数学选择性必修 第二册7.1 实际问题中导数的意义当堂达标检测题

【精挑】7.1 实际问题中导数的意义-1作业练习

一．填空题

1．已知定义域为的函数，，若存在唯一实数，使得，则实数的值是__________.

2．设是奇函数的导数，当时，，则不等式的解集为______.

3．已知函数，若关于的方程恰有四个不同的解，则实数的取值范围是______.

4．已知函数f（x）＝aex﹣x+2a2﹣3的值域为M，集合I＝（0，+∞），若I？M，则实数a的取值范围是_____．

5．已知函数在上单调递增,则实数的取值范围是_____.

6．已知函数，若关于的方程在定义域上有四个不同的解，则实数的取值范围是_______.

7．已知函数，其中a为常数.

（1）当时，求函数的单调区间；

（2）若函数在上单调递增，求实数a的取值范围.

8．已知函数，下列说法正确的是__________.的值域是；当时，方程 有两个不等实根；若函数有三个零点时，则；经过有三条直线与相切.

9．是定义在R上的函数，其导函数为，若，则不等式（其中为自然对数的底数）的解集为________.

10．已知函，，用max{m，n}表示m，n中的最大值，设．若在上恒成立，则实数a的取值范围为_____

11．设函数，其中，若存在唯一的整数，使得，则实数的取值范围是__________．

12．对于函数，若，则______.若有六个不同的单调区间，则的取值范围为______.

13．已知，若满足的有四个，则的取值范围为_____.

14．曲线在点处的切线方程为__________.

15．函数在区间上的最大值是__________.

16．在平面直角坐标系xOy中，已知，A，B是圆C：上的两个动点，满足，则△PAB面积的最大值是__________．

17．已知，若函数在区间上存在最小值，则的取值范围是_______．

18．已知是函数的导函数，若函数在区间上单调递减，则实数的范围是______.

参考答案与试题解析

1．【答案】0

【解析】通过导数，分别研究和的单调性和最值，得到，，从而得到，得到，，从而得到的值.

【详解】

，，

所以时，，单调递减；

时，，单调递增；

所以.

，，

所以时，，单调递减；

时，，单调递增；

所以.

所以，当且仅当时，等号成立.

而存在唯一实数，使得，

所以可得，所以.

故答案为：.

【点睛】

本题考查利用导数研究函数的单调性和最值，根据函数的最值求参数的值，属于中档题.

2．【答案】

【解析】当时，构造函数，利用导数分析函数的单调性，进而可分析出函数在区间上的符号变化，结合奇函数的性质可求得不等式的解集.

详解：由于函数为上的奇函数，则.

当时，，则.

当时，构造函数，则，

所以，函数在区间上单调递减，且.

当时，，，即，此时；

当时，，，即，此时；

又，所以，当时，.

由于函数为上的奇函数，当时，.

对于不等式，当时，，则，不合乎题意；

当时，，则，合乎题意；

当时，，则，不合乎题意.

综上所述，不等式的解集为.

故答案为：.

【点睛】

本题考查函数不等式的求解，解答的关键就是根据导数不等式的结构构造新函数，考查计算能力，属于中等题.

3．【答案】

【解析】设，判断 为偶函数，考虑x>0时，的解析式和零点个数, 利用导数分析函数的单调性,作函数大致图象，即可得到的范围.

【详解】

设，

则在是偶函数，

当时，，

由得，

记，

，，

故函数在增，而，

所以在减，在增，，

当时，，当时，，

因此的图象为

因此实数的取值范围是.

【点睛】

本题主要考查了函数的零点的个数问题，涉及构造函数，函数的奇偶性，利用导数研究函数单调性，考查了数形结合思想方法，以及化简运算能力和推理能力，属于难题.

4．【答案】

【解析】根据题意可知的最小值小于等于0，求导数，可看出时满足题意，

时可求出的最小值，由最小值小于等于0即可求出的范围，最后求并集即得实数的取值范围．

详解：由题意，的最小值小于等于0；

；

若，则在上单调递减，

当

即的值域为，满足题意；

②若时，函数在上单调递减，在上单调递增；

时，取极小值即最小值，；

令，；

则，即在上单调递增，

又，要使

；；

综上可得，实数的取值范围是．

故答案为：．

【点睛】

本题考查应用导数求函数的值域，对参数分类讨论是解题的关键，属于中档题．

5．【答案】

【解析】,解得在上恒成立,构造函数,解得x=1, 在上单调递增,在上单调递减,g(x)的最大值为g(1)=1, ,,故填.

点睛:本题考查函数导数与单调性.方程的有解问题就是判断是否存在零点的问题，可参变分离，转化为求函数的值域问题处理. 恒成立问题以及可转化为恒成立问题的问题，往往可利用参变分离的方法，转化为求函数最值处理．也可构造新函数然后利用导数来求解.注意利用数形结合的数学思想方法.

6．【答案】

【解析】由题意可在定义域上有四个不同的解等价于关于原点对称的函数与函数的图象有两个交点，运用参变分离和构造函数，进而借助导数分析单调性与极值，画出函数图象，即可得到所求范围.

详解：已知定义在上的函数

若在定义域上有四个不同的解

等价于关于原点对称的函数与函数f(x)=lnx-x(x>0)的图象有两个交点，

联立可得有两个解，即

可设，则，

进而且不恒为零，可得在单调递增.

由可得

时，单调递减；

时，单调递增，

即在处取得极小值且为

作出的图象，可得时，有两个解.

故答案为：

【点睛】

本题考查利用利用导数解决方程的根的问题，还考查了等价转化思想与函数对称性的应用，属于难题.

7．【答案】（1）单调递增区间为，；单调递减区间为；（2）.

试题分析：（1）求导后，利用导数的符号可得结果；

（2）转化为对一切实数，恒成立，利用判别式可得结果.

详解：（1）当时，，

求导可得，

令，得，或.

当或时，，单调递增；

当时，，单调递减.

所以单调递增区间为，；单调递减区间为.

（2）因为，所以，

因为函数在上单调递增，

所以对一切实数，恒成立，

所以，解得，

故实数a的取值范围是.

【点睛】

本题考查了分类讨论思想，考查了利用导数求函数的单调区间，考查了由函数的单调性求参数的取值范围，属于中档题.

【解析】

8．【答案】①②③

【解析】①：结合导数，用函数的单调性和奇偶性，求得的值域；②利用导数，证得方程 有两个不等实根；③根据为偶函数，故可先考虑的情况，再由对称性得到的情况.当时，首先确定是函数的零点，令，分离常数，利用导数求得的取值范围.再根据对称性，求得的取值范围.④利用导数，求得过的切线的条数.

【详解】

①函数的定义域为，且，所以为偶函数，图像关于轴对称.当时，，，.令解得，所以在上递减，在上递增，，所以，所以在上单调递增，从而.由于为偶函数，所以在上单调递减，且.所以的值域是.故①正确.

②显然，是方程的根.方程可化为.当时，即.根据①的分析，结合图像可知，当时与的图像没有公共点.故只需考虑的情况.由得，即.构造函数，，，令，解得.所以在上递减，在上递增，且，所以存在，使得.故在上递减，在上递增.，所以存在，使.综上所述，当时，方程 有两个不等实根成立，故②正确.

③为偶函数，故可先考虑的情况.当时，函数为，故方程有三个不相等的实数根.首先是方程的根.

先证：令，，，令解得.所以在上递减，在上递增.，当，.若，即，则在区间上先减后增，在区间上至多只有两个零点，不符合题意.故.

故下证：当时，由得有两个不同的实数根.构造函数，.令，，,所以在上单调递增，所以当时，.所以由可知在上递减，在上递增，所以在处取得极小值也即是最小值，所以.

综上所述，的取值范围是.由于为偶函数，根据函数图像的对称性可知的取值范围是.故③正确.

④当时，设经过点的切线的切点为，，，故切线方程为，将代入上式得，化简得.令，，,所以在上单调递增.所以方程解得或.所以当时，有两条切线.根据为偶函数，所以当时，也有两条切线方程. 所以经过有四条直线与相切，④错误.

特别的，当时，，，即当时，在处的切线的斜率为.当时，，即当时，在处的切线的斜率为.

故答案为：①②③

【点睛】

本小题主要考查利用导数研究函数的单调性．极值和最值，考查利用导数研究函数零点问题，考查利用导数研究函数图象的切线，考查化归与转化的数学思想方法，考查运算求解能力，考查分析．思考与解决问题的能力，属于难题.

9．【答案】

【解析】令，得到，结合函数的单调性求出不等式的解集即可．

详解：解：，即，

令，则，

故在递增，

而，

，即，

即，

故不等式的解集是，

故答案为：

【点睛】

本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及转化思想，属于基础题．

10．【答案】

【解析】分别讨论当时，与的关系，可将问题转化为在上恒成立，运用参数分离和构造函数法，结合导数求得最大值，可得所求范围．

详解：当时，，当时，，所以在必成立，

问题转化为在恒成立，由恒成立，可得

在恒成立，设，

则，

当时，，当时，，

所以在上单调递增，在上单调递减，

故a的取值范围是.

故答案为：

【点睛】

本题考查利用导数研究不等式恒成立的问题，考查学生的逻辑推理能力．数学运算能力，是一道有一定难度的压轴填空题.

11．【答案】

【解析】采用构造函数法，设，，则原问题转化为存在唯一的整数，使得在直线的下方，对求导可判断函数在处取到最小值，再结合两函数位置关系，建立不等式且，即可求解

详解：设，，由题设可知存在唯一的整数，使得在直线的下方，因为，故当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增；故，而当时，，，故当且，解之得

故答案为：．

【点睛】

本题考查由导数研究函数的极值点，构造函数法求解参数取值范围，数形结合思想，属于难题

12．【答案】     

【解析】利用定义判断出函数为偶函数，可求得的值，令，可知函数在上有两个极值点，即函数在上有两个不同的零点，利用二次函数的零点分布可得出的不等式组，由此可解得实数的取值范围.

详解：，该函数的定义域为，

，

所以，函数为偶函数，则.

令，则，

由于函数有六个不同的单调区间，则函数在上有两个极值点，

即函数在上有两个不同的零点，且，

由二次函数的零点分布得，解得.

因此，实数的取值范围是.

故答案为：；.

【点睛】

本题考查利用函数的奇偶性求函数值，同时也考查了利用函数的单调区间求参数，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.

13．【答案】

【解析】满足的有个，等价于方程有个根，设，利用导数得到函数的单调性和极值，画出函数的大致图象，再利用函数图象的变换得到函数的大致图象，要使方程有个根，则方程应有两个不等的实根，根据图象得出这两根的范围，设，再利用二次函数根的分布列出不等式，即可解出的取值范围.

详解：满足的有个，方程有4个根，

设，则，令，得.

当时，，函数单调递减；

当时，，函数单调递增，，

画出函数的大致图象，如图所示：

，

保留函数的轴上方的图象，把轴下方的图象关于轴翻折到轴上方，

即可得到函数的图象如下图所示：

令，则，

所以要使方程有个根，

则方程应有两个不等的实根，又由于两根之积为1，所以一个根在内，一个根在内，

设，因为，则只需，解得：，

因此，实数的取值范围是.

故答案为：.

【点睛】

本题主要考查了函数的零点与方程的根的关系，以及利用导数研究函数的单调性和极值，考查了二次函数的图象和性质，是中档题.

14．【答案】

【解析】先求出的导函数，然后求出切线斜率，再写出切线方程即可．

详解：由，得，

在点，处的切线斜率，

又，在，处的切线方程为，

即．

故答案为：．

【点睛】

本题考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，属基础题．

15．【答案】6

【解析】利用导数求出极值，然后求区间端点处的函数值，进行大小比较即可．

详解：对求导可得，

令y′=0，得x=1或-1，

当x=1，y=-6，当x=-1，y=6，当x=2，y=6，当x=-2，y=-6，

所以函数在区间[？2,2]上的最大值为6，

故答案为：6.

【点睛】

本题考查利用导数求闭区间上函数的最值，属于导数的基础应用，求出极值与端点处函数值，最大的即为最大值，属于基础题.

16．【答案】

【解析】根据条件得,再用圆心到直线距离表示三角形PAB面积，最后利用导数求最大值.

详解：

设圆心到直线距离为，则

所以

令（负值舍去）

当时，；当时，，因此当时，取最大值，即取最大值为，

故答案为：

【点睛】

本题考查垂径定理．利用导数求最值，考查综合分析求解能力，属中档题.

17．【答案】

【解析】当时，根据的单调性，可知若存在极值点，则两端点处的函数值一正一负；当时，由函数单调性知不合题意；当时，结合对号函数的性质可确定最值点所满足的范围；综合三种情况可得最终结论.

详解：当时，在上单调递增，，，

若在上存在最小值，则，即，解得：；

当时，，在上单调递增，不存在最小值，不合题意；

当时，，

，，

又（当且仅当时，即时取等号），

若在上存在最小值，则，解得：；

综上所述：的取值范围为.

故答案为：.

【点睛】

本题考查根据函数在区间内有最值求解参数范围的问题；关键是能够通过分类讨论的方式，结合函数的单调性确定参数在不同范围内时，函数的最值点或区间端点值的符号，由此可构造不等式求得结果.

18．【答案】

【解析】求出函数的导函数，利用导函数研究原函数的单调区间，再二次求导得，从而得到的单调区间，由导函数在区间，上单调递增求出其值域，将函数的单调性把问题转化为，即可列出不等式即可求出的范围.

详解：解：由函数，

得，

由，得或，

函数的增区间为，，

由，得，

函数单调减区间为，

由，则时，；时，，

得的单调增区间为，单调减区间为，

函数在上单调递增，函数在上的值域为，

又函数在区间上单调递减，

也就是函数在区间上单调递减，

因此要满足条件，即，解得：，

实数的范围是.

故答案为：.

【点睛】

本题考查利用导数研究函数的单调性以及根据复合函数的单调性求参数取值范围，考查转化思想和运算能力，属中档题.