高中数学3 导数的计算导学案

这是一份高中数学3 导数的计算导学案，共10页。学案主要包含了定义法求函数的导数，利用导数公式求函数的导数，导数公式的应用等内容，欢迎下载使用。

导语
同学们，前面我们学习了求简单函数的导函数，回想我们一共学习了幂函数、指数函数、对数函数、三角函数这四类基本初等函数，而对于大家所熟悉的一次函数、二次函数并不是基本初等函数，而是幂函数的线性组合，那么对于这四类基本初等函数的导函数是否存在呢，今天让我们一探究竟．
一、定义法求函数的导数
问题1 (1)如何利用导数的定义求函数f(x)＝eq \f(1,x)＋x在x＝x0处的导数？
提示 Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)
＝eq \f(1,x0＋Δx)＋(x0＋Δx)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x0)＋x0))
＝－eq \f(Δx,x\\al(2,0)＋x0Δx)＋Δx.
eq \f(Δy,Δx)＝－eq \f(1,x\\al(2,0)＋x0Δx)＋1.
当Δx趋于0时，得到导数
f′(x0)＝eq \(lim,\s\d4(Δx→0))eq \f(Δy,Δx)＝eq \(lim,\s\d4(Δx→0))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,x\\al(2,0)＋x0Δx)＋1))＝－eq \f(1,x\\al(2,0))＋1.
(2)当x0在定义域内任意取值时，f′(x0)的值如何？
提示 对于定义域中的每一个自变量的取值x0，都有唯一一个导数值f′(x0)＝－eq \f(1,x\\al(2,0))＋1与之对应，所以f′(x)＝－eq \f(1,x2)＋1是x的函数．
知识梳理
一般地，如果一个函数y＝f(x)在区间(a，b)的每一点x处都有导数f′(x)＝eq \(lim,\s\d4(Δx→0))eq \f(fx＋Δx－fx,Δx)，那么f′(x)是关于x的函数，称f′(x)为y＝f(x)的导函数，也简称为导数，有时也将导数记作y′.
注意点：
导数与导函数之间既有区别又有联系，导数是对一个点而言的，它是一个确定的值，与给定的函数及x(或x0)的位置有关，而与Δx无关；导函数是对一个区间而言的，它是一个确定的函数，依赖于函数本身，也与Δx无关．
例1 利用导函数的定义求函数f(x)＝(2x＋1)·(3x－1)的导数，并求x＝0和x＝2处的导数值．
解 ∵f(x)＝(2x＋1)(3x－1)＝6x2＋x－1，
∴f′(x)＝eq \(lim,\s\d4(Δx→0))eq \f(fx＋Δx－fx,Δx)
＝eq \(lim,\s\d4(Δx→0))eq \f(6x＋Δx2＋x＋Δx－1－6x2－x＋1,Δx)
＝eq \(lim,\s\d4(Δx→0))(12x＋6Δx＋1)＝12x＋1，
∴f′(0)＝1，f′(2)＝12×2＋1＝25.
反思感悟 利用定义求函数y＝f(x)的导函数的一般步骤
(1)确定函数y＝f(x)在其对应区间上每一点是否都有导数；
(2)计算Δy＝f(x＋Δx)－f(x)；
(3)当Δx趋于0时，得到导函数f′(x)＝eq \(lim,\s\d4(Δx→0))eq \f(fx＋Δx－fx,Δx).
跟踪训练1 求函数f(x)＝x2＋5x在x＝3处的导数和它的导函数．
解 f′(x)＝eq \(lim,\s\d4(Δx→0))eq \f(x＋Δx2＋5x＋Δx－x2＋5x,Δx)
＝eq \(lim,\s\d4(Δx→0))eq \f(2Δx·x＋Δx2＋5Δx,Δx)
＝eq \(lim,\s\d4(Δx→0))(2x＋Δx＋5)＝2x＋5.
∴f′(3)＝2×3＋5＝11.
二、利用导数公式求函数的导数
问题2 下面是某同学利用导数的定义求出的几个幂函数的导数：
f(x)＝x⇒f′(x)＝1＝1×x1－1；
f(x)＝x2⇒f′(x)＝2x＝2x2－1；
f(x)＝x3⇒f′(x)＝3x2＝3x3－1；
f(x)＝eq \f(1,x)＝x－1⇒f′(x)＝－x－2＝－x－1－1；
f(x)＝eq \r(x)＝⇒f′(x)＝＝ .
你认为幂函数的导数有什么特点？能总结一下规律吗？
提示 通过观察，我们发现这几个幂函数的导数有规律，即(xα)′＝αxα－1.
知识梳理
函数的导数公式
注意点：
对于根式f(x)＝eq \r(n,xm)，要先转化为f(x)＝，所以f′(x)＝.
例2 求下列函数的导数：
(1)y＝x0(x≠0)；
(2)y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))x；
(3)y＝lg x；
(4)y＝eq \f(x2,\r(x))；
(5)y＝2cs2eq \f(x,2)－1.
解 (1)y′＝0.
(2)y′＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))xln eq \f(1,3)＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))xln 3.
(3)y′＝eq \f(1,xln 10).
(4)∵y＝eq \f(x2,\r(x))＝，∴y′＝＝＝eq \f(3,2)eq \r(x).
(5)∵y＝2cs2eq \f(x,2)－1＝cs x，∴y′＝(cs x)′＝－sin x.
反思感悟 (1)若所求函数符合导数公式，则直接利用公式求导．
(2)若给出的函数解析式不符合基本初等函数的导数公式，则通过恒等变换对解析式进行化简或变形后求导．
(3)要特别注意“eq \f(1,x)与ln x”，“ax与lgax”，“sin x与cs x”的导数区别．
跟踪训练2 求下列函数的导数．
(1)y＝sin eq \f(π,6)；
(2)y＝eq \f(1,\r(3,x2))；
(3)y＝4x；
(4)y＝lg3x.
解 (1)y′＝0.
(2)因为y＝eq \f(1,\r(3,x2))＝，
所以y′＝＝.
(3)因为y＝4x，所以y′＝4xln 4.
(4)因为y＝lg3x，所以y′＝eq \f(1,xln 3).
三、导数公式的应用
例3 已知曲线y＝ln x，点P(e,1)是曲线上一点，求曲线在点P处的切线方程．
解 ∵y′＝eq \f(1,x)，∴k＝eq \f(1,e)，
∴切线方程为y－1＝eq \f(1,e)(x－e)，即x－ey＝0.
延伸探究 求曲线y＝ln x过点O(0,0)的切线方程．
解 ∵O(0,0)不在曲线y＝ln x上．
∴设切点为Q(x0，y0)，则切线的斜率k＝eq \f(1,x0).
又切线的斜率k＝eq \f(y0－0,x0－0)＝eq \f(ln x0,x0)，
∴eq \f(ln x0,x0)＝eq \f(1,x0)，即x0＝e，
∴Q(e,1)，∴k＝eq \f(1,e)，
∴切线方程为y－1＝eq \f(1,e)(x－e)，即x－ey＝0.
反思感悟 利用导数的几何意义解决切线问题的两种情况
(1)若已知点是切点，则在该点处的切线斜率就是该点处的导数；
(2)若已知点不是切点，则应先设出切点，再借助两点连线的斜率公式进行求解．
跟踪训练3 求过曲线y＝cs x上点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)，\f(1,2)))且与过这点的切线垂直的直线方程．
解 ∵y＝cs x，∴y′＝－sin x，
曲线在点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)，\f(1,2)))处的切线斜率是k＝－sin eq \f(π,3)＝－eq \f(\r(3),2).
∴过点P且与切线垂直的直线的斜率为eq \f(2,\r(3))，
∴所求的直线方程为y－eq \f(1,2)＝eq \f(2,\r(3))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,3)))，
即2x－eq \r(3)y－eq \f(2π,3)＋eq \f(\r(3),2)＝0.
1.知识清单：
(1)导函数的概念．
(2)函数的导数公式及其应用．
2．方法归纳：公式法、待定系数法．
3．常见误区：公式记混用错．
1．若y＝cs eq \f(2π,3)，则y′等于( )
A．－eq \f(\r(3),2) B．－eq \f(1,2) C．0 D.eq \f(1,2)
答案 C
解析 常数函数的导数为0.
2．已知f(x)＝eq \r(x)，则f′(8)等于( )
A．0 B．2eq \r(2) C.eq \f(\r(2),8) D．－1
答案 C
解析 f(x)＝eq \r(x)，得f′(x)＝，
∴f′(8)＝eq \f(1,2)×＝eq \f(\r(2),8).
3．一质点的运动方程为s＝cs t，则t＝1时质点的瞬时速度为( )
A．2cs 1 B．－sin 1 C．sin 1 D．2sin 1
答案 B
解析 s′＝－sin t，当t＝1时，s′＝－sin 1，
所以当t＝1时质点的瞬时速度为－sin 1.
4．曲线y＝ln x与x轴交点处的切线方程是 ．
答案 y＝x－1
解析 ∵曲线y＝ln x与x轴的交点为(1,0)，
∴切线的斜率为1，
故所求切线方程为y＝x－1.
课时对点练
1．(多选)下列结论正确的是( )
A．(sin x)′＝cs x B．＝
C．(lg3x)′＝eq \f(1,3ln x) D．(ln x)′＝eq \f(1,x)
答案 AD
解析 ∵＝；(lg3x)′＝eq \f(1,xln 3)，∴BC错误．
2．某质点的运动方程为s＝eq \f(1,t4)(其中s的单位为米，t的单位为秒)，则质点在t＝3秒时的速度为( )
A．－4×3－4米/秒 B．－3×3－4米/秒
C．－5×3－5米/秒 D．－4×3－5米/秒
答案 D
解析 由s＝eq \f(1,t4)得s′＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,t4)))′＝(t－4)′＝－4t－5，
则质点在t＝3秒时的速度为－4×3－5米/秒．
3．已知函数f(x)＝xα(α是实数)，若f′(－1)＝－4，则α的值等于( )
A．4 B．－4 C．5 D．－5
答案 A
解析 ∵f′(x)＝αxα－1，f′(－1)＝α(－1)α－1＝－4，
∴α＝4.
4．曲线y＝ex在点(2，e2)处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为( )
A.eq \f(9,4)e2 B．2e2 C．e2 D.eq \f(e2,2)
答案 D
解析 因为y′＝ex，所以切线的斜率k＝e2，
所以切线方程为y＝e2x－e2，它与两坐标轴的交点坐标分别为(0，－e2)，(1,0)，
所以切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为eq \f(e2,2).
5．(多选)已知曲线y＝x3在点P处的切线斜率为k，则当k＝3时的P点坐标为( )
A．(－1,1) B．(－1，－1)
C．(1,1) D．(1，－1)
答案 BC
解析 y′＝3x2，因为k＝3，
所以3x2＝3，所以x＝±1，
则P点坐标为(－1，－1)或(1,1)．
6．以正弦曲线y＝sin x上一点P为切点得切线为直线l，则直线l的倾斜角的范围是( )
A.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,4)))∪eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)，π)) B．[0，π)
C.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(3π,4))) D.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,4)))∪eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，\f(3π,4)))
答案 A
解析 ∵y＝sin x，∴y′＝cs x.
∵cs x∈[－1,1]，∴切线的斜率范围是[－1,1]．
∴倾斜角的范围是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,4)))∪eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)，π)).
7．函数y＝f(x)＝eq \f(1,x)，则f′(2)与f′(3)的大小关系是 ．
答案 f′(2)＜f′(3)
解析 因为f′(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))′＝－eq \f(1,x2)，
所以f′(2)＝－eq \f(1,22)＝－eq \f(1,4)，
f′(3)＝－eq \f(1,32)＝－eq \f(1,9)，
所以f′(2)＜f′(3)．
8．若指数函数f(x)＝ax(a＞0，a≠1)满足f′(1)＝ln 27，则f′(－1)＝ .
答案 eq \f(ln 3,3)
解析 f′(x)＝axln a，f′(1)＝aln a＝3ln 3，所以a＝3，故f′(－1)＝3－1ln 3＝eq \f(ln 3,3).
9．已知f(x)＝cs x，g(x)＝x，求适合f′(x)＋g′(x)≤0的x的值．
解 因为f(x)＝cs x，g(x)＝x，
所以f′(x)＝(cs x)′＝－sin x，
g′(x)＝x′＝1.
由f′(x)＋g′(x)≤0，得－sin x＋1≤0，
即sin x≥1，但sin x∈[－1,1]，
所以sin x＝1，所以x＝2kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z，
所以x的取值为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\| (\a\vs4\al\c1(x＝\f(π,2)＋2kπ，k∈Z)))).
10．求下列函数的导数．
(1)y＝eq \f(1,x3)；(2)y＝eq \r(5,x3)；(3)y＝lg2x2－lg2x；
(4)y＝－2sin eq \f(x,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－2cs2\f(x,4))).
解 (1)y′＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x3)))′＝(x－3)′＝－3x－3－1＝－3x－4＝－eq \f(3,x4).
(2)y′＝(eq \r(5,x3))′＝＝eq \f(3,5\r(5,x2)).
(3)因为y＝lg2x2－lg2x＝lg2x，
所以y′＝(lg2x)′＝eq \f(1,xln 2).
(4)因为y＝－2sin eq \f(x,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－2cs2\f(x,4)))
＝2sin eq \f(x,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2cs2\f(x,4)－1))
＝2sin eq \f(x,2)cs eq \f(x,2)＝sin x，
所以y′＝cs x.
11．已知函数y＝f(x)在x＝1处的切线与直线x＋y－3＝0垂直，则f′(1)等于( )
A．2 B．0 C．1 D．－1
答案 C
解析 由题可知，函数y＝f(x)在x＝1处的切线的斜率为f′(1)，直线x＋y－3＝0的斜率为－1，故－f′(1)＝－1得f′(1)＝1，故选C.
12．设曲线y＝xn＋1(n∈N＋)在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，则x1·x2·…·xn的值为( )
A.eq \f(1,n) B.eq \f(1,n＋1) C.eq \f(n,n＋1) D．1
答案 B
解析 由题意得xn＝eq \f(n,n＋1)，则x1·x2·…·xn＝eq \f(1,2)×eq \f(2,3)×eq \f(3,4)×…×eq \f(n－1,n)×eq \f(n,n＋1)＝eq \f(1,n＋1).
13．已知在曲线y＝eq \f(1,x2)上存在一点P，曲线在点P处的切线的倾斜角为135°，则点P的横坐标为 ．
答案 eq \r(3,2)
解析 设P(x0，y0)．
∵y′＝(x－2)′＝－2x－3，tan 135°＝－1，
∴－2xeq \\al(－3,0)＝－1，∴x0＝eq \r(3,2).
14．设f0(x)＝sin x，f1(x)＝f′0(x)，f2(x)＝f′1(x)，…，fn＋1(x)＝f′n(x)，n∈N，则f2 021(x)＝ .
答案 cs x
解析 由已知得，f1(x)＝cs x，f2(x)＝－sin x，
f3(x)＝－cs x，f4(x)＝sin x，f5(x)＝cs x，…，依次类推可得，函数呈周期变化，且周期为4，则f2 021(x)＝f1(x)＝cs x.
15．若函数y＝f(x)的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y＝f(x)具有T性质．下列函数中具有T性质的是( )
A．y＝sin x B．y＝ln x
C．y＝ex D．y＝x3
答案 A
解析 设函数y＝f(x)的图象上两点P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则由导数的几何意义可知，点P，Q处切线的斜率分别为k1＝f′(x1)，k2＝f′(x2)，若函数具有T性质，则k1·k2＝f′(x1)·f′(x2)＝－1.对于A选项，f′(x)＝cs x，显然k1·k2＝cs x1·cs x2＝－1有无数组解，所以该函数具有T性质；对于B选项，f′(x)＝eq \f(1,x)(x＞0)，显然k1·k2＝eq \f(1,x1)·eq \f(1,x2)＝－1无解，故该函数不具有T性质；对于C选项，f′(x)＝ex＞0，显然k1·k2＝＝－1无解，故该函数不具有T性质；对于D选项，f′(x)＝3x2≥0，显然k1·k2＝3xeq \\al(2,1)·3xeq \\al(2,2)＝－1无解，故该函数不具有T性质．
16．求曲线C1：y＝x2与曲线C2：y＝x3的公切线的斜率．
解 (1)当公切线切点相同时，对C1，C2分别求导得
y1′＝2x，y2′＝3x2.令2x＝3x2，解得x＝0或x＝eq \f(2,3).
①当x＝0时，2x＝3x2＝0；
②当x＝eq \f(2,3)时，2x＝3x2＝eq \f(4,3).
此时C1的切线方程为y－eq \f(4,9)＝eq \f(4,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(2,3)))，
而C2的切线方程为y－eq \f(8,27)＝eq \f(4,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(2,3))).
显然两者不是同一条切线，所以x＝eq \f(2,3)舍去．
(2)当公切线切点不同时，在曲线C1，C2上分别任取一点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有y1′＝2x1，y2′＝3xeq \\al(2,2)，
因为AB的斜率为kAB＝eq \f(x\\al(2,1)－x\\al(3,2),x1－x2)，
所以有2x1＝3xeq \\al(2,2)＝eq \f(x\\al(2,1)－x\\al(3,2),x1－x2).
由2x1＝3xeq \\al(2,2)，得x1＝eq \f(3,2)xeq \\al(2,2)，
代入3xeq \\al(2,2)＝eq \f(x\\al(2,1)－x\\al(3,2),x1－x2)中，解得x2＝eq \f(8,9)，x1＝eq \f(32,27).
此时公切线的斜率为2x1＝eq \f(64,27).
综上所述，曲线C1，C2有两条公切线，其斜率分别为0，eq \f(64,27).
函数
导数
y＝c(c是常数)
y′＝0
y＝xα(α是实数)
y′＝αxα－1
y＝ax(a>0，a≠1)
y′＝axln a特别地(ex)′＝ex
y＝lgax(a>0，a≠1)
y′＝eq \f(1,xln a)特别地(ln x)′＝eq \f(1,x)
y＝sin x
y′＝cs x
y＝cs x
y′＝－sin x
y＝tan x
y′＝eq \f(1,cs2x)