数学选择性必修 第二册7.1 实际问题中导数的意义课时训练

【优选】7.1 实际问题中导数的意义作业练习

一．填空题

1．已知是的极小值点，那么函数的极大值为______.

2．函数在处有极值，则的值是__________．

3．对于总有成立，则=     　        ．

4．已知函数与函数的图象上至少存在一对关于轴对称的点，则实数的取值范围是________.

5．函数在内有且只有一个极小值，则实数的取值范围是________

6．已知函数有两个不同的极值点，，则的取值范围是_____；若不等式有解，则的取值范围是______.

7．定义在上的函数满足：，且当时，，则不等式的解集为______.

8．已知函数，（e＝2.71828是自然对数的底数），若存在，使得成立，则实数的取值范围是____.

9．若函数与像的交点为，，，则____________.

10．若函数的零点都在区间上，则使得方程有正整数解的实数的取值的个数为______．

11．已知函数，，其中．，若存在极值点，且，其中，则_______.

12．已知函数的定义域为，若在上为增函数，则称为“一阶比增函数”；若在上为增函数，则称为“二阶比增函数”.我们把所有“一阶比增函数”组成的集合记为，所有“二阶比增函数”组成的集合记为.设函数.（1）若，则实数的取值范围为 _________;（2）若且，则实数的取值范围为_______.

13．已知函数是定义在上的奇函数，当时，，若关于的方程有解，则实数的取值范围是________．

14．函数的单调递增区间为______.

15．规定，若函数在定义域上的值域是，则称该函数为“绅士风度”函数.已知函数（且）为“绅士风度”函数，则的取值范围是______.

16．已知，则____________.

17．如图，圆形纸片的圆心为，半径为，该纸片上的等边三角形的中心为.，，为圆上的点，分别是以为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后，分别以为折痕折起，使得，，重合，得到三棱锥.当所得三棱锥体积（单位：）最大时，的边长为_________（）.

18．设函数是奇函数的导函数， ，当时，，则不等式的解集为______________.

参考答案与试题解析

1．【答案】

【解析】求出导数，由题意得，，解出，再由单调性，判断极大值点，求出即可．

详解：解：函数的导数，

由题意得，，即，解得．

，，

，得或，即函数在和上单调递增；

，得，函数在上单调递减；

故在处取极小值，处取极大值，且为．

即

故答案为：．

【点睛】

本题考查导数的应用：求函数的极值，同时考查运算能力，属于基础题．

2．【答案】2

【解析】

∵，

∴，

∵函数在处有极值，

∴，即：，

∴，

解得．

故答案为：2.

3．【答案】4

【解析】本小题考查函数单调性及恒成立问题的综合运用，体现了分类讨论的数学思想．

要使恒成立，只要在上恒成立．

当时，，所以，不符合题意，舍去．

当时，即单调递减，，舍去．

当时

① 若时在和上单调递增，

在上单调递减．

所以

② 当时在上单调递减，

，不符合题意，舍去．综上可知a=4.

4．【答案】

【解析】使用等价转化，原问题等价于在有零点，通过的符号判断函数的单调性并计算值域，值域包含0，然后简单计算即可.

详解：原问题等价于在有零点，

而，

知在单调递减，在单调递增，

又，，，

所以可判断，

因而的值域为，又有零点，

由得.

故答案为：

【点睛】

本题主要考查根据函数零点所在区间求参数，考查了等价转化思想的应用，以及对分析能力和计算能力的考查.，属中档题.

5．【答案】

【解析】对函数求导得，令，得，，在根据题意求解即可.

详解：对函数求导得，，

因为函数在内有且只有一个极小值，

所以有实数根，所以，，

所以根据图像，

在和上单调递增，在上单调递减，

所以当时函数取得极小值，故由题知，所以

故答案为：

【点睛】

本题考查函数导数与极值的关系，一般可利用导数求函数极值和二次函数的性质等求解．

6．【答案】     

【解析】根据有两个不同极值点，可得两个不相等的正实数根，根据二次函数的性质即可求解；将不等式转化为，代入方程，化简整理，即可得结果.

详解：由题可得（），因为函数有两个不同的极值点，，所以方程有两个不相等的正实数根，

于是有解得.

若不等式有解，所以

因为

.

设，

，故在上单调递增，故，

所以，所以的取值范围是.

【点睛】

本题考查导函数的实际应用，重点在于将题干中“两个不同的极值点”转化为导函数等于0时，有两个不相等的实数根，然后进行求解，计算难度偏大，属中档题.

7．【答案】

【解析】先由两边对求导，根据题意，得到，推出时，都有，构造函数，对其求导，得到在上单调递减，再由，将原不等式化简得到，根据函数单调性，即可求出结果.

详解：因为，

两边对求导，得到，

令，则，

因为当时，，

所以，

因此，

又，直线过原点，

所以，因此时，都有；

令，

则，

即函数在上单调递减，

又，

所以不等式可化为，即，

所以，

即原不等式的解集为.

故答案为：.

【点睛】

本题主要考查由函数单调性解不等式，以及导数的方法判定函数的单调性，属于常考题型.

8．【答案】；

【解析】先利用导数求得的值域为，再转化为，在有解，转化为在有解，再令，，，利用导数求的最小值，的最大值，则的取值范围是.

详解：当时，，则，

即在递减，得，

当时，在递增，则，

综合得的值域为.

由题若存在，使得成立，

则，在有解，

即在在有解，

令，，，

则，在递减，的最小值，

又，在递减，的最大值，

则.

故答案为：

【点睛】

本题考查了能成立问题，利用导数求函数的值域或最值，还考查了分离变量的技巧，转化思想，难度较大.

9．【答案】2

【解析】利用复合函数的单调性得出的单调性，再结合两函数的对称性确定交点个数与性质后可得结论．

详解：由是增函数，在是单调递增，在单调递增得在上是增函数，

又，所以的图象关于直线对称，易知也是的对称轴，

在上是减函数，而，，因此与的图象在上有一个交点，时，，时，，，与的图象在上无交点，所以在上它们只有一个交点，根据对称性在上也只有一个交点，且这两个交点关于直线对称．

所以．

故答案为：2.

【点睛】

本题考查两函数图象交点问题，解题方法是研究函数的性质：单调性，对称性，确定交点个数及性质．

10．【答案】3

【解析】由以及题设条件得出，利用导数得出函数的单调性以及极大值，进而确定方程有正整数解在区间上，再得出，从而得出取值的个数.

详解：函数的零点都在区间上

又,令

或

函数的零点都在区间上

,令

解得

当或时,

当时,

则函数在，上单调递增，在上单调递减

当时,有极大值,

结合函数的单调性，知方程有正整数解在区间上

此时令,可得

此时有,由于为大于的整数

由上知,令时,不等式成立

当时,有

故可得的值有三个

故答案为：

【点睛】

本题主要考查了利用导数研究函数的零点问题以及根据函数的零点个数求参数范围，属于中档题.

11．【答案】

【解析】根据得出，再根据利用作差因式分解可得出的值.

详解：，，

由题意可得，则，，，

，，

，，

，，

，即，

，即.

故答案为：.

【点睛】

本题考查利用极值点求代数式的值，主要考查因式分解，考查计算能力，属于中等题.

12．【答案】     

【解析】（1）当时，，在上为增函数，当时，，利用二次函数的单调性得到，即可得到答案.

（2）首先利用导数求出满足时的范围，再求出满足且时的范围即可.

详解：（1）当时，，

，在上为增函数，

当时，，

因为，所以为增函数，

即，解得.

综上：，则.

（2），

若，则在恒成立，

即，恒成立，

所以，解得.

因为且，所以.

故答案为：；

【点睛】

本题主要考查利用导数研究函数的单调区间，同时考查了二次函数的单调性，属于中档题.

13．【答案】

【解析】本题首先可以根据得出，然后利用求出函数在区间上的单调性与取值范围，再然后根据函数是奇函数求出当时函数的取值范围，最后根据函数在上的取值范围即可得出实数的取值范围.

详解：当时，，，

当，，解得，函数为增函数；

当，，解得，函数为减函数，

故当时，函数在上最大值，，

因为当无限接近时，无限接近，当，，

所以当时，，

因为函数是定义在上的奇函数，

所以当时，，，

所以当，，

故若关于的方程有解，则实数的取值范围是.

【点睛】

本题考查利用导数求函数的取值范围，考查奇函数的相关性质的应用，能否根据导函数求出函数的单调性以及最值是解决本题的关键，考查推理能力与计算能力，是中档题.

14．【答案】

【解析】求得函数的导数，然后解不等式可得出函数的单调递增区间.

详解：函数的定义域为，，

令，可得，解得.

因此，函数的单调递增区间为.

故答案为：.

【点睛】

本题考查利用导数求解函数的单调区间，考查计算能力，属于基础题.

15．【答案】

【解析】由新定义可得方程有两个不相等的实根，两边取自然对数，转化为有两个不等的实根，令函数，分析其单调性得其最值，即可得到所求a的范围.

详解：由新定义可得函数在定义域上的值域是，即方程有两个不相等的实根，

即有，即有两个不相等的实根.

令，则的导数为，

所以当时，，递减，当时，，递增，

即有取得最大值，且，，，所以，

所以有.解得.

故答案为:.

【点睛】

本题考查新定义的理解和运用，考查函数的单调性的运用，以及导数的运用:求单调区间和极值．最值，属于较难题.

16．【答案】

【解析】求导后，将代入和，可构造方程求得和，从而得到，代入即可求得结果.

详解：，

，解得：，

，.

故答案为：.

【点睛】

本题考查导数值的求解问题，关键是能够通过函数值和导数值构造方程求得导函数的解析式，属于常考题型.

17．【答案】

【解析】连接，交于点，设，求出，，构造函数，利用导数研究函数的单调性，从而得出时，所得三棱锥体积最大时，进而得解.

详解：如图，连接，交于点，连接，

由题意，知，，，

所以，，所以，

设，则，，

三棱锥的高，

，

则三棱锥的体积，

令，

则，

令，即，解得，

所以，当时，，在上单调递增；

当时，，在上单调递减，

所以，当时，取得极大值，也是最大值，

此时，，

所以，当所得三棱锥体积最大时，的边长为.

故答案为：.

【点睛】

本题考查三棱锥体积的计算及利用导数研究函数的最值问题，考查学生对这些知识的掌握能力，本题的解题关键是掌握根据导数求极值的方法，属于中档题.

18．【答案】

【解析】根据当时，，构造函数 ，求导

，在上是减函数，再根据是奇函数，在上是增函数，由，，写出的解集.

详解：设 ，

所以，

因为当时，，则，

所以在上是减函数，

又因为是奇函数，所以在上是增函数，

因为，所以，

所以当 或时，，

所以不等式的解集为.

故答案为：

【点睛】

本题主要考查构造函数，用导数研究函数的单调性解不等式，还考查了运算求解的能力，属于中档题.