高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第二册2.2 导数的几何意义导学案及答案

这是一份高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第二册2.2 导数的几何意义导学案及答案，共12页。学案主要包含了导数的几何意义，求切线方程，求切点的坐标等内容，欢迎下载使用。

导语
下雨天，当我们将雨伞转动时，伞面边沿的水滴沿着伞边某点的切线方向飞出．实际上物体(看作质点)做曲线运动时，运动方向在不停地变化，其速度方向为质点在其轨迹曲线上的切线方向，如何研究曲线的切线问题呢？
一、导数的几何意义
问题 (1)函数y＝f(x)在[x0，x0＋Δx]的平均变化率为eq \f(Δy,Δx)，你能说出它的几何意义吗？
提示 表示过A(x0，f(x0))和B(x0＋Δx，f(x0＋Δx))两点的直线的斜率，这条直线称为曲线y＝f(x)在点A处的一条割线．
(2)当Δx变化时，直线如何变化？
提示 直线AB绕点A转动．
(3)当Δx→0时，直线变化到哪里？
提示 直线过点A与曲线y＝f(x)相切位置．
知识梳理
函数y＝f(x)在x0处的导数f′(x0)，是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率，函数y＝f(x)在x0处切线的斜率反映了导数的几何意义．
注意点：
(1)对切线的三点说明
①与该点的位置有关．
②曲线的切线是由割线绕一点转动，当另一点无限接近这一点时割线趋于的直线．
③曲线的切线并不一定与曲线只有一个交点，可以有多个，甚至可以无穷多．与曲线只有一个公共点的直线也不一定是曲线的切线．
(2)曲线上某点处的导数与切线的关系
①函数f(x)在x0处有导数，则在该点处函数f(x)表示的曲线必有切线，且导数值是该切线的斜率．
②函数f(x)表示的曲线在点(x0，f(x0))处有切线，但函数f(x)在该点处不一定可导，如f(x)＝eq \r(3,x)在x＝0处有切线，但不可导．
例1 (1)如图，直线l是曲线y＝f(x)在x＝4处的切线，则f′(4)等于( )
A.eq \f(1,2) B．3 C．4 D．5
答案 A
解析 根据导数的几何意义知f′(4)是曲线y＝f(x)在x＝4处的切线的斜率，则k＝eq \f(5－3,4－0)＝eq \f(1,2)，所以f′(4)＝eq \f(1,2).
(2)已知函数f(x)在R上可导，其部分图象如图所示，设k＝eq \f(fx1－fx2,x1－x2)，则下列不等式正确的是( )
A．kC．f′(x2)答案 B
解析 函数的增长越来越快，所以函数在该点的斜率越来越大，
∴f′(x1)反思感悟 导数的几何意义就是切线的斜率，所以比较导数大小的问题可以用数形结合思想来解决．
跟踪训练1 已知函数y＝f(x)的图象如图所示，则f′(xA)与f′(xB)的大小关系是( )
A．f′(xA)>f′(xB)
B．f′(xA)C．f′(xA)＝f′(xB)
D．不能确定
答案 B
解析 由导数的几何意义，知f′(xA)，f′(xB)分别是曲线在点A，B处切线的斜率，由图象可知f′(xA)二、求切线方程
例2 已知曲线y＝eq \f(1,3)x3＋eq \f(4,3)，求曲线在点P(2,4)处的切线方程．
解 ∵P(2,4)在曲线y＝eq \f(1,3)x3＋eq \f(4,3)上，
∴曲线在点P(2,4)处切线的斜率为
k＝eq \(lim,\s\d6(Δx→0))eq \f(\f(1,3)2＋Δx3＋\f(4,3)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)×23＋\f(4,3))),Δx)
＝eq \(lim,\s\d6(Δx→0))eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(4＋2Δx＋\f(1,3)Δx2))＝4.
∴曲线在点P(2,4)处的切线方程为y－4＝4(x－2)，
即4x－y－4＝0.
延伸探究 本例曲线方程不变，求曲线过点P(2,4)的切线方程．
解 设曲线y＝eq \f(1,3)x3＋eq \f(4,3)与过点P(2,4)的切线相切于点Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x0，\f(1,3)x\\al(3,0)＋\f(4,3)))，则切线的斜率为
k＝eq \(lim,\s\d6(Δx→0))eq \f(\f(1,3)x0＋Δx3－\f(1,3)x\\al(3,0),Δx)＝xeq \\al(2,0)，
∴切线方程为y－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)x\\al(3,0)＋\f(4,3)))＝xeq \\al(2,0)(x－x0)，
即y＝xeq \\al(2,0)·x－eq \f(2,3)xeq \\al(3,0)＋eq \f(4,3).
∵点P(2,4)在切线上，
∴4＝2xeq \\al(2,0)－eq \f(2,3)xeq \\al(3,0)＋eq \f(4,3)，即xeq \\al(3,0)－3xeq \\al(2,0)＋4＝0.
∴xeq \\al(3,0)＋xeq \\al(2,0)－4xeq \\al(2,0)＋4＝0，
∴xeq \\al(2,0)(x0＋1)－4(x0＋1)(x0－1)＝0，
∴(x0＋1)(x0－2)2＝0，
解得x0＝－1或x0＝2.
故所求的切线方程为x－y＋2＝0，或4x－y－4＝0.
反思感悟 求曲线在某点处的切线方程的步骤
跟踪训练2 求曲线f(x)＝eq \f(2,x)在点(－2，－1)处的切线方程．
解 ∵点(－2，－1)在曲线y＝eq \f(2,x)上，
∴曲线f(x)＝eq \f(2,x)在点(－2，－1)处的切线斜率就等于f(x)＝eq \f(2,x)在x＝－2处的导数．
∴k＝f′(－2)＝eq \(lim,\s\d6(Δx→0)) eq \f(f－2＋Δx－f－2,Δx)
＝eq \(lim,\s\d6(Δx→0))eq \f(\f(2,－2＋Δx)－\f(2,－2),Δx)
＝eq \(lim,\s\d6(Δx→0))eq \f(1,－2＋Δx)＝－eq \f(1,2)，
∴曲线f(x)＝eq \f(2,x)在点(－2，－1)处的切线方程为y＋1＝－eq \f(1,2)(x＋2)，
整理得x＋2y＋4＝0.
三、求切点的坐标
例3 已知曲线y＝x2－1在x＝x0处的切线与曲线y＝1－x3在x＝x0处的切线互相平行，求x0的值．
解 对于曲线y＝x2－1，k1＝eq \(lim,\s\d6(Δx→0))eq \f(Δy,Δx)＝2x0.
对于曲线y＝1－x3，
k2＝eq \(lim,\s\d6(Δx→0))eq \f(Δy,Δx)＝eq \(lim,\s\d6(Δx→0))eq \f(1－x0＋Δx3－1－x\\al(3,0),Δx)＝－3xeq \\al(2,0).
由题意得2x0＝－3xeq \\al(2,0)，
解得x0＝0或－eq \f(2,3).
延伸探究
1．若本例3条件中的“平行”改为“垂直”，求x0的值．
解 ∵k1＝2x0，k2＝－3xeq \\al(2,0).
由曲线y＝x2－1与y＝1－x3在x＝x0处的切线互相垂直，知2x0·(－3xeq \\al(2,0))＝－1，
解得x0＝eq \f(\r(3,36),6).
2．若本例3条件不变，试求出两条平行的切线方程．
解 由例3知x0＝0或－eq \f(2,3).
当x0＝0时，两平行切线方程为y＝－1或y＝1.
当x0＝－eq \f(2,3)时，曲线y＝x2－1的切线方程为12x＋9y＋13＝0.
曲线y＝1－x3的切线方程为36x＋27y－11＝0.
∴所求两平行切线方程为y＝－1与y＝1或12x＋9y＋13＝0与36x＋27y－11＝0.
反思感悟 根据切线斜率求切点坐标的步骤
(1)设切点坐标(x0，y0)．
(2)求切线的斜率f′(x0)．
(3)由斜率间的关系列出关于x0的方程，解方程求x0.
(4)点(x0，y0)在曲线f(x)上，将(x0，y0)代入求y0，得切点坐标．
跟踪训练3 已知曲线y＝f(x)＝2x2＋4x在点P处的切线斜率为16，则P点坐标为________．
答案 (3,30)
解析 设点P(x0,2xeq \\al(2,0)＋4x0)，
则f′(x0)＝eq \(lim,\s\d6(Δx→0)) eq \f(fx0＋Δx－fx0,Δx)
＝eq \(lim,\s\d6(Δx→0))eq \f(2Δx2＋4x0·Δx＋4Δx,Δx)＝4x0＋4，
令4x0＋4＝16得x0＝3，∴P(3,30)．
1.知识清单：
(1)导数的几何意义．
(2)求曲线上一定点处的切线方程．
(3)求切点坐标．
2．方法归纳：数形结合，待定系数法．
3．常见误区：混淆在一点处的切线和过一点的切线．
1．曲线y＝－2x2＋1在点(0,1)处的切线的斜率是( )
A．－4 B．4 C．0 D．不存在
答案 C
解析 k＝eq \(lim,\s\d6(Δx→0))eq \f(Δy,Δx)＝eq \(lim,\s\d6(Δx→0))(－2Δx)＝0.故选C.
2．已知曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为2x－y＋2＝0，则f′(1)等于( )
A．4 B．－4 C．－2 D．2
答案 D
解析 由导数的几何意义知f′(1)＝2.
3．曲线y＝eq \f(1,4)x2在点Q(2,1)处的切线方程为( )
A．x－y－1＝0 B．x＋y－3＝0
C．x－y＋1＝0 D．x＋y－1＝0
答案 A
解析 f′(2)＝eq \(lim,\s\d6(Δx→0))eq \f(\f(1,4)2＋Δx2－\f(1,4)×4,Δx)
＝eq \(lim,\s\d6(Δx→0))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)Δx＋1))＝1，
∴在点(2,1)处的切线方程为y－1＝1·(x－2)，
即x－y－1＝0.故选A.
4．已知函数f(x)＝eq \f(1,x)在x＝x0处的切线的倾斜角为135°，则x0＝________.
答案 ±1
解析 ∵f′(x0)＝eq \(lim,\s\d4(Δx→0))eq \f(\f(1,x0＋Δx)－\f(1,x0),Δx)＝－eq \(lim,\s\d4(Δx→0))eq \f(1,x0x0＋Δx)＝－eq \f(1,x\\al(2,0)).
令－eq \f(1,x\\al(2,0))＝tan 135°＝－1，可得x0＝±1.
课时对点练
1．已知曲线y＝2x3上一点A(1,2)，则点A处的切线斜率等于( )
A．0 B．2 C．4 D．6
答案 D
解析 Δy＝2(1＋Δx)3－2×13＝6Δx＋6(Δx)2＋2(Δx)3，eq \(lim,\s\d6(Δx→0))eq \f(Δy,Δx)＝eq \(lim,\s\d6(Δx→0))[2(Δx)2＋6Δx＋6]＝6.
2．下列说法正确的是( )
A．若f′(x0)不存在，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处就没有切线
B．若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处有切线，则f′(x0)必存在
C．若f′(x0)不存在，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线斜率不存在
D．若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处没有切线，则f′(x0)有可能存在
答案 C
解析 k＝f′(x0)，所以f′(x0)不存在只说明曲线在该点的切线斜率不存在，而当斜率不存在时，切线方程也可能存在，其切线方程为x＝x0.
3．已知函数f(x)满足f′(x1)>0，f′(x2)<0，则在x1和x2附近符合条件的f(x)的图象大致是( )
答案 D
解析 由f′(x1)>0，f′(x2)<0可知，f(x)的图象在x1处切线的斜率为正，在x2处切线的斜率为负．
4．如图，函数y＝f(x)的图象在点P(2，y)处的切线是l，则f(2)＋f′(2)等于( )
A．－4 B．3 C．－2 D．1
答案 D
解析 由图象可得函数y＝f(x)的图象在点P处的切线是l，与x轴交于点(4，0)，与y轴交于点(0，4)，
则l：x＋y＝4，∴feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2))＝2，f′(2)＝－1，f(2)＋f′(2)＝1.
5．(多选)如果曲线y＝x3＋x－10的一条切线与直线y＝4x＋3平行，则该切点的坐标为( )
A．(1，－8) B．(－1，－12)
C．(－1,8) D．(1,12)
答案 AB
解析 设切点坐标为P(x0，y0)，则y0＝xeq \\al(3,0)＋x0－10.
则切线斜率为
k＝eq \(lim,\s\d6(Δx→0))eq \f(x0＋Δx3＋x0＋Δx－10－x\\al(3,0)＋x0－10,Δx)
＝eq \(lim,\s\d6(Δx→0))[(3xeq \\al(2,0)＋1)＋3x0·Δx＋(Δx)2]＝3xeq \\al(2,0)＋1＝4，
∴x0＝±1.
当x0＝1时，y0＝－8；当x0＝－1时，y0＝－12，
即切点为(1，－8)或(－1，－12)．
6．(多选)下列各点中，在曲线y＝f(x)＝x3－2x上，且在该点处的切线倾斜角为eq \f(π,4)的是( )
A．(0,0) B．(1，－1)
C．(－1,1) D．(1,1)
答案 BC
解析 设切点坐标为(x0，y0)，
则f′(x0)＝eq \(lim,\s\d4(Δx→0))eq \f(x0＋Δx3－2x0＋Δx－x\\al(3,0)－2x0,Δx)
＝3xeq \\al(2,0)－2＝tan eq \f(π,4)＝1，
所以x0＝±1，
当x0＝1时，y0＝－1.
当x0＝－1时，y0＝1.
7．抛物线y＝x2在点P处的切线垂直于直线y＝2x＋3，则点P的坐标为________．
答案 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,4)，\f(1,16)))
解析 设点P(x0，y0)，则
eq \(lim,\s\d4(Δx→0))eq \f(Δy,Δx)＝eq \(lim,\s\d4(Δx→0))eq \f(x0＋Δx2－x\\al(2,0),Δx)＝2x0，
∴2x0＝－eq \f(1,2)，∴x0＝－eq \f(1,4)，
故点P的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,4)，\f(1,16))).
8．如图，函数f(x)的图象是折线段ABC，其中A，B，C的坐标分别为(0,4)，(2,0)，(6,4)，则eq \(lim,\s\d4(Δx→0))eq \f(f1＋Δx－f1,Δx)＝________.
答案 －2
解析 由导数的概念和几何意义知，
eq \(lim,\s\d4(Δx→0))eq \f(f1＋Δx－f1,Δx)＝f′(1)＝kAB＝eq \f(0－4,2－0)＝－2.
9．在抛物线y＝f(x)＝x2上哪一点处的切线平行于直线4x－y＋1＝0？哪一点处的切线垂直于这条直线？
解 设抛物线上点P(x0，y0)处的切线平行于直线4x－y＋1＝0，
则f′(x0)＝eq \(lim,\s\d4(Δx→0))eq \f(x0＋Δx2－x\\al(2,0),Δx)＝eq \(lim,\s\d4(Δx→0))(2x0＋Δx)＝2x0，
所以2x0＝4，解得x0＝2，
所以y0＝xeq \\al(2,0)＝4，即P(2,4)，经检验，符合题意．
设抛物线上点Q(x1，y1)处的切线垂直于直线4x－y＋1＝0，
则2x1＝－eq \f(1,4)，解得x1＝－eq \f(1,8)，
所以y1＝xeq \\al(2,1)＝eq \f(1,64)，即Qeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,8)，\f(1,64)))，经检验，符合题意．
故抛物线y＝x2在点(2,4)处的切线平行于直线4x－y＋1＝0，在点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,8)，\f(1,64)))处的切线垂直于直线4x－y＋1＝0.
10．已知直线l1为曲线y＝f(x)＝x2＋x－2在点(1,0)处的切线，l2为该曲线的另一条切线，且l1⊥l2，求直线l2的方程．
解 因为f′(1)＝eq \(lim,\s\d4(Δx→0))eq \f(Δy,Δx)
＝eq \(lim,\s\d4(Δx→0))eq \f(1＋Δx2＋1＋Δx－2－12＋1－2,Δx)
＝eq \(lim,\s\d4(Δx→0))(3＋Δx)＝3，
所以切线l1的斜率k＝3，
所以直线l1的方程为y＝3(x－1)，即y＝3x－3，
设直线l2与曲线y＝x2＋x－2相切于点P(x0，xeq \\al(2,0)＋x0－2)，
则直线l2的方程为y－(xeq \\al(2,0)＋x0－2)＝(2x0＋1)(x－x0)．
因为l1⊥l2，所以3(2x0＋1)＝－1，x0＝－eq \f(2,3)，
所以直线l2的方程为3x＋9y＋22＝0.
11．曲线y＝x2在点(1,1)处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为( )
A.eq \f(1,4) B.eq \f(1,2) C．1 D．2
答案 A
解析 f′(1)＝eq \(lim,\s\d4(Δx→0))eq \f(Δy,Δx)＝eq \(lim,\s\d4(Δx→0))eq \f(1＋Δx2－1,Δx)＝eq \(lim,\s\d4(Δx→0))(2＋Δx)＝2.
则曲线在点(1,1)处的切线方程为y－1＝2(x－1)，
即y＝2x－1.
因为y＝2x－1与坐标轴的交点为(0，－1)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，0))，
所以所求三角形的面积为S＝eq \f(1,2)×1×eq \f(1,2)＝eq \f(1,4).
12．若曲线y＝f(x)＝x＋eq \f(1,x)上任意一点P处的切线斜率为k，则k的取值范围是( )
A．(－∞，－1) B．(－1,1)
C．(－∞，1) D．(1，＋∞)
答案 C
解析 y＝x＋eq \f(1,x)上任意一点P(x0，y0)处的切线斜率为
k＝f′(x0)＝eq \(lim,\s\d4(Δx→0))eq \f(x0＋Δx＋\f(1,x0＋Δx)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x0＋\f(1,x0))),Δx)
＝eq \(lim,\s\d4(Δx→0))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,x\\al(2,0)＋x0Δx)))＝1－eq \f(1,x\\al(2,0))<1.
即k<1.
13．若抛物线f(x)＝x2－x＋c上一点P的横坐标是－2，抛物线在点P处的切线恰好过坐标原点，则c的值为________．
答案 4
解析 设在P点处切线的斜率为k，
则k＝f′(－2)
＝eq \(lim,\s\d4(Δx→0))eq \f(－2＋Δx2－－2＋Δx＋c－6＋c,Δx)＝－5，
∴切线方程为y＝－5x.
∴点P的纵坐标为y＝－5×(－2)＝10，
将点P(－2,10)代入y＝x2－x＋c，得c＝4.
14．若点P是抛物线y＝x2上任意一点，则点P到直线y＝x－2的最小距离为________．
答案 eq \f(7\r(2),8)
解析 由题意可得，当点P到直线y＝x－2的距离最小时，点P为抛物线y＝x2的一条切线的切点，且该切线平行于直线y＝x－2，设y＝f(x)＝x2，P(x0，y0)，由导数的几何意义知f′(x0)＝eq \(lim,\s\d4(Δx→0)) eq \f(fx0＋Δx－fx0,Δx)＝2x0＝1，解得x0＝eq \f(1,2)，所以Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(1,4)))，故点P到直线y＝x－2的最小距离为d＝eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)－\f(1,4)－2)),\r(2))＝eq \f(7\r(2),8).
15．函数y＝eq \r(4－x2)在x＝1处的导数为________．
答案 －eq \f(\r(3),3)
解析 作出函数y＝eq \r(4－x2)的图象如图．
由导数的几何意义可知，函数y＝eq \r(4－x2)在x＝1处的导数即为半圆在点P(1，eq \r(3))处的切线的斜率．
所以kl＝－eq \f(1,kOP)＝－eq \f(1,\r(3))＝－eq \f(\r(3),3).
16．求过点(－1,0)与曲线y＝x2＋x＋1相切的直线方程．
解 设切点为(x0，xeq \\al(2,0)＋x0＋1)，
则切线的斜率为
k＝eq \(lim,\s\d4(Δx→0))eq \f(x0＋Δx2＋x0＋Δx＋1－x\\al(2,0)＋x0＋1,Δx)
＝2x0＋1.
又k＝eq \f(x\\al(2,0)＋x0＋1－0,x0－－1)＝eq \f(x\\al(2,0)＋x0＋1,x0＋1)，
∴2x0＋1＝eq \f(x\\al(2,0)＋x0＋1,x0＋1)，
解得x0＝0或x0＝－2.
当x0＝0时，切线斜率k＝1，
过(－1,0)的切线方程为y－0＝x＋1，即x－y＋1＝0.
当x0＝－2时，切线斜率k＝－3，过(－1,0)的切线方程为y－0＝－3(x＋1)，即3x＋y＋3＝0.
故所求切线方程为x－y＋1＝0或3x＋y＋3＝0.