以，又在上为减函数，

所以，解得，又，

所以或.

故答案为：.

【点睛】

本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查了利用奇偶性和单调性解不等式，属于中档题.

5．【答案】

【解析】由题意结合奇函数的性质可得，进而可得，按照．讨论成立情况；当时，转化条件为恒成立，令，求导求得的最大值，令即可得解.

详解：由是奇函数可得，即，

所以，

当时，，可知此时单调递减，

所以，所以恒成立；

当时，，所以等价于，

令，则，

令，则，，

当时，，当时，，单调递增；

当时，，单调递减；

所以，

若要使恒成立，则恒成立，

所以即；

当，，单调递增，所以恒成立，满足题意；

当时，，当时，，单调递增；

当时，，单调递减；

所以，

若要使恒成立，则恒成立，

所以即；

综上所述，实数a的取值范围是.

故答案为：.

【点睛】

本题考查了奇函数性质的应用及导数的综合应用，考查了运算求解能力与逻辑推理能力，合理构造新函数是解题关键，属于中档题.

6．【答案】

【解析】根据条件，构造函数，利用函数的单调性和导数之间的关系，将不等式进行转化求解即可得到结论.

详解：构造函数，，

当时，，所以，所以在上单调递增，

，

当即时，有，

，

即，

综上.

故答案为：.

【点睛】

本题考查利用导数的单调性解不等式，解题关键是正确构造新函数，从而将不等式进行转化进而求解，考查逻辑思维能力和运算求解能力，考查转化思想，属于常考题.

7．【答案】

【解析】由，，原不等式可化为.再利用导数研究函数的图象，根据的图象恒在的图象的上方，对进行分类讨论，即可得到答案.

详解：由，，原不等式可化为.

设，则，

当时，，递增；

，，递减.

所以，在处取得极大值，且为最大值；

时，.

的图象恒在的图象的上方，

显然不符题意；

当时，为直线的横截距，其最大值为的横截距，

再令，可得，所以取得最大值为.

此时，，直线与在点处相切.

【点睛】

本小题主要考查函数的导数及其应用等基础知识；考查抽象概括能力．运算求解能力和创新意识；考查化归与转化．数形结合等思想方法.

8．【答案】

【解析】在上单调递增等价于在上恒成立，参变分离求最值，即可得到结果.

详解：由题意在上单调递增，

可知：在上恒成立，

即在上恒成立，

又，

∴，

故答案为：

【点睛】

本题主要考查函数单调性和导数之间的关系，将函数单调递增转化为恒成立是解决本题的关键．

9．【答案】

【解析】求出函数的导数，由函数在上递减，故在上恒成立，即可求出参数的取值范围；

详解：解：因为的定义域为，

又因为在上递减，故在上恒成立，

在上恒成立，

因为在上单调递减，

，

故答案为：

【点睛】

本题考查利用导数研究函数的单调性，属于基础题.

10．【答案】

【解析】利用导数，研究的性质和图像；利用换元法，结合二次不等式的解集，结合的函数图像，即可分类讨论求得.

详解：当时，，则，令，解得，

容易得在区间单调递减，在区间单调递增，

且在时，取得极小值，即；且时，；

当时，，则，令，解得，

容易得在区间单调递增，在区间单调递减，

且在时，取得极大值，即；且时，；

故的模拟图像如下所示：

综上所述：的值域为.

令，则，其，对称轴为：

当时，显然关于的二次不等式解集为空集，不满足题意；

当，即或时，

若，显然关于的二次不等式的解集为，又，

数形结合可知，此时关于的原不等式解集为空集，不满足题意；

若，关于的二次不等式的解集为，又，

数形结合可知，此时关于的原不等式解集为，满足题意；

当，即或时，

令，解得，

显然，故此时关于的不等式的解集为，

数形结合可知，要满足题意，只需或.

即，解得，满足或；

或，解得，不满足或，舍去；

综上所述，要满足题意，则或.

故答案为：.

【点睛】

本题考查利用导数研究函数的性质和图像，涉及二次不等式的求解，属压轴题.

11．【答案】

【解析】由参变量分离法得出，令（且），，作出函数的图象，由题意可知，关于的方程的两根．满足，，数形结合可得出实数的取值范围.

详解：显然不满足方程；

当且时，由得，

令，，对函数求导得，令得，列表如下：

所以，函数在处取得极大值，即，如下图所示：

由于关于的方程有且只有三个不相等的实根，

则关于的方程要有两个根．，且，，如下图所示：

所以，.

综上所述，实数的取值范围是.

故答案为：.

【点睛】

本题考查利用函数的零点个数求参数，考查了利用导数研究函数的零点个数问题，考查数形结合思想的应用，属于中等题.

12．【答案】

【解析】对函数求导即可得函数的单调区间，比较极大值及端点值即可得解.

详解：由题意，

所以当时，；当时，；

所以的单调增区间为，减区间为.

又，.

所以函数在的最大值等于.

故答案为：.

【点睛】

本题考查了利用导数求函数的最值，考查了运算求解能力，属于基础题.

13．【答案】

【解析】首先根据题意得到为偶函数，利用导数求出的单调区间，再根据单调区间解不等式即可.

详解：又因为，，

所以为偶函数.

当时，，，

因为，，所以，

故在为增函数.

又因为为偶函数，所以在为减函数.

因为，所以，解得或.

故答案为：

【点睛】

本题主要考查利用导数研究函数的单调性，同时考查了函数的奇偶，属于中档题.

14．【答案】

【解析】（1） 求导数， 确定函数在区间上的单调性， 即可求出函数在区间上的最小值．

详解：，

当时，

当时，

所以在上递减，在递增，

所以函数在处取得最小值，即．

【点睛】

本题考查导数知识的运用， 考查函数的单调性与最值， 考查学生的计算能力， 属于中档题 ．

15．【答案】

【解析】由题意题目可转化方程有两个不等的正根，得，令，利用导数研究函数的单调性与最值，由此可得出答案．

详解：解：∵点关于原点对称的点为，

∴题目可转化为函数与图像在第一象限内有两个交点，

即方程有两个不等的正根，得，

令，则，

由得，由得，

∴函数在上单调递增，在上单调递减，

∴，

∴，

故答案为：．

【点睛】

本题主要考查函数与方程的应用，考查利用导数研究函数的单调性与最值，考查转化与化归思想，属于中档题．

16．【答案】8192    8 

【解析】设小正方形边长为，铁盒体积为．根据题意建立函数关系,利用导数研究函数的单调性,进而求解.

详解：解：设小正方形边长为，铁盒体积为．

．

．

∵，∴．

令，则(舍去 )，，

当时，，函数单调递增，

当时，，函数单调递减，

所以当时铁盒的容积最大，，

故答案为：8192；8.

【点睛】

本题考查导数在实际问题中的应用，涉及利用导数研究函数的最值，属基础题.

17．【答案】

【解析】利用导数研究函数的单调性求出最值，分．两类进行绝对值运算，验证是否满足函数，的最大值为即可求得a的范围从而求出最大值.

详解：不妨令，则，解得，

当时，，为单调递减函数；当时，，为单调递增函数.

因为，

所以，

当时，在处取得最大值，满足题意；

当时，在处取得最大值，不满足题意.

所以，则a的最大值为.

故答案为：

【点睛】

本题考查利用导数研究函数的单调性及最值．含绝对值函数的性质，考查学生分类讨论思想，属于较难题.

18．【答案】①③④.

【解析】根据指数函数的单调性可知，①具有性质；利用导数研究函数函数的单调性可知，②不具有性质，③具有性质，④具有性质.

详解：对于①，令，因为，所以在上单调递增，故①具有性质；

对于②，令，则，由，得，由，得，所以在上递减，在上递增，所以②不具有性质；

对于③，令，则恒成立，所以在上单调递增，故③具有性质；

对于④，令，则，令，则，由，得，由，得，所以在内递减，在内递增，所以时，取得最小值1，

所以，，所以在内为单调递增函数，故④具有性质.

故答案为：①③④.

【点睛】

本题考查了指数函数的单调性，考查了利用导数研究函数的单调性，属于基础题.