北师大版 (2019)选择性必修 第二册7.1 实际问题中导数的意义课时练习

【精选】7.1 实际问题中导数的意义-1课时练习

一．填空题

1．函数，的最小值是________．

2．设函数满足，现给出如下结论：①若是上的增函数，则是的增函数；②若，则有极值；③对任意实数，直线与曲线有唯一公共点.其中正确结论的为_________.

3．函数f(x)＝ax3+bx2+cx的图象如图所示，且f(x)在x＝﹣1与x＝x0处取得极值，给出下列4个结论：

①a＞0；

②c＞0；

③f（﹣1）+f（1）＜0；

④函数f(x)在区间（0，+∞）上是增函数，

其中，正确结论的序号是_____.

4．已知函，，用max{m，n}表示m，n中的最大值，设．若在上恒成立，则实数a的取值范围为_____

5．是定义在R上的函数，其导函数为，若，则不等式（其中为自然对数的底数）的解集为________.

6．已知函数对定义域内内的任意都有，且当，其导数满足，若，则不等式的解集为__________.

7．已知函数，其中a为常数.

（1）当时，求函数的单调区间；

（2）若函数在上单调递增，求实数a的取值范围.

8．已知是函数的导函数，若函数在区间上单调递减，则实数的范围是______.

9．设函数，其中，若存在唯一的整数，使得，则实数的取值范围是__________．

10．已知函数，，若关于的方程恰有三个不同的实数根，则实数的取值范围为______________.

11．已知，若满足的有四个，则的取值范围为_____.

12．已知函数，若函数有四个零点，则实数的的取值范围是__________．

13．设是奇函数的导数，当时，，则不等式的解集为______.

14．在平面直角坐标系xOy中，已知，A，B是圆C：上的两个动点，满足，则△PAB面积的最大值是__________．

15．函数的单调减区间是______．

16．设函数＝，记在区间上的最大值为，则当＝________时，的最小值为________．

17．对于函数，若，则______.若有六个不同的单调区间，则的取值范围为______.

18．已知函数的定义域为，且恒成立，其中是的导函数，若，则实数m的取值范围为__________.

参考答案与试题解析

1．【答案】0

【解析】利用导数先求出在上的单调区间，再利用函数单调性找最小值.

详解：因为，所以在上单调递增，在单调递减，又，.

故答案为：0.

【点睛】

本题考查利用导数求函数的最小值，是一道容易题.

2．【答案】①②③

【解析】根据可得，消元，再根据相关知识对各命题进行判断即得．

【详解】

因为，

所以，化简得．

对①，∵是二次函数，其对称轴为，而

函数在和的图象关于对称，当是上的增函数时，，∴当时，，故是的增函数，正确．

对②，当时，即，

又，∴．而，

，所以有极值；

当时，，∴．

，所以有极值，故②正确．

对③，由可得，

，变形为，

．

对，

，

∴当时，方程有唯一的实根，即

；

当时，方程没有实根，即

，故③正确．

故答案为：①②③．

【点睛】

本题主要考查函数与导数的综合运用，涉及单调性，极值的判断，以及直线与曲线的交点问题，意在考查学生综合分析和解决问题的能力，属于较难题．

3．【答案】①

【解析】根据函数f(x)的图象趋势可判断①④；根据极值点为导函数零点，可判断b，c符号，即可判断②③.

详解：根据函数f(x)的图象可得函数f(x)在区间（0，x0）上是减函数，所以④错误；当时，即①正确；

，故②错误；

③错误；

故答案为：①

【点睛】

本题考查函数图象．函数极值应用，考查基本分析判断能力，属基础题.

4．【答案】

【解析】分别讨论当时，与的关系，可将问题转化为在上恒成立，运用参数分离和构造函数法，结合导数求得最大值，可得所求范围．

详解：当时，，当时，，所以在必成立，

问题转化为在恒成立，由恒成立，可得

在恒成立，设，

则，

当时，，当时，，

所以在上单调递增，在上单调递减，

故a的取值范围是.

故答案为：

【点睛】

本题考查利用导数研究不等式恒成立的问题，考查学生的逻辑推理能力．数学运算能力，是一道有一定难度的压轴填空题.

5．【答案】

【解析】令，得到，结合函数的单调性求出不等式的解集即可．

详解：解：，即，

令，则，

故在递增，

而，

，即，

即，

故不等式的解集是，

故答案为：

【点睛】

本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及转化思想，属于基础题．

6．【答案】

【解析】由，可得对称轴是，由可得，从而得出判断的单调区间，再结合，即可得不等式的解集.

详解：因为函数对定义域内内的任意都有，

所以对称轴是，

因为满足，即，

所以当时，单调递增，

当时，单调递减，

又因为，

所以时，，时，，时，，

当与同号时，，

所以的解集为：，

故答案为：

【点睛】

本题主要考查了函数的对称性和单调性，导数的符号决定原函数的单调性，根据单调性解不等式，属于中档题.

7．【答案】（1）单调递增区间为，；单调递减区间为；（2）.

试题分析：（1）求导后，利用导数的符号可得结果；

（2）转化为对一切实数，恒成立，利用判别式可得结果.

详解：（1）当时，，

求导可得，

令，得，或.

当或时，，单调递增；

当时，，单调递减.

所以单调递增区间为，；单调递减区间为.

（2）因为，所以，

因为函数在上单调递增，

所以对一切实数，恒成立，

所以，解得，

故实数a的取值范围是.

【点睛】

本题考查了分类讨论思想，考查了利用导数求函数的单调区间，考查了由函数的单调性求参数的取值范围，属于中档题.

【解析】

8．【答案】

【解析】求出函数的导函数，利用导函数研究原函数的单调区间，再二次求导得，从而得到的单调区间，由导函数在区间，上单调递增求出其值域，将函数的单调性把问题转化为，即可列出不等式即可求出的范围.

详解：解：由函数，

得，

由，得或，

函数的增区间为，，

由，得，

函数单调减区间为，

由，则时，；时，，

得的单调增区间为，单调减区间为，

函数在上单调递增，函数在上的值域为，

又函数在区间上单调递减，

也就是函数在区间上单调递减，

因此要满足条件，即，解得：，

实数的范围是.

故答案为：.

【点睛】

本题考查利用导数研究函数的单调性以及根据复合函数的单调性求参数取值范围，考查转化思想和运算能力，属中档题.

9．【答案】

【解析】采用构造函数法，设，，则原问题转化为存在唯一的整数，使得在直线的下方，对求导可判断函数在处取到最小值，再结合两函数位置关系，建立不等式且，即可求解

详解：设，，由题设可知存在唯一的整数，使得在直线的下方，因为，故当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增；故，而当时，，，故当且，解之得

故答案为：．

【点睛】

本题考查由导数研究函数的极值点，构造函数法求解参数取值范围，数形结合思想，属于难题

10．【答案】

【解析】可变形为，设，利用导数求出的单调性，求出端点值和单调性变化时的函数值，即可得到的取值范围.

详解：可变形为，设，

则由题意可知直线与曲线有三个不同的交点，

易知，

当时，恒成立，所以函数在上单调递减，

当时，恒成立，所以函数在上单调递增，

当时，，，

当时，，，

当时，，画出函数的大致图象如图所示，

易知，故实数的取值范围为.

【点睛】

本题主要考查求零点个数和利用导数研究函数的单调性，考查学生数形结合的能力，属于中档题.

11．【答案】

【解析】满足的有个，等价于方程有个根，设，利用导数得到函数的单调性和极值，画出函数的大致图象，再利用函数图象的变换得到函数的大致图象，要使方程有个根，则方程应有两个不等的实根，根据图象得出这两根的范围，设，再利用二次函数根的分布列出不等式，即可解出的取值范围.

详解：满足的有个，方程有4个根，

设，则，令，得.

当时，，函数单调递减；

当时，，函数单调递增，，

画出函数的大致图象，如图所示：

，

保留函数的轴上方的图象，把轴下方的图象关于轴翻折到轴上方，

即可得到函数的图象如下图所示：

令，则，

所以要使方程有个根，

则方程应有两个不等的实根，又由于两根之积为1，所以一个根在内，一个根在内，

设，因为，则只需，解得：，

因此，实数的取值范围是.

故答案为：.

【点睛】

本题主要考查了函数的零点与方程的根的关系，以及利用导数研究函数的单调性和极值，考查了二次函数的图象和性质，是中档题.

12．【答案】

【解析】或，作出函数的图象，易知有3个根，所以有一个根，结合图象即可得到答案.

详解：令，得，对，，列表如下：

∴的大致图象：

由，得或，

当时，有3个根，只需有一个根，从而或，

解得或.

故答案为：.

【点睛】

本题考查利用导数研究函数的零点个数问题，考查学生数形结合思想以及数学运算能力，是一道中档题.

13．【答案】

【解析】当时，构造函数，利用导数分析函数的单调性，进而可分析出函数在区间上的符号变化，结合奇函数的性质可求得不等式的解集.

详解：由于函数为上的奇函数，则.

当时，，则.

当时，构造函数，则，

所以，函数在区间上单调递减，且.

当时，，，即，此时；

当时，，，即，此时；

又，所以，当时，.

由于函数为上的奇函数，当时，.

对于不等式，当时，，则，不合乎题意；

当时，，则，合乎题意；

当时，，则，不合乎题意.

综上所述，不等式的解集为.

故答案为：.

【点睛】

本题考查函数不等式的求解，解答的关键就是根据导数不等式的结构构造新函数，考查计算能力，属于中等题.

14．【答案】

【解析】根据条件得,再用圆心到直线距离表示三角形PAB面积，最后利用导数求最大值.

详解：

设圆心到直线距离为，则

所以

令（负值舍去）

当时，；当时，，因此当时，取最大值，即取最大值为，

故答案为：

【点睛】

本题考查垂径定理．利用导数求最值，考查综合分析求解能力，属中档题.

15．【答案】

【解析】分析：先求出函数的定义域，函数的导函数，令导函数小于0求出的范围，写成区间形式，可得到函数的单调减区间.

详解：函数的定义域为，，令，得函数的单调递减区间是，故答案为.

点睛：本题主要考查利用导数研究函数的单调性，属于简单题.利用导数求函数的单调区间的步骤为：求出，在定义域内，分别令求得的范围，可得函数增区间，求得的范围，可得函数的减区间.

16．【答案】     

【解析】令，利用导数可得的值域为，对a分和两种情况讨论，即可得到答案.

详解：令，则，

当时，，当时，，

当时，取得极大值，也是最大值，

即，

当时，，

当时，

所以，所以.

故答案为：；

【点睛】

本题考查利用导数研究绝对值函数的最值问题，考查学生逻辑推理能力，数学运算能力，是一道较难题.

17．【答案】     

【解析】利用定义判断出函数为偶函数，可求得的值，令，可知函数在上有两个极值点，即函数在上有两个不同的零点，利用二次函数的零点分布可得出的不等式组，由此可解得实数的取值范围.

详解：，该函数的定义域为，

，

所以，函数为偶函数，则.

令，则，

由于函数有六个不同的单调区间，则函数在上有两个极值点，

即函数在上有两个不同的零点，且，

由二次函数的零点分布得，解得.

因此，实数的取值范围是.

故答案为：；.

【点睛】

本题考查利用函数的奇偶性求函数值，同时也考查了利用函数的单调区间求参数，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.

18．【答案】

【解析】根据恒成立，可构造函数，再利用导数研究函数的单调性，进而得到不等式的解.

详解：由题意令，

在恒成立，

在单调递增，且，

，

故答案为：.

【点睛】

本题考查利用导数研究函数的单调性．解抽象不等式，考查函数与方程思想．转化与化归思想，考查逻辑推理能力．运算求解能力，求解时注意定义域优先法则的应用.