数学九年级下册27.3 位似课后复习题

这是一份数学九年级下册27.3 位似课后复习题
专题27.3 位似典例体系（本专题共57题33页）一、知识点1. 如果两个图形不仅是相似图形,而且每组对应点所在的直线都经过同一点,那么这样的两个图形叫做位似图形; 这个点叫做位似中心; 这时的相似比又称为位似比.2. 位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比.◎3. 位似变换:①变换后的图形,不仅与原图相似,而且对应顶点的连线相交于一点,并且对应点到这一交点的距离成比例.像这种特殊的相似变换叫做位似变换.这个交点叫做位似中心.②一个图形经过位似变换后得到另一个图形,这两个图形就叫做位似形.③利用位似的方法,可以把一个图形放大或缩小.二、考点点拨与训练考点1：位似图形的识别 典例：（2020·全国初三课时练习）指出下列各图中的两个图形是否是位似图形如果是位似图形，请指出其位似中心． 方法或规律点拨本题考查了位似图形的概念，解题的关键是掌握基本的概念．巩固练习1．（2017·山东济宁·中考模拟）小敏的圆规摆放如图所示，则几个和小明的圆规形状一样的圆规中，与小明摆放的位似的是（　　）A． B． C． D．2．（2020·全国初三专题练习）1. 下列说法不正确的是 （ ）A．位似图形一定是相似图形B．相似图形不一定是位似图形C．位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比D．位似图形中每组对应点所在的直线必相互平行3．（2020·重庆渝中·初三二模）下列图形中不是位似图形的为（ ）A． B． C． D． 4．（2020·河北中考真题）在如图所示的网格中，以点为位似中心，四边形的位似图形是（ ）A．四边形 B．四边形C．四边形 D．四边形5．（2020·青海海东·初三三模）如图，与位似，其位似中心为点，且，则与的位似比是（ ）A． B． C． D．6．（2020·江西九江·初三零模）将铁丝围成的△ABC铁框平行地面（水平）放置，并在灯泡的垂直照射下，在地面上的影子是△A′B′C′，那么△ABC与△A′B′C′之间是属于（ ）A．对称变换 B．平移变换 C．位似变换 D．旋转变换7．（2018·西城·北京十四中初三期中）下列图形中，则这两个三角形不是位似图形的是（ ）A． B． C． D．8．（2019·山东成武·初三一模） 在下列四种图形变换中，本题图案不包含的变换是（　　）A．位似 B．旋转 C．轴对称 D．平移9．（2020·河北桥东·初三期末）下列每组的两个图形，是位似图形的是（ ）A．B． C． D．10．（2020·贵州贵阳·初三期末）视力表用来测试一个人的视力，如图是视力表的一部分，图中的“E”均是相似图形，其中是位似图形的是（ ）A．①和④ B．②和③ C．①和② D．②和④11．（2020·安徽初三期中）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，M、N分别是边AB、AD的中点，连接OM、ON、MN，则下列叙述不正确的是( )A．△AMO与△ABC位似B．△AMN与△BCD位似C．△ANO与△ACD位似D．△AMN与△ABD位似考点2：确定位似中心典例： （2020·北京密云·初三期末）如图所示，在边长为1的小正方形网格中，两个三角形是位似图形，则它们的位似中心是（ ） A．点O B．点P C．点M D．点N方法或规律点拨此题主要考查了位似变换的性质，利用位似图形的位似中心位于对应点连线所在的直线上，点M、N为对应点，得出位似中心在M、N所在的直线上是解题关键．巩固练习1．（2020·河北邯郸·初三其他）图中的两个三角形是位似图形，它们的位似中心是（ ）A．点P B．点DC．点M D．点N2．（2020·吉林长春外国语学校初三月考）如图，在平面直角坐标系中，点、的坐标分别为（-4，4）、（0，4），点、的坐标分别为（0，1）、（2，1）．若线段和是位似图形，且位似中心在轴上，则位似中心的坐标为（ ）A．． B．． C．． D．．3．（2019·河南平舆·初三期中）用作位似图形的办法，可以将一个图形放大或缩小，位似中心位置可选在（ ）A．原图形的外部 B．原图形的内部 C．原图形的边上 D．任意位置4．（2020·山东莱州·初二期末）如图，两个三角形是以点P为位似中心的为似图形，则点P的坐标是（ ）．A． B． C． D．5．（2020·河北初三其他）如图，若与是位似图形，则位似中心的坐标是（ ）A． B． C． D．6．（2020·山西初三其他）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，，以某点为位似中心，作出与位似，点的对应点为，则位似中心的坐标为（ ）A． B． C． D．考点3：位似图形的有关计算典例：（2020·陕西清涧·初三期末）如图，与是位似图形，点O是位似中心， ， ，求DE的长．方法或规律点拨本题考查了位似的相关知识，位似是相似的特殊形式，位似比等于相似比，其对应的面积比等于相似比的平方．巩固练习1．（2020·江阴高新区实验中学初三月考）如图，点在射线上，点在射线上，且，．若，的面积分别为1，4，则图中三个阴影三角形面积之和为 （ ）A．8 B．9 C．10 D．10.52．（2020·怀柔区第五中学初三月考）如图，与是位似图形，且位似中心为，若线段，则线段为（ ）A． B． C． D．3．（2020·沙坪坝·重庆一中初三开学考试）如图，与是位似图形，位似中心为，，，则的面积为（ ）A．12 B．16 C．21 D．494．（2020·揭阳市实验中学初三期中）如图，以点O为位似中心，将五边形ABCDE放大后得到五边形A′B′C′D′E′，已知OA＝10cm，OA′＝20cm，则五边形ABCDE的周长与五边形A′B′C′D′E′的周长比是（　　）A．1：2 B．2：1 C．1：3 D．3：15．（2020·广西初三其他）已知和是位似图形．的面积为，的周长是的周长一半．则的面积等于（ ）A． B． C． D．6．（2020·重庆南开中学初三开学考试）如图，与是位似图形，点是位似中心，若，，则等于（ ）A． B． C． D．7．（2019·漳州外国语学校初三一模）如图，以点O为位似中心，将△ABC缩小得到△A′B′C，若AA′= 2OA′，则△ABC与△A′B′C′的周长比为_____．8．（2017·山西全国·初三课时练习）如图，五边形A′B′C′D′E′与五边形ABCDE是位似图形，且位似比为．若五边形ABCDE的，面积为20cm2，那么五边形A′B′C′D′E′的面积为 cm2．9．（2020·浙江海宁·初三学业考试）如图，已知□ABCD，以B为位似中心，作□ABCD的位似图形□EBFG，位似图形与原图形的位似比为，连结AG，DG．若□ABCD的面积为24，则△ADG的面积为____．10．（2019·全国初三单元测试）如图，是由经过位似变换得到的 （1）求出与的相似比，并指出它们的位似中心；（2）是的位似图形吗？如果是，求相似比；如果不是说明理由； （3）如果相似比为，那么的位似图形是什么？11．（2020·四川师范大学附属中学初三月考）如图，在6×8网格图中，每个小正方形边长均为1，点和的顶点均在小正方形的格点上．（1）以为位似中心，在网格图中作和位似，且位似比为1：2．（2）求（1）中的的周长和面积．考点4：平面直角坐标系中的位似计算典例：（2020·黑龙江铁锋·初三期末）如图，已知A(﹣4，0)，B(0，4)，现以A点为位似中心，相似比为9：4，将OB向右侧放大，B点的对应点为C．（1）求C点坐标及直线BC的解析式：（2）点P从点A开始以每秒2个单位长度的速度匀速沿着x轴向右运动，若运动时间用t秒表示．△BCP的面积用S表示，请你直接写出S与t的函数关系．方法或规律点拨本题把一次函数与位似图形相结合，考查了同学们综合运用所学知识的能力，是一道综合性较好的题目．巩固练习1．（2020·甘肃白银·初三二模）如图,在平面直角坐标系中,和位似，位似中心为原点,点点,若的面积为,则的面积是（ ）A． B． C． D．2．（2020·全国初三课时练习）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，，，以原点为位似中心，在原点的同侧画，使与成位似图形，且相似比为2：1，则线段DF的长度为（ ）A． B．2 C．4 D．3．（2020·河北初二期中）已如ABC在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为，现将三角形ABC各顶点的横坐标和纵坐标都乘3，得到，则的周长与的周长之比为（ ）A．1：3 B．3：1 C．6：1 D．9：14．（2020·聊城市茌平区振兴街道中学初三月考）在平面直角坐标系中，已知点E（﹣4，2），F（﹣2，﹣2），以原点O为位似中心，相似比为0.5，把△EFO缩小，则点E的对应点E′的坐标是（　　）A．（﹣2，1） B．（﹣8，4） C．（﹣2，1）或（2，﹣1） D．（﹣8，4）或（8，﹣4）5．（2020·河北邯郸·初三其他）如图，△ABE和△CDE是以点E为位似中心的位似图形，已知点A（2，2）、B（3，1）、D（5，2），则点A的对应点C的坐标是（　　）A．（2，3） B．（2，4） C．（3，3） D．（3，4）6．（2019·河北宣化·初三二模）在平面直角坐标系中，已知点，以原点为位似中心把缩小得到，使，则点的对应点的坐标是（ ）A． B． C．或 D．或7．（2020·河北顺平·初三一模）如图，点，，以原点O为位似中心，把线段AB缩短为原来的一半，得到线段CD，其中点C与点A对应，点D与点B对应，则点D的横坐标为（ ）A．2 B．2或-2C． D．或-8．（2020·重庆巴蜀中学初三期末）如图，线段BC的两端点的坐标分别为B（3，8），C（6，3），以点A（1，0）为位似中心，将线段BC缩小为原来的后得到线段DE，则端点D的坐标为（　　）A．（1，4） B．（2，4） C．（，4） D．（2，2）9．（2020·广东揭西·初三月考）如图，线段AB两个端点的坐标分别为A（2，2）、B（3，1），以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB扩大为原来的2倍后得到线段CD，则端点C的坐标分别为（　　）A．（4，4） B．（3，3） C．（3，1） D．（4，1）10．（2020·渠县崇德实验学校初三期中）如图，正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，点O为位似中心，相似比为1∶,点A的坐标为(1，0)，则点E的坐标为 (　　)A．(,0) B．() C．() D．(2，2)11．（2020·安徽蜀山·合肥市五十中学西校月考）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在坐标原点，边OA在x轴上，OC在y轴上，如果矩形OA′B′C′与矩形OABC关于点O位似，且矩形OA′B′C′的面积等于矩形OABC面积的，那么点B′的坐标是（ ） A．（2，1） B．（-1，-2） C．（2，1）或（-2，-1） D．（1，2）或（-1，-2）12．（2020·长春市第四十七中学初三月考）如图，已知线段AB两个端点的坐标分别为A(4，6)，B(8，4)，以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的一半后得到线段CD，则端点D坐标为_____．15．（2020·山东招远·初二期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点O（0，0），A（6，0），B（0，8），以某点为位似中心，作出△AOB的位似△CDE，则位似中心的坐标为_____．16．（2020·山东烟台·初三其他）如图，已知矩形ABCD和矩形BEFG是位似图形，点O是位似中心，若点D的坐标为（1，2），点F的坐标为（4，4），则点G的坐标是_____．考点5：位似图形的有关作图典例：（2020·吉林净月高新技术产业开发区·东北师大附中初三月考）图①、图②、图③都是的网格， 每个小正方形的顶点为格点，的顶点、、均在格点上，在图①、图②、图③中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求作图，不要求写出画法．（1）在图①中画出边上的中线AD， 则 ．（2）在图②中画出，点、分别在边、上，满足，且；（3）在图③中画出，点分别在边、上，使得与是位似图形，且点为位似中心，位似比为（保留作图痕迹）方法或规律点拨本题主要考查了作图-位似变换，三角形中位线的判定和性质，平行四边形的判定和性质，解题的关键是掌握位似变换的定义和性质及平行四边形的判定和性质．巩固练习1．（2020·内蒙古呼和浩特·初一月考）画一画（1）按指定对称轴画出图形的另一半，使它成为一个轴对称图形．（2）画出把图形向右平移6格，再向上平移1格后的图形．（3）画出把图形绕点逆时针旋转90°后的图形．（4）画出把图形按2：1的比放大后的图形．2．（2020·河南周口·初三期中）已知△ABC在平面直角坐标系内，三个顶点的坐标分别为A(0，3)，B(4，5)，C(3，2)．(正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度) （1）画出△ABC向下平移5个单位长度得到的，并直接写出点的坐标；（2）以点B为位似中心，在网格中画出，使与位似，且相似比为2∶1，并直接写出的面积．3．（2020·银川唐徕回民中学初三二模）如图，△ABC在方格纸中（1）请在方格纸上建立平面直角坐标系，使A(2，3)，C(6，2)，并求出B点坐标；（2）以原点O为位似中心，位似比为2，在第一象限内将△ABC放大，画出放大后的图形△A′B′C′；（3）求△A′B′C′的周长．4．（2019·安徽砀山·初三一模）如图，在由边长为个单位长度的小正方形组成的网格中，已知点均为网格线的交点．.版权所有在给定的网格中，以点为位似中心，将线段放大为原来的倍，得到线段（点的对应点分别为)．画出线段；将线段绕点逆时针旋转得到线段，画出线段；在旋转过程中，点所经过的路径长度是 个单位．(结果保留)5．（2020·桂林·广西师大附属外国语学校初三月考）已知，△ABC 在直角坐标系内，三个顶点的坐标分别为 A（0，3），B（3，4），C（2，2）（正方形网格中每个小正方形的边长均为一个单位长度）．①画出△ABC 向下平移 4 个单位得到的△；②以点B为位似中心，在网格内画出△，使△与△ABC 位似，且位似比为 2：1；③△与△是位似图形，位似中心为原点，位似比为 3：2，若 M（a， b）为线段上任一点，写出点 M 对应点的坐标．6．（2020·四川省射洪县射洪中学外国语实验学校初三期中）如图，图中的小方格都是边长为1的正方形，点E、A、B、C都在小正方形的顶点上．（1）以点E为位似中心，画使它与的相似比为2（要求：画出所有图形，保留画图痕迹，不写画法）（2）若建立平面直角坐标系，使点A在直角坐标系的坐标为(-2，0)，请画出平面直角坐标系， 则点A1的坐标是 　（3）三角形ACB与三角形A1C1B1的面积比为 　 7．（2020·郎溪县第二中学）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点都在格点上，点A的坐标为（2，﹣1），请解答下列问题：（1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，点A1的坐标为　 　；（2）在网格内以点（1，1）为位似中心，把△A1B1C1按相似比2：1放大，得到△A2B2C2，请画出△A2B2C2；若边AC上任意一点P的坐标为（m，n），则两次变换后对应点P2的坐标为　 　．8．（2020·江苏泰兴市实验初级中学初三月考）如图，在正方形网格内(每个小正方形的边长为单位1)，△ABC与△A1B1C1是关于点M为位似中心的位似图形，它们的顶点都在格点上．（1）画出位似中心M，并写出M的坐标；（2）求出△ABC与△A1B1C1的位似比；（3）以坐标原点O点为位似中心，在网格内再画一个△A2B2C2，使它与△ABC的位似比等于2．若点P(－a,b)专题27.3 位似典例体系（本专题共57题33页）一、知识点1. 如果两个图形不仅是相似图形,而且每组对应点所在的直线都经过同一点,那么这样的两个图形叫做位似图形; 这个点叫做位似中心; 这时的相似比又称为位似比.2. 位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比.◎3. 位似变换:①变换后的图形,不仅与原图相似,而且对应顶点的连线相交于一点,并且对应点到这一交点的距离成比例.像这种特殊的相似变换叫做位似变换.这个交点叫做位似中心.②一个图形经过位似变换后得到另一个图形,这两个图形就叫做位似形.③利用位似的方法,可以把一个图形放大或缩小.二、考点点拨与训练考点1：位似图形的识别 典例：（2020·全国初三课时练习）指出下列各图中的两个图形是否是位似图形如果是位似图形，请指出其位似中心． 【答案】题图1和3中的两个图形都是位似图形，位似中心分别是题图1中的点和题图3中的点；题图2中的两个图形不是位似图形．【解析】题图1和3中的两个图形都是位似图形，位似中心分别是题图1中的点和题图3中的点；题图2中对应顶点的连线不交于一点，故题图2中的两个图形不是位似图形．方法或规律点拨本题考查了位似图形的概念，解题的关键是掌握基本的概念．巩固练习1．（2017·山东济宁·中考模拟）小敏的圆规摆放如图所示，则几个和小明的圆规形状一样的圆规中，与小明摆放的位似的是（　　）A． B． C． D．【答案】D【解析】∵位似是相似的特殊形式，∴位似图形的对应边平行且对应顶点的连线交于一点．据此判断，只有D选项符合题意，故选D．2．（2020·全国初三专题练习）1. 下列说法不正确的是 （ ）A．位似图形一定是相似图形B．相似图形不一定是位似图形C．位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比D．位似图形中每组对应点所在的直线必相互平行【答案】D【解析】如果两个图形不仅是相似图形而且每组对应点所在的直线都经过同一个点，对应边互相平行（或共线），那么这样的两个图形叫位似图形，这个点叫做位似中心，因而A，B，C正确，D错误．解：根据位似图形的定义可知，B，C正确，似图形中每组对应点所在的直线相交于一点，D错误．故选D．3．（2020·重庆渝中·初三二模）下列图形中不是位似图形的为（ ）A． B． C． D． 【答案】B【解析】解：对应顶点的连线相交于一点的两个相似多边形叫位似图形． 根据位似图形的概念，A三个图形中的两个图形是位似图形；故A不符合题意， B中的两个图形不符合位似图形的概念，对应边不平行，故不是位似图形．故B符合题意，根据位似图形的概念，C三个图形中的两个图形是位似图形；故C不符合题意，根据位似图形的概念，D三个图形中的两个图形是位似图形；故D不符合题意，故选：B．4．（2020·河北中考真题）在如图所示的网格中，以点为位似中心，四边形的位似图形是（ ）A．四边形 B．四边形C．四边形 D．四边形【答案】A【解析】解：如图所示，四边形的位似图形是四边形．故选：A5．（2020·青海海东·初三三模）如图，与位似，其位似中心为点，且，则与的位似比是（ ）A． B． C． D．【答案】A【解析】由题目可知，本题图形位似中心为点O，∵OD=AD，∴AO:DO=2:1，∴△ABC与△DEF位似比为2:1，故答案为A选项．6．（2020·江西九江·初三零模）将铁丝围成的△ABC铁框平行地面（水平）放置，并在灯泡的垂直照射下，在地面上的影子是△A′B′C′，那么△ABC与△A′B′C′之间是属于（ ）A．对称变换 B．平移变换 C．位似变换 D．旋转变换【答案】C【解析】根据题意，由于△ABC平行地面放置，且在灯泡的照射下，所以△ABC与△A′B′C′的各对应点的位置不变，且其连线应交于灯泡的所在的地方，面积大小不一，所以属于位似变换，故选：C．7．（2018·西城·北京十四中初三期中）下列图形中，则这两个三角形不是位似图形的是（ ）A． B． C． D．【答案】A【解析】对应顶点的连线相交于一点的两个相似多边形叫位似图形．根据位似图形的概念， C、B、D三个图形中的两个图形都是位似图形；A中的两个图形不符合位似图形的概念，对应边不平行，故不是位似图形．故选：A．8．（2019·山东成武·初三一模） 在下列四种图形变换中，本题图案不包含的变换是（　　）A．位似 B．旋转 C．轴对称 D．平移【答案】A【解析】解：A、不符合位似图形的定义，本题图案包含位似变换．符合题意；B、将图形绕着中心点旋转40°的整数倍后均能与原图形重合，本题图案包含旋转变换．不符合题意；C、有9条对称轴，本题图案包含轴对称变换．不符合题意；D、每一组图形中存在平移变换，不符合题意．故选：A．9．（2020·河北桥东·初三期末）下列每组的两个图形，是位似图形的是（ ）A． B． C． D．【答案】D【解析】对应顶点的连线相交于一点的两个相似多边形叫位似图形.据此可得A. B.C. 三个图形中的两个图形都不是位似图形；而D.的对应顶点的连线能相交于一点，故是位似图形故选D.10．（2020·贵州贵阳·初三期末）视力表用来测试一个人的视力，如图是视力表的一部分，图中的“E”均是相似图形，其中是位似图形的是（ ）A．①和④ B．②和③ C．①和② D．②和④【答案】A【解析】A.两个图形相似，且对应点的连线都经过同一个点，对应边互相平行，故是位似图形；B.两个图形相似，但是对应点的连线不在同一个点，故不是位似图形；C.两个图形相似，但是对应点的连线不在同一个点，故不是位似图形；D. 两个图形相似，但是对应点的连线不在同一个点，故不是位似图形；故选：A.11．（2020·安徽初三期中）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，M、N分别是边AB、AD的中点，连接OM、ON、MN，则下列叙述不正确的是( )A．△AMO与△ABC位似B．△AMN与△BCD位似C．△ANO与△ACD位似D．△AMN与△ABD位似【答案】B【解析】A. △AMO与△ABC是以A点为位似中心的位似图形，故A正确；B. △AMN与△BCD对应线段不平行，不是位似图形，故B错误；C. △ANO与△ACD是以A点为位似中心的位似图形，故C正确；D. △AMN与△ABD是以A点为位似中心的位似图形，故D正确；故选B.考点2：确定位似中心典例： （2020·北京密云·初三期末）如图所示，在边长为1的小正方形网格中，两个三角形是位似图形，则它们的位似中心是（ ） A．点O B．点P C．点M D．点N【答案】B【解析】解：位似图形的位似中心位于对应点连线所在的直线上，点M、N为对应点，所以位似中心(如图)在M、N所在的直线上，点P在直线MN上，所以点P为位似中心．故选：B．方法或规律点拨此题主要考查了位似变换的性质，利用位似图形的位似中心位于对应点连线所在的直线上，点M、N为对应点，得出位似中心在M、N所在的直线上是解题关键．巩固练习1．（2020·河北邯郸·初三其他）图中的两个三角形是位似图形，它们的位似中心是（ ）A．点P B．点DC．点M D．点N【答案】A【解析】解：∵位似图形的位似中心位于对应点连线所在的直线上，点M、N为对应点，所以位似中心在M、N所在的直线上，因为点P在直线MN上，所以点P为位似中心．故选A．2．（2020·吉林长春外国语学校初三月考）如图，在平面直角坐标系中，点、的坐标分别为（-4，4）、（0，4），点、的坐标分别为（0，1）、（2，1）．若线段和是位似图形，且位似中心在轴上，则位似中心的坐标为（ ）A．． B．． C．． D．．【答案】B【解析】解：如图所示：连接AD，交y轴于点E，∵点A、B的坐标分别为（-4，4）、（0，4），点C、D的坐标分别为（0，1）、（2，1）；∴AB=4，CD=2，BC=3，AB∥DC，∴△ABE∽△DCE，，，∴2=，解得：EC=1，则E点坐标为：（0，2），故位似中心的坐标为：（0，2）．故选：B．3．（2019·河南平舆·初三期中）用作位似图形的办法，可以将一个图形放大或缩小，位似中心位置可选在（ ）A．原图形的外部 B．原图形的内部 C．原图形的边上 D．任意位置【答案】D【解析】画一个图形的位似图形时，位似中心的选取是任意的.故选D.4．（2020·山东莱州·初二期末）如图，两个三角形是以点P为位似中心的为似图形，则点P的坐标是（ ）．A． B． C． D．【答案】A【解析】如图，过图中三角形的两对对应点作直线，从图中看出，两条直线的交点为(-3,2)．　　故选A．5．（2020·河北初三其他）如图，若与是位似图形，则位似中心的坐标是（ ）A． B． C． D．【答案】C【解析】解：连接C1C，B1B，A1A并延长，交点P即为所求，由图可知：位似中心的坐标是：(0,−1)，故选：C．6．（2020·山西初三其他）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，，以某点为位似中心，作出与位似，点的对应点为，则位似中心的坐标为（ ）A． B． C． D．【答案】A【解析】∵直线AD、CF、BE交于O点∴位似中心为O点即故选A．考点3：位似图形的有关计算典例：（2020·陕西清涧·初三期末）如图，与是位似图形，点O是位似中心， ， ，求DE的长．【答案】10【解析】解：∵△ABC与△DEF是位似图形，∴△ABC∽△DEF，∵OA=AD，∴位似比是OB：OE=1：2，∵AB=5，∴DE=10．方法或规律点拨本题考查了位似的相关知识，位似是相似的特殊形式，位似比等于相似比，其对应的面积比等于相似比的平方．巩固练习1．（2020·江阴高新区实验中学初三月考）如图，点在射线上，点在射线上，且，．若，的面积分别为1，4，则图中三个阴影三角形面积之和为 （ ）A．8 B．9 C．10 D．10.5【答案】D【解析】解：由已知得：，∴，设之间的距离为h，则： ，，，同理有，∴图中三个阴影三角形面积之和为：，故选D．2．（2020·怀柔区第五中学初三月考）如图，与是位似图形，且位似中心为，若线段，则线段为（ ）A． B． C． D．【答案】D【解析】解：由与是位似图形，且位似中心为，可得：，，；故选D．3．（2020·沙坪坝·重庆一中初三开学考试）如图，与是位似图形，位似中心为，，，则的面积为（ ）A．12 B．16 C．21 D．49【答案】D【解析】解：∵ABC与△DEF是位似图形，位似中心为O，OA：AD=3：4，∴OA：OD=3：7，∴S△ABC：S△DEF=9：49，∵S△ABC=9，∴△DEF的面积为：49．故选：D．4．（2020·揭阳市实验中学初三期中）如图，以点O为位似中心，将五边形ABCDE放大后得到五边形A′B′C′D′E′，已知OA＝10cm，OA′＝20cm，则五边形ABCDE的周长与五边形A′B′C′D′E′的周长比是（　　）A．1：2 B．2：1 C．1：3 D．3：1【答案】A【解析】∵以点O为位似中心，将五边形ABCDE放大后得到五边形A′B′C′D′E′，OA＝10cm，OA′＝20cm，∴五边形ABCDE的周长与五边形A′B′C′D′E′的位似比为：10：20＝1：2，∴五边形ABCDE的周长与五边形A′B′C′D′E′的周长比是：1：2．故选：A．5．（2020·广西初三其他）已知和是位似图形．的面积为，的周长是的周长一半．则的面积等于（ ）A． B． C． D．【答案】A【解析】∵△A′B′C′的周长是△ABC的周长一半，∴△A′B′C′与△ABC的相似比为1：2，∴△A′B′C′与△ABC的面积比为1：4，∴S△ABC=4S△A′B′C′32(cm2)，故选：A．6．（2020·重庆南开中学初三开学考试）如图，与是位似图形，点是位似中心，若，，则等于（ ）A． B． C． D．【答案】C【解析】解：△ABC与△A′B′C′是位似图形且由OA=2AA′可得，∴两位似图形的位似比为2：3，所以两位似图形的面积比为4：9，又S△ABC=4，∴S△A'B'C'=．故选：C7．（2019·漳州外国语学校初三一模）如图，以点O为位似中心，将△ABC缩小得到△A′B′C，若AA′= 2OA′，则△ABC与△A′B′C′的周长比为_____．【答案】3：1【解析】由题意可知△ABC∽△A′B′C′，∵AA′=2OA′，∴OA=3OA′，∴ ∴△ABC与△A′B′C′的周长比故答案为3：1．8．（2017·山西全国·初三课时练习）如图，五边形A′B′C′D′E′与五边形ABCDE是位似图形，且位似比为．若五边形ABCDE的，面积为20cm2，那么五边形A′B′C′D′E′的面积为 cm2．【答案】5．【解析】∵五边形A′B′C′D′E′与五边形ABCDE是位似图形，且位似比为，∴五边形A′B′C′D′E′的面积与五边形ABCDE的面积比为：1：4，∵五边形ABCDE的面积为20cm2，∴五边形A′B′C′D′E′的面积为：5．9．（2020·浙江海宁·初三学业考试）如图，已知□ABCD，以B为位似中心，作□ABCD的位似图形□EBFG，位似图形与原图形的位似比为，连结AG，DG．若□ABCD的面积为24，则△ADG的面积为____．【答案】4【解析】作BH⊥CD与CD交于点H，与GF交于点I∵四边形ABCD是平行四边形，位似图形与原图形的位似比为∴， ∵□ABCD的面积为24∴∴，∴故答案为：4．10．（2019·全国初三单元测试）如图，是由经过位似变换得到的 （1）求出与的相似比，并指出它们的位似中心；（2）是的位似图形吗？如果是，求相似比；如果不是说明理由； （3）如果相似比为，那么的位似图形是什么？【答案】；它们的位似中心是；（2）是的位似图形，相似比为；（3）如果相似比为，那么的位似图形是．【解析】与的相似比为：；它们的位似中心是；（2）是的位似图形，相似比为：；（3）如果相似比为，那么的位似图形是．11．（2020·四川师范大学附属中学初三月考）如图，在6×8网格图中，每个小正方形边长均为1，点和的顶点均在小正方形的格点上．（1）以为位似中心，在网格图中作和位似，且位似比为1：2．（2）求（1）中的的周长和面积．【答案】（1）画图见解析；（2）的周长为，面积为3．【解析】（1）如图所示：（2）由（1）可知：，，∴的周长为．．∴的周长为面积为3．考点4：平面直角坐标系中的位似计算典例：（2020·黑龙江铁锋·初三期末）如图，已知A(﹣4，0)，B(0，4)，现以A点为位似中心，相似比为9：4，将OB向右侧放大，B点的对应点为C．（1）求C点坐标及直线BC的解析式：（2）点P从点A开始以每秒2个单位长度的速度匀速沿着x轴向右运动，若运动时间用t秒表示．△BCP的面积用S表示，请你直接写出S与t的函数关系．【答案】（1）C点坐标为，y＝x+4；（2）S＝5t（t＞0）【解析】（1）过C点向x轴作垂线，垂足为D．由位似图形性质可知：△ABO∽△ACD，∴．由已知A(﹣4，0)，B(0，4)，可知：AO=BO=4，∴AD=CD=9，∴C点坐标为(5，9)．设直线BC的解析式为y=kx+b，∴，解得：，∴直线BC的解析是为：y=x+4；（2）由题意得：∴S=5t(t＞0)．方法或规律点拨本题把一次函数与位似图形相结合，考查了同学们综合运用所学知识的能力，是一道综合性较好的题目．巩固练习1．（2020·甘肃白银·初三二模）如图,在平面直角坐标系中,和位似，位似中心为原点,点点,若的面积为,则的面积是（ ）A． B． C． D．【答案】A【解析】解：∵△ABC和△A'B'C位似，位似中心为原点O，点A(-1，2)、点A'(2，-4)，∴△ABC和△A'B'C的相似比为：|-1|：|2|=1：2，∵△ABC的面积为4，∴△A'B'C的面积是：16．故选：A．2．（2020·全国初三课时练习）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，，，以原点为位似中心，在原点的同侧画，使与成位似图形，且相似比为2：1，则线段DF的长度为（ ）.版权所有A． B．2 C．4 D．【答案】D【解析】解：∵以原点为位似中心，在原点的同侧画△DEF，使△DEF与△ABC成位似图形，且相似比为2：1，而A（1，2），C（3，1），∴D（2，4），F（6，2），∴DF＝=，故选：D．3．（2020·河北初二期中）已如ABC在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为，现将三角形ABC各顶点的横坐标和纵坐标都乘3，得到，则的周长与的周长之比为（ ）A．1：3 B．3：1 C．6：1 D．9：1【答案】B【解析】∵，现将三角形ABC各顶点的横坐标和纵坐标都乘3，∴A1（3,3），B1（12,3），C1（6,9），∴AB=，A1B1=，∵ABC 与相似，∴，∴的周长与的周长之比=3:1．故选择：B．4．（2020·聊城市茌平区振兴街道中学初三月考）在平面直角坐标系中，已知点E（﹣4，2），F（﹣2，﹣2），以原点O为位似中心，相似比为0.5，把△EFO缩小，则点E的对应点E′的坐标是（　　）A．（﹣2，1） B．（﹣8，4） C．（﹣2，1）或（2，﹣1） D．（﹣8，4）或（8，﹣4）【答案】C【解析】解：∵相似比是0.5，∴点E对应的是OE的中点，即，或者是这个关于原点O的对称点，．故选：C．5．（2020·河北邯郸·初三其他）如图，△ABE和△CDE是以点E为位似中心的位似图形，已知点A（2，2）、B（3，1）、D（5，2），则点A的对应点C的坐标是（　　）A．（2，3） B．（2，4） C．（3，3） D．（3，4）【答案】D【解析】设点C的坐标为（x，y），∵△ABE和△CDE是以点E为位似中心的位似图形，∴＝，＝，解得，x＝3，y＝4，则点C的坐标为（3，4），故选：D．6．（2019·河北宣化·初三二模）在平面直角坐标系中，已知点，以原点为位似中心把缩小得到，使，则点的对应点的坐标是（ ）A． B． C．或 D．或【答案】D【解析】∵以原点O为位似中心把缩小得到，且，，∴或．故选：D．7．（2020·河北顺平·初三一模）如图，点，，以原点O为位似中心，把线段AB缩短为原来的一半，得到线段CD，其中点C与点A对应，点D与点B对应，则点D的横坐标为（ ）A．2 B．2或-2C． D．或-【答案】D【解析】解：以原点O为位似中心，把线段AB缩短为原来的一半，∵点B的横坐标为3，∴点B的对应点D的横坐标为或，故选：D．8．（2020·重庆巴蜀中学初三期末）如图，线段BC的两端点的坐标分别为B（3，8），C（6，3），以点A（1，0）为位似中心，将线段BC缩小为原来的后得到线段DE，则端点D的坐标为（　　）A．（1，4） B．（2，4） C．（，4） D．（2，2）【答案】B【解析】解：∵将线段BC缩小为原来的后得到线段DE，∴△ADE∽△ABC，∴＝＝，∴点D是线段AB的中点，∵A（1，0），B（3，8），∴点D的坐标为（2，4），故选：B．9．（2020·广东揭西·初三月考）如图，线段AB两个端点的坐标分别为A（2，2）、B（3，1），以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB扩大为原来的2倍后得到线段CD，则端点C的坐标分别为（　　）A．（4，4） B．（3，3） C．（3，1） D．（4，1）【答案】A【解析】∵以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB扩大为原来的2倍后得到线段CD，∴A点与C点是对应点，∵C点的对应点A的坐标为（2，2），位似比为1：2，∴点C的坐标为：（4，4）故选A．10．（2020·渠县崇德实验学校初三期中）如图，正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，点O为位似中心，相似比为1∶,点A的坐标为(1，0)，则点E的坐标为 (　　)A．(,0) B．() C．() D．(2，2)【答案】B【解析】由正方形的性质得，OA=OC=1，因为正方形OABC与正方形ODEF的相似比为1∶，所以DE=EF=，所以点E的坐标为()．故选B．11．（2020·安徽蜀山·合肥市五十中学西校月考）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在坐标原点，边OA在x轴上，OC在y轴上，如果矩形OA′B′C′与矩形OABC关于点O位似，且矩形OA′B′C′的面积等于矩形OABC面积的，那么点B′的坐标是（ ） A．（2，1） B．（-1，-2） C．（2，1）或（-2，-1） D．（1，2）或（-1，-2）【答案】C【解析】解：∵矩形OA′B′C′的面积等于矩形OABC面积的，∴两矩形面积的相似比为：1：2，∵B的坐标是（4，2），∴点B′的坐标是：（2，1）或（-2，-1）．故选：C．12．（2020·长春市第四十七中学初三月考）如图，已知线段AB两个端点的坐标分别为A(4，6)，B(8，4)，以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的一半后得到线段CD，则端点D坐标为_____．【答案】(4，2)【解析】∵以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的一半后得到线段CD，B（8，4），∴端点D坐标为（8，4），即（4，2）．故答案为：（4，2）．15．（2020·山东招远·初二期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点O（0，0），A（6，0），B（0，8），以某点为位似中心，作出△AOB的位似△CDE，则位似中心的坐标为_____．【答案】（2，2）．【解析】如图所示，点P即为位似中点，其坐标为（2，2），故答案为（2，2）．16．（2020·山东烟台·初三其他）如图，已知矩形ABCD和矩形BEFG是位似图形，点O是位似中心，若点D的坐标为（1，2），点F的坐标为（4，4），则点G的坐标是_____．【答案】（2，4）【解析】∵矩形ABCD，点D的坐标为（1，2），∴AD＝BC＝2，∵矩形BEFG，点F的坐标为（4，4），∴EF＝BG＝4，∴，∴OB＝2，故点G的坐标是（2，4）．故答案为：（2，4）．考点5：位似图形的有关作图典例：（2020·吉林净月高新技术产业开发区·东北师大附中初三月考）图①、图②、图③都是的网格， 每个小正方形的顶点为格点，的顶点、、均在格点上，在图①、图②、图③中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求作图，不要求写出画法．（1）在图①中画出边上的中线AD， 则 ．（2）在图②中画出，点、分别在边、上，满足，且；（3）在图③中画出，点分别在边、上，使得与是位似图形，且点为位似中心，位似比为（保留作图痕迹）【答案】（1）作图见解析，6；（2）见解析；（3）见解析【解析】（1）如图所示，即为所求，；（2）由，且可知，点E、F分别是BA、BC的中点，如图所示，即为所求；（3）如图所示，即为所求．．方法或规律点拨本题主要考查了作图-位似变换，三角形中位线的判定和性质，平行四边形的判定和性质，解题的关键是掌握位似变换的定义和性质及平行四边形的判定和性质．巩固练习1．（2020·内蒙古呼和浩特·初一月考）画一画（1）按指定对称轴画出图形的另一半，使它成为一个轴对称图形．（2）画出把图形向右平移6格，再向上平移1格后的图形．（3）画出把图形绕点逆时针旋转90°后的图形．（4）画出把图形按2：1的比放大后的图形．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析；（4）见解析【解析】（1）图形A的轴对称图形A′如图所示：（2）图形B的平移图形B′如图所示：（3）图形C的旋转图形C′如图所示： （4）图形D的放大图形D′如图所示．2．（2020·河南周口·初三期中）已知△ABC在平面直角坐标系内，三个顶点的坐标分别为A(0，3)，B(4，5)，C(3，2)．(正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度) （1）画出△ABC向下平移5个单位长度得到的，并直接写出点的坐标；（2）以点B为位似中心，在网格中画出，使与位似，且相似比为2∶1，并直接写出的面积．【答案】（1）如图， 即为所求，；（2）如图，即为所求，的面积为20 ．【解析】解：（1）如图， 即为所求，．（2）如图，延长BA到使，延长BC到使，则即为所求， 的面积 3．（2020·银川唐徕回民中学初三二模）如图，△ABC在方格纸中（1）请在方格纸上建立平面直角坐标系，使A(2，3)，C(6，2)，并求出B点坐标；（2）以原点O为位似中心，位似比为2，在第一象限内将△ABC放大，画出放大后的图形△A′B′C′；（3）求△A′B′C′的周长．【答案】（1）(2，1)（2）见解析（3）4+4【解析】解：(1)如图所示，即为所求的直角坐标系； B(2,1) ；(2)如图：△A′B′C′即为所求；（3）△A′B′C′的周长= ．4．（2019·安徽砀山·初三一模）如图，在由边长为个单位长度的小正方形组成的网格中，已知点均为网格线的交点．在给定的网格中，以点为位似中心，将线段放大为原来的倍，得到线段（点的对应点分别为)．画出线段；将线段绕点逆时针旋转得到线段，画出线段；在旋转过程中，点所经过的路径长度是 个单位．(结果保留)【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）【解析】如图所示，线段即为所求．如图所示，线段即为所求．（3）∵= ∴点所经过的路径长度是==．5．（2020·桂林·广西师大附属外国语学校初三月考）已知，△ABC 在直角坐标系内，三个顶点的坐标分别为 A（0，3），B（3，4），C（2，2）（正方形网格中每个小正方形的边长均为一个单位长度）．①画出△ABC 向下平移 4 个单位得到的△；②以点B为位似中心，在网格内画出△，使△与△ABC 位似，且位似比为 2：1；③△与△是位似图形，位似中心为原点，位似比为 3：2，若 M（a， b）为线段上任一点，写出点 M 对应点的坐标．【答案】①见解析；②见解析；③（，）【解析】解：①如图所示：△A1B1C1，即为所求；②如图所示：△A2BC2，即为所求；③∵△与△是位似图形，位似中心为原点，位似比为 3：2，∴则点M的对应点M2的坐标为：（，）．6．（2020·四川省射洪县射洪中学外国语实验学校初三期中）如图，图中的小方格都是边长为1的正方形，点E、A、B、C都在小正方形的顶点上．（1）以点E为位似中心，画使它与的相似比为2（要求：画出所有图形，保留画图痕迹，不写画法）（2）若建立平面直角坐标系，使点A在直角坐标系的坐标为(-2，0)，请画出平面直角坐标系， 则点A1的坐标是 　（3）三角形ACB与三角形A1C1B1的面积比为 　 【答案】（1）见解析；（2），；（3）1：4【解析】（1）根据位似比是2可画出相对应的点，连接即可，如图所示；（2）因为点A在直角坐标系的坐标为(-2，0)，建立平面直角坐标系如图所示，可得和；（3）根据面积比是相似比的平方可得面积比是1:4．7．（2020·郎溪县第二中学）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点都在格点上，点A的坐标为（2，﹣1），请解答下列问题：（1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，点A1的坐标为　 　；（2）在网格内以点（1，1）为位似中心，把△A1B1C1按相似比2：1放大，得到△A2B2C2，请画出△A2B2C2；若边AC上任意一点P的坐标为（m，n），则两次变换后对应点P2的坐标为　 　．【答案】（1）见解析，（2，1）；（2）见解析，（-2m+3，2n+3）．【解析】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求；点A1的坐标为（2，1），故答案为：（2，1）；（2）如图所示，△A2B2C2即为所求，先求出点P关于x轴的对称点，再求出关于的对称点是，则P2与的中点是这个点，∴P2的坐标为（-2m+3，2n+3）．故答案为：（-2m+3，2n+3）．8．（2020·江苏泰兴市实验初级中学初三月考）如图，在正方形网格内(每个小正方形的边长为单位1)，△ABC与△A1B1C1是关于点M为位似中心的位似图形，它们的顶点都在格点上．（1）画出位似中心M，并写出M的坐标；（2）求出△ABC与△A1B1C1的位似比；（3）以坐标原点O点为位似中心，在网格内再画一个△A2B2C2，使它与△ABC的位似比等于2．若点P(－a,b)在AC上，则它的对应点P’的坐标为 【答案】（1）作图见解析，；（2）；（3）作图见解析，【解析】解：（1）如图，连接，，两直线的交点即为位似中心M，M的坐标为；（2）△ABC与△A1B1C1的位似比即对应边之比，为；（3）作图如下：,若点P(－a,b)在AC上，则它的对应点P’的坐标为．