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初中数学人教版九年级下册27.3 位似当堂检测题
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这是一份初中数学人教版九年级下册27.3 位似当堂检测题，共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
专题27.3 位似
一、选择题（本大题共14个小题，每题2分，共28分，在每个小题的四个选项中只有一项是符合题目要求的）
1．（2020·揭阳市榕城区仙桥实验学校初三期中）如图，以点O为位似中心，把△ABC放大为原图形的2倍得到△A'B'C'，以下说法中错误的是( )
A．△ABC∽△A'B'C' B．点C、点O、点C'三点在同一直线上 C．AO：AA'=1∶2 D．AB∥A'B'
2．（2020·深圳市宝安中学（集团）初三月考）如图，小“鱼”与大“鱼”是位似图形，已知小“鱼”上一个“顶点”的坐标为(a，b)，那么大“鱼”上对应“顶点”的坐标为(
A．(﹣a，﹣2b) B．(﹣2a，﹣b)
C．(﹣2a，﹣2b) D．(﹣b，﹣2a)
3．（2020·天津南开·初三期末）如图，以点为位似中心，把放大为原图形的2倍得到，下列说法中正确的是（
A． B．
C． D．
4．（2020·全国初三课时练习）平面直角坐标系中，有一条鱼，它有六个顶点，则
A．将各点横坐标乘以2，纵坐标不变，得到的鱼与原来的鱼位似
B．将各点纵坐标乘以2，横坐标不变，得到的鱼与原来的鱼位似
C．将各点横，纵坐标都乘以2，得到的鱼与原来的鱼位似
D．将各点横坐标乘以2，纵坐标乘以，得到的鱼与原来的鱼位似
5．（2020·辽宁大洼·初三二模）如图，正方形ABCD和正方形EFOG是位似图形，其中点A与点E对应，点A的坐标为（-4，2）点E的坐标为（-1，1），则这两个正方形位似中心的坐标为（ ）
A．(2，0) B．(1，1) C．（－2,0） D．（-1,0）
6．（2020·聊城市茌平区振兴街道中学初三月考）如图，在正方形网格上有相似三角形△A1B1C1和△A2B2C2，则△A1B1C1和△A2B2C2的面积比为（ ）21
A．2 B．0.5 C．4 D．0.25
7．（2020·重庆南开（融侨）中学校初二期末）如图，平面直角坐标系中，已知顶点，以原点为位似中心，将缩小后得到，若的面积为，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
8．（2020·河北永年·初二期末）在平面直角坐标系中，，，若把线段扩大倍得线段，若，则的坐标可以是（ ）
A． B． C． D．
9．（2020·重庆市荣昌区宝城初级中学初三其他）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（2，4），B（4，1），以原点O为位似中心，将△OAB扩大为原来的4倍，则点A的对应点的坐标是（ ）
A．（，1） B．（-，-1） C．（8，16）或（﹣16，﹣8） D．（8，16）或（﹣8，﹣16）
10．（2018·全国初三单元测试）下列语句正确的是（ ）
A．相似图形一定是位似图形，位似图形一定是相似图形
B．位似图形一定是相似图形，而且位似比等于相似比
C．利用位似变换只能放大图形，不能缩小图形
D．利用位似变换只能缩小图形，不能放大图形
11．（2020·辽宁盘锦·初三其他）如图，在平面直角坐标系中，以原点为位似中心，在第一象限内，按照位似比将放大得到，且点坐标为，点坐标为，则线段长为（ ）
A． B．2 C． D．
12．（2020·全国初三专题练习）如图，平面直角坐标系xOy中，点A、B的坐标分别为（9，0）、（6，﹣9），△AB'O'是△ABO关于点A的位似图形，且O'的坐标为（﹣3，0），则点B'的坐标为（ ）
A．（8，﹣12） B．（﹣8，12）
C．（8，﹣12）或（﹣8，12） D．（5，﹣12）
13．（2020·山东牡丹·初三二模）如图，△ABC中，A，B两个顶点在x轴上方，点C的坐标是(﹣1，0)，以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形，并把△ABC的边长放大到原来的2倍，得到△A'B'C'，设点B的对应点B'的横坐标为2，则点B的横坐标为( )
A．﹣1 B． C．﹣2 D．
14．（2020·山东招远·初二期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（―3，6）、B（―9，一3），以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，则点A的对应点A′的坐标是（ ）
A．（―1，2）
B．（―9，18）
C．（―9，18）或（9，―18）
D．（―1，2）或（1，―2）
二、填空题（本题共4个小题；每个小题3分，共12分，把正确答案填在横线上）
15．（2020·银川市回民中学初三期中）△ABC与△DEF是位似图形，且△ABC与△DEF的位似比是1：3，已知△ABC的面积是2，则△DEF的面积是_______．
16．（2020·福州·福建师范大学附属中学初中部初三月考）如图，已知矩形OABC与矩形ODEF是位似图形，P是位似中心，若点B的坐标为，点E的坐标为，则点P的坐标为______．
17．（2020·桂林·广西师大附属外国语学校初三月考）在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别是A(6，8)，B(7，0)，C(7，8)以原点O为位似中心，相似比为，把△ABC缩小，得到△A1B1C1，则点A的对应点A1的坐标为__________．
18．（2019·河南南阳·初三期中）如图,矩形的两边在坐标轴上,点为平面直角坐标系的原点,以轴上的某一点为位似中心,作位似图形,且点的坐标,则位似中心的坐标为__________．21m
三、解答题（本题共8道题，19-21每题6分，22-25每题8分，26题10分，满分60分）
19．（2019·陕西定边·）如图，△ABC与△A´B´C´是位似图形，且相似比为.
（1）在图中画出位似中心；
（2）若，求的长.
20．（2019·湖南靖州·初三期末）已知△ABC和△A′B′C′的顶点坐标如下表：
（1）将下表补充完整，并在下面的坐标系中，画出△A′B′C′；
（ ， ）
（ ， ）
（2）观察△ABC与△A′B′C′，写出有关这两个三角形关系的一个正确结论．
21．（2019·全国初三课时练习）如图，在△ABC中，A，B两点在x轴的上方，点C的坐标是(－1，0)．以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形△A′B′C，并把△ABC的边长放大到原来的2倍．设点B的对应点B′的横坐标是2，求点B的横坐标．
22．（2020·河南焦作·初一月考）在下面的方格纸上画
（1）画出三角形绕点C顺时针旋转90度后的图形；
（2）画出圆向右平移5格后的图形；
（3）画出长方形按2:1放大后的图形．
23．（2020·东北师大附中明珠学校初三其他）图①、图②、图③都是的网格，每个小正方形的顶点称为格点．顶点、、均在格点上，在图①、图②、图③给定网格中按要求作图，并保留作图痕迹．
（1）在图①中画出中边上的中线；
（2）在图②中确定一点，使得点在边上，且满足；
（3）在图③中画出，使得与是位似图形，且点为位似中心，点、分别在、边上，位似比为．
24．（2020·四川大邑·初三期中）如图，方格纸中的每个小正方格都是边长为1的正方形，我们把以格点间连接为边的三角形称为“格点三角形”，图中的就是格点三角形，在建立平面直角坐标系后，O是坐标原点，B、C两点的坐标分别为(3，-1)、(2，1)
（1）以O点为位似中心在轴的左侧将△OBC放大两倍（即新图与原图的相似比为2），在该坐标系中画出图形；
（2）分别写出B、C两点的对应点B′、C′的坐标；
（3）如果△OBC内部一点M的坐标为（x，y），写出M的对应点M′的坐标．
25．（2020·河北路南·初三期末）如图， 相交于点，连结．
(1)求证: ；
(2)直接回答与是不是位似图形?
(3)若，求的长．
26．（2020·银川市第十五中学初三一模）如图，在边长为1的正方形网中建立平面直角坐标系，已知三个顶点分别为（，2）、（2，1）、（4，5）．
（1）画出关于对称的；
（2）以原点为位似中心，在轴的上方画出，使与位似，且位似比为2，并求出的面积．
专题27.3 位似
一、选择题（本大题共14个小题，每题2分，共28分，在每个小题的四个选项中只有一项是符合题目要求的）.版权所有
1．（2020·揭阳市榕城区仙桥实验学校初三期中）如图，以点O为位似中心，把△ABC放大为原图形的2倍得到△A'B'C'，以下说法中错误的是( )
A．△ABC∽△A'B'C' B．点C、点O、点C'三点在同一直线上 C．AO：AA'=1∶2 D．AB∥A'B'
【答案】C
【解析】解：∵以点O为位似中心，把△ABC放大为原图形的2倍得到△A'B'C'，
∴ △ABC∽△A'B'C' ，点O、C、C'共线，AO：OA'=BO：OB '=1:2，
∴AB∥A'B'，AO：OA'=1:3．
∴A、B、D正确，C错误．
故答案为：C．
2．（2020·深圳市宝安中学（集团）初三月考）如图，小“鱼”与大“鱼”是位似图形，已知小“鱼”上一个“顶点”的坐标为(a，b)，那么大“鱼”上对应“顶点”的坐标为( )
A．(﹣a，﹣2b) B．(﹣2a，﹣b)
C．(﹣2a，﹣2b) D．(﹣b，﹣2a)
【答案】C
【解析】根据位似图形的性质可得（a，b）的对应顶点为（－2a，－2b）.
3．（2020·天津南开·初三期末）如图，以点为位似中心，把放大为原图形的2倍得到，下列说法中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】解：∵以点O为位似中心，把△ABC放大为原图形的2倍得到△A′B′C′，
∴△ABC∽△A′B′C′，点C、点O、点C′三点在同一直线上，AB∥A′B′，
AO：OA′=1：2，
∴
故选C．
4．（2020·全国初三课时练习）平面直角坐标系中，有一条鱼，它有六个顶点，则
A．将各点横坐标乘以2，纵坐标不变，得到的鱼与原来的鱼位似
B．将各点纵坐标乘以2，横坐标不变，得到的鱼与原来的鱼位似
C．将各点横，纵坐标都乘以2，得到的鱼与原来的鱼位似
D．将各点横坐标乘以2，纵坐标乘以，得到的鱼与原来的鱼位似
【答案】C
【解析】解：平面直角坐标系中图形的各个顶点，如果横纵坐标同时乘以同一个非0的实数k，得到的图形与原图形关于原点成位似图形，位似比是|k|．若乘的不是同一个数，得到的图形一定不会与原图形关于原点对称．故选C．
5．（2020·辽宁大洼·初三二模）如图，正方形ABCD和正方形EFOG是位似图形，其中点A与点E对应，点A的坐标为（-4，2）点E的坐标为（-1，1），则这两个正方形位似中心的坐标为（ ）
A．(2，0) B．(1，1) C．（－2,0） D．（-1,0）
【答案】A
【解析】解：如图，连接AE、DG并延长交x轴与N点，
设直线解析式为，将，代入， 得，
解得，
即，
令得，
坐标是；
故选：A．
6．（2020·聊城市茌平区振兴街道中学初三月考）如图，在正方形网格上有相似三角形△A1B1C1和△A2B2C2，则△A1B1C1和△A2B2C2的面积比为（ ）
A．2 B．0.5 C．4 D．0.25
【答案】C
【解析】解：，
故选C．
7．（2020·重庆南开（融侨）中学校初二期末）如图，平面直角坐标系中，已知顶点，以原点为位似中心，将缩小后得到，若的面积为，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】解：由题意得：
顶点，以原点为位似中心，将缩小后得到，点，
，，
，
又的面积为，
；
故选D．
8．（2020·河北永年·初二期末）在平面直角坐标系中，，，若把线段扩大倍得线段，若，则的坐标可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】解：把线段AB扩大2倍得线段，
点A的坐标为（1，2），点A的对应点的坐标为（2，4），
∴位似中心为坐标原点O，
∵点B的坐标为（4，6），
∴点B的对应点的坐标可以是（4×2，6×2），即（8，12），
故选：C．
9．（2020·重庆市荣昌区宝城初级中学初三其他）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（2，4），B（4，1），以原点O为位似中心，将△OAB扩大为原来的4倍，则点A的对应点的坐标是（ ）
A．（，1） B．（-，-1） C．（8，16）或（﹣16，﹣8） D．（8，16）或（﹣8，﹣16）
【答案】D
【解析】∵以原点O为位似中心，将△OAB放大为原来的4倍，得到△OA'B'，A（2，4），
∴点A的对应点A′的坐标是：（，）或，
即（，）或（，）．
故选：D．
10．（2018·全国初三单元测试）下列语句正确的是（ ）
A．相似图形一定是位似图形，位似图形一定是相似图形
B．位似图形一定是相似图形，而且位似比等于相似比
C．利用位似变换只能放大图形，不能缩小图形
D．利用位似变换只能缩小图形，不能放大图形
【答案】B
【解析】相似图形对应点的连线不一定都经过同一点，所以不一定是位似图形，故选项A错误；位似图形一定是相似图形，而且位似比等于相似比，故选项B正确；利用位似变换能放大图形，也能缩小图形，故C和D选项错误，
故选B．
11．（2020·辽宁盘锦·初三其他）如图，在平面直角坐标系中，以原点为位似中心，在第一象限内，按照位似比将放大得到，且点坐标为，点坐标为，则线段长为（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】D
【解析】∵点坐标为，点坐标为，
∴AB=1
∵按照位似比将放大得到，
∴
故CD=
故选D．
12．（2020·全国初三专题练习）如图，平面直角坐标系xOy中，点A、B的坐标分别为（9，0）、（6，﹣9），△AB'O'是△ABO关于点A的位似图形，且O'的坐标为（﹣3，0），则点B'的坐标为（ ）
A．（8，﹣12） B．（﹣8，12）
C．（8，﹣12）或（﹣8，12） D．（5，﹣12）
【答案】D
【解析】过点B作BC⊥OA于点C，过点B′作B′D⊥AO于点D，
∴BC、B′D分别是△ABO和△AB′O′的高，
∵A（9，0）、B（6，﹣9），O′（-3，0），
∴AO=9，AO′=12，BC=9，
∵△AB′O′是△ABO关于点A的位似图形，
∴＝，即＝，
解得：B′D＝12，
∴点B′的纵坐标为-12，
设直线AB的解析式为：y＝kx+b，
∴，
解得：，
∴直线AB的解析式为：y＝3x﹣27，
当y＝﹣12时，﹣12＝3x﹣27，
解得：x＝5，
故B′点坐标为：（5，﹣12），
故选D．
13．（2020·山东牡丹·初三二模）如图，△ABC中，A，B两个顶点在x轴上方，点C的坐标是(﹣1，0)，以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形，并把△ABC的边长放大到原来的2倍，得到△A'B'C'，设点B的对应点B'的横坐标为2，则点B的横坐标为( )
A．﹣1 B． C．﹣2 D．
【答案】D
【解析】过点B、B'分别作BD⊥x轴于D，B'E⊥x轴于E，
∴∠BDC=∠B'EC=90°．
∵△ABC的位似图形是△A'B'C'，
∴点B、C、B'在一条直线上，
∴∠BCD=∠B'CE，
∴△BCD∽△B'CE，
∴，
又∵，
∴，
又∵点B'的横坐标是2，点C的坐标是(﹣1，0)，
∴CE=3，
∴CD，
∴OD，
∴点B的横坐标为：．
故选：D．
14．（2020·山东招远·初二期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（―3，6）、B（―9，一3），以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，则点A的对应点A′的坐标是（ ）
A．（―1，2）
B．（―9，18）
C．（―9，18）或（9，―18）
D．（―1，2）或（1，―2）
【答案】D
【解析】方法一：∵△ABO和△A′B′O关于原点位似，∴△ ABO∽△A′B′O且＝ .∴＝＝.∴A′E＝AD＝2，OE＝OD＝1.∴A′（－1,2）.同理可得A′′（1,―2）.
方法二：∵点A（―3，6）且相似比为，∴点A的对应点A′的坐标是（―3×，6×），∴A′（－1,2）.
∵点A′′和点A′（－1,2）关于原点O对称，∴A′′（1,―2）.
故答案选D.
二、填空题（本题共4个小题；每个小题3分，共12分，把正确答案填在横线上）
15．（2020·银川市回民中学初三期中）△ABC与△DEF是位似图形，且△ABC与△DEF的位似比是1：3，已知△ABC的面积是2，则△DEF的面积是_______．
【答案】18
【解析】设所求三角形的面积为S，可以得到
解得：S＝18．
故答案为18．
16．（2020·福州·福建师范大学附属中学初中部初三月考）如图，已知矩形OABC与矩形ODEF是位似图形，P是位似中心，若点B的坐标为，点E的坐标为，则点P的坐标为______．
【答案】
【解析】解：∵四边形OABC是矩形，点B的坐标为（2，4）， ∴OC=AB=4，OA=2，
∴点C的坐标为：（0，4），
∵矩形OABC与矩形ODEF是位似图形，P是位似中心，点E的坐标为（-1，2），
∴位似比为：2， ∴OP：AP=OD：AB=1：2， 设OP=x，则， 解得：x=2，
∴OP=2， 即点P的坐标为：（-2，0）．
17．（2020·桂林·广西师大附属外国语学校初三月考）在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别是A(6，8)，B(7，0)，C(7，8)以原点O为位似中心，相似比为，把△ABC缩小，得到△A1B1C1，则点A的对应点A1的坐标为__________．
【答案】(3,4)或(-3,-4)
【解析】以点O为位似中心，相似比为，把△ABC缩小
∵点A的坐标为(6,8)
∴则点A的对应点A1的坐标为(6×,8×)或(-6×,-8×)
即(3,4)或(-3,-4)
故答案为：(3,4)或(-3,-4)
18．（2019·河南南阳·初三期中）如图,矩形的两边在坐标轴上,点为平面直角坐标系的原点,以轴上的某一点为位似中心,作位似图形,且点的坐标,则位似中心的坐标为__________．
【答案】
【解析】解：如图所示，连接BF交y轴于P，
∵四边形ABCD和四边形EFGO是矩形,点B,F的坐标分别为(−4,4),(2,1)，
∴点C的坐标为(0,4),点G的坐标为(0,1)，
∴CG=3，
∵BC∥GF，
∴△PGF∽△PCB，
∴GP：PC=GF：BC=1：2，
∴GP=1，PC=2，
∴OP=2，
∴点P的坐标为(0,2)，
即：位似中心的坐标为（0，2）.
故答案为（0，2）.
三、解答题（本题共8道题，19-21每题6分，22-25每题8分，26题10分，满分60分）
19．（2019·陕西定边·）如图，△ABC与△A´B´C´是位似图形，且相似比为.
（1）在图中画出位似中心；
（2）若，求的长.
【答案】（1）见解析；（2）8
【解析】解：（1）如解图，连接，交于点，则点即为位似中心；
（2）∵与是位似图形，且相似比为，，
∴
20．（2019·湖南靖州·初三期末）已知△ABC和△A′B′C′的顶点坐标如下表：
（1）将下表补充完整，并在下面的坐标系中，画出△A′B′C′；
（ ， ）
（ ， ）
（2）观察△ABC与△A′B′C′，写出有关这两个三角形关系的一个正确结论．
【答案】（1）详见解析；（2）相似
【解析】解：（1）B′（ 8，6 ），C′（ 10，2 ），
如图所示：△A′B′C′即为所求；
故答案为：8，6；10，2；
（2）根据表格和所画的图形可知，
，
∴.
21．（2019·全国初三课时练习）如图，在△ABC中，A，B两点在x轴的上方，点C的坐标是(－1，0)．以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形△A′B′C，并把△ABC的边长放大到原来的2倍．设点B的对应点B′的横坐标是2，求点B的横坐标．
【答案】点B的横坐标为－.
【解析】分别过点B，B′作BD⊥x轴于点D，B′E⊥x轴于点E，
∴∠BDC＝∠B′EC＝90°.
∵△ABC的位似图形是△A′B′C，
∴点B，C，B′在一条直线上，
∴∠BCD＝∠B′CE，∴△BCD∽△B′CE，
∴.
又∵，∴.
∵点B′的横坐标是2，点C的坐标是(－1，0)，
∴CE＝3，
∴CD＝ ，∴OD＝ ，
∴点B的横坐标为－.
22．（2020·河南焦作·初一月考）在下面的方格纸上画
（1）画出三角形绕点C顺时针旋转90度后的图形；
（2）画出圆向右平移5格后的图形；
（3）画出长方形按2:1放大后的图形．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析
【解析】（1）画出三角形绕C点顺时针旋转90°后的图形（图中三角形CEF）．
（2）画出圆向右平移5格后的图形（图中圆）．
（3）画出长方形按2：1放大后的图形（图中长方形PQMN）．
23．（2020·东北师大附中明珠学校初三其他）图①、图②、图③都是的网格，每个小正方形的顶点称为格点．顶点、、均在格点上，在图①、图②、图③给定网格中按要求作图，并保留作图痕迹．
（1）在图①中画出中边上的中线；
（2）在图②中确定一点，使得点在边上，且满足；
（3）在图③中画出，使得与是位似图形，且点为位似中心，点、分别在、边上，位似比为．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析
【解析】解：（1）如图①所示，AD即为所求；
（2）如图②所示，点E即为所求；
（3）如图③所示，△BMN即为所求．
24．（2020·四川大邑·初三期中）如图，方格纸中的每个小正方格都是边长为1的正方形，我们把以格点间连接为边的三角形称为“格点三角形”，图中的就是格点三角形，在建立平面直角坐标系后，O是坐标原点，B、C两点的坐标分别为(3，-1)、(2，1)
（1）以O点为位似中心在轴的左侧将△OBC放大两倍（即新图与原图的相似比为2），在该坐标系中画出图形；
（2）分别写出B、C两点的对应点B′、C′的坐标；
（3）如果△OBC内部一点M的坐标为（x，y），写出M的对应点M′的坐标．
【答案】（1）见解析；（2）B′(-6，2)，C′(- 4，- 2) ；（3）(- 2x， - 2y)
【解析】解：(1)
（2）由图知：B′(-6，2)，C′(- 4，- 2)
（3）根据位似中心找到M的对应点M′的纵横坐标分别是M纵横坐标的2倍，
即(- 2x， - 2y)
25．（2020·河北路南·初三期末）如图， 相交于点，连结．
(1)求证: ；
(2)直接回答与是不是位似图形?
(3)若，求的长．
【答案】（1）详见解析；（2）不是；（3）
【解析】(1)证明:∵，
∴；
(2)点A、D、P的对应点依次为点B、C、P，对应点的连线不相交于一点，故与不是位似图形；
(3)解:∵
∴
∵，
∴，
∴
∴．
26．（2020·银川市第十五中学初三一模）如图，在边长为1的正方形网中建立平面直角坐标系，已知三个顶点分别为（，2）、（2，1）、（4，5）．
（1）画出关于对称的；
（2）以原点为位似中心，在轴的上方画出，使与位似，且位似比为2，并求出的面积．
【答案】（1）见解析；（2）如图所示， 就是所求三角形，见解析；=28．
【解析】解：（1）分别找出A、B、C关于对称点，然后连接，如图所示， 就是所求三角形；
（2）连接OA并延长至，使=OA；连接OB并延长至，使=OB；连接OC并延长至，使=OC；连接，如图所示， 就是所求三角形
如图，用矩形将框住，
∵A(−1，2)，B(2，1)，C(4，5)， 与位似，且位似比为2，
∴A2(−2，4)，B2(4，2)，C2(8，10)，
∴=8×10−×6×2−×4×8−×6×10=28．
专题27.3 位似
一、选择题（本大题共14个小题，每题2分，共28分，在每个小题的四个选项中只有一项是符合题目要求的）
1．（2020·揭阳市榕城区仙桥实验学校初三期中）如图，以点O为位似中心，把△ABC放大为原图形的2倍得到△A'B'C'，以下说法中错误的是( )
A．△ABC∽△A'B'C' B．点C、点O、点C'三点在同一直线上 C．AO：AA'=1∶2 D．AB∥A'B'
2．（2020·深圳市宝安中学（集团）初三月考）如图，小“鱼”与大“鱼”是位似图形，已知小“鱼”上一个“顶点”的坐标为(a，b)，那么大“鱼”上对应“顶点”的坐标为(
A．(﹣a，﹣2b) B．(﹣2a，﹣b)
C．(﹣2a，﹣2b) D．(﹣b，﹣2a)
3．（2020·天津南开·初三期末）如图，以点为位似中心，把放大为原图形的2倍得到，下列说法中正确的是（
A． B．
C． D．
4．（2020·全国初三课时练习）平面直角坐标系中，有一条鱼，它有六个顶点，则
A．将各点横坐标乘以2，纵坐标不变，得到的鱼与原来的鱼位似
B．将各点纵坐标乘以2，横坐标不变，得到的鱼与原来的鱼位似
C．将各点横，纵坐标都乘以2，得到的鱼与原来的鱼位似
D．将各点横坐标乘以2，纵坐标乘以，得到的鱼与原来的鱼位似
5．（2020·辽宁大洼·初三二模）如图，正方形ABCD和正方形EFOG是位似图形，其中点A与点E对应，点A的坐标为（-4，2）点E的坐标为（-1，1），则这两个正方形位似中心的坐标为（ ）
A．(2，0) B．(1，1) C．（－2,0） D．（-1,0）
6．（2020·聊城市茌平区振兴街道中学初三月考）如图，在正方形网格上有相似三角形△A1B1C1和△A2B2C2，则△A1B1C1和△A2B2C2的面积比为（ ）21
A．2 B．0.5 C．4 D．0.25
7．（2020·重庆南开（融侨）中学校初二期末）如图，平面直角坐标系中，已知顶点，以原点为位似中心，将缩小后得到，若的面积为，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
8．（2020·河北永年·初二期末）在平面直角坐标系中，，，若把线段扩大倍得线段，若，则的坐标可以是（ ）
A． B． C． D．
9．（2020·重庆市荣昌区宝城初级中学初三其他）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（2，4），B（4，1），以原点O为位似中心，将△OAB扩大为原来的4倍，则点A的对应点的坐标是（ ）
A．（，1） B．（-，-1） C．（8，16）或（﹣16，﹣8） D．（8，16）或（﹣8，﹣16）
10．（2018·全国初三单元测试）下列语句正确的是（ ）
A．相似图形一定是位似图形，位似图形一定是相似图形
B．位似图形一定是相似图形，而且位似比等于相似比
C．利用位似变换只能放大图形，不能缩小图形
D．利用位似变换只能缩小图形，不能放大图形
11．（2020·辽宁盘锦·初三其他）如图，在平面直角坐标系中，以原点为位似中心，在第一象限内，按照位似比将放大得到，且点坐标为，点坐标为，则线段长为（ ）
A． B．2 C． D．
12．（2020·全国初三专题练习）如图，平面直角坐标系xOy中，点A、B的坐标分别为（9，0）、（6，﹣9），△AB'O'是△ABO关于点A的位似图形，且O'的坐标为（﹣3，0），则点B'的坐标为（ ）
A．（8，﹣12） B．（﹣8，12）
C．（8，﹣12）或（﹣8，12） D．（5，﹣12）
13．（2020·山东牡丹·初三二模）如图，△ABC中，A，B两个顶点在x轴上方，点C的坐标是(﹣1，0)，以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形，并把△ABC的边长放大到原来的2倍，得到△A'B'C'，设点B的对应点B'的横坐标为2，则点B的横坐标为( )
A．﹣1 B． C．﹣2 D．
14．（2020·山东招远·初二期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（―3，6）、B（―9，一3），以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，则点A的对应点A′的坐标是（ ）
A．（―1，2）
B．（―9，18）
C．（―9，18）或（9，―18）
D．（―1，2）或（1，―2）
二、填空题（本题共4个小题；每个小题3分，共12分，把正确答案填在横线上）
15．（2020·银川市回民中学初三期中）△ABC与△DEF是位似图形，且△ABC与△DEF的位似比是1：3，已知△ABC的面积是2，则△DEF的面积是_______．
16．（2020·福州·福建师范大学附属中学初中部初三月考）如图，已知矩形OABC与矩形ODEF是位似图形，P是位似中心，若点B的坐标为，点E的坐标为，则点P的坐标为______．
17．（2020·桂林·广西师大附属外国语学校初三月考）在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别是A(6，8)，B(7，0)，C(7，8)以原点O为位似中心，相似比为，把△ABC缩小，得到△A1B1C1，则点A的对应点A1的坐标为__________．
18．（2019·河南南阳·初三期中）如图,矩形的两边在坐标轴上,点为平面直角坐标系的原点,以轴上的某一点为位似中心,作位似图形,且点的坐标,则位似中心的坐标为__________．21m
三、解答题（本题共8道题，19-21每题6分，22-25每题8分，26题10分，满分60分）
19．（2019·陕西定边·）如图，△ABC与△A´B´C´是位似图形，且相似比为.
（1）在图中画出位似中心；
（2）若，求的长.
20．（2019·湖南靖州·初三期末）已知△ABC和△A′B′C′的顶点坐标如下表：
（1）将下表补充完整，并在下面的坐标系中，画出△A′B′C′；
（ ， ）
（ ， ）
（2）观察△ABC与△A′B′C′，写出有关这两个三角形关系的一个正确结论．
21．（2019·全国初三课时练习）如图，在△ABC中，A，B两点在x轴的上方，点C的坐标是(－1，0)．以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形△A′B′C，并把△ABC的边长放大到原来的2倍．设点B的对应点B′的横坐标是2，求点B的横坐标．
22．（2020·河南焦作·初一月考）在下面的方格纸上画
（1）画出三角形绕点C顺时针旋转90度后的图形；
（2）画出圆向右平移5格后的图形；
（3）画出长方形按2:1放大后的图形．
23．（2020·东北师大附中明珠学校初三其他）图①、图②、图③都是的网格，每个小正方形的顶点称为格点．顶点、、均在格点上，在图①、图②、图③给定网格中按要求作图，并保留作图痕迹．
（1）在图①中画出中边上的中线；
（2）在图②中确定一点，使得点在边上，且满足；
（3）在图③中画出，使得与是位似图形，且点为位似中心，点、分别在、边上，位似比为．
24．（2020·四川大邑·初三期中）如图，方格纸中的每个小正方格都是边长为1的正方形，我们把以格点间连接为边的三角形称为“格点三角形”，图中的就是格点三角形，在建立平面直角坐标系后，O是坐标原点，B、C两点的坐标分别为(3，-1)、(2，1)
（1）以O点为位似中心在轴的左侧将△OBC放大两倍（即新图与原图的相似比为2），在该坐标系中画出图形；
（2）分别写出B、C两点的对应点B′、C′的坐标；
（3）如果△OBC内部一点M的坐标为（x，y），写出M的对应点M′的坐标．
25．（2020·河北路南·初三期末）如图， 相交于点，连结．
(1)求证: ；
(2)直接回答与是不是位似图形?
(3)若，求的长．
26．（2020·银川市第十五中学初三一模）如图，在边长为1的正方形网中建立平面直角坐标系，已知三个顶点分别为（，2）、（2，1）、（4，5）．
（1）画出关于对称的；
（2）以原点为位似中心，在轴的上方画出，使与位似，且位似比为2，并求出的面积．
专题27.3 位似
一、选择题（本大题共14个小题，每题2分，共28分，在每个小题的四个选项中只有一项是符合题目要求的）.版权所有
1．（2020·揭阳市榕城区仙桥实验学校初三期中）如图，以点O为位似中心，把△ABC放大为原图形的2倍得到△A'B'C'，以下说法中错误的是( )
A．△ABC∽△A'B'C' B．点C、点O、点C'三点在同一直线上 C．AO：AA'=1∶2 D．AB∥A'B'
【答案】C
【解析】解：∵以点O为位似中心，把△ABC放大为原图形的2倍得到△A'B'C'，
∴ △ABC∽△A'B'C' ，点O、C、C'共线，AO：OA'=BO：OB '=1:2，
∴AB∥A'B'，AO：OA'=1:3．
∴A、B、D正确，C错误．
故答案为：C．
2．（2020·深圳市宝安中学（集团）初三月考）如图，小“鱼”与大“鱼”是位似图形，已知小“鱼”上一个“顶点”的坐标为(a，b)，那么大“鱼”上对应“顶点”的坐标为( )
A．(﹣a，﹣2b) B．(﹣2a，﹣b)
C．(﹣2a，﹣2b) D．(﹣b，﹣2a)
【答案】C
【解析】根据位似图形的性质可得（a，b）的对应顶点为（－2a，－2b）.
3．（2020·天津南开·初三期末）如图，以点为位似中心，把放大为原图形的2倍得到，下列说法中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】解：∵以点O为位似中心，把△ABC放大为原图形的2倍得到△A′B′C′，
∴△ABC∽△A′B′C′，点C、点O、点C′三点在同一直线上，AB∥A′B′，
AO：OA′=1：2，
∴
故选C．
4．（2020·全国初三课时练习）平面直角坐标系中，有一条鱼，它有六个顶点，则
A．将各点横坐标乘以2，纵坐标不变，得到的鱼与原来的鱼位似
B．将各点纵坐标乘以2，横坐标不变，得到的鱼与原来的鱼位似
C．将各点横，纵坐标都乘以2，得到的鱼与原来的鱼位似
D．将各点横坐标乘以2，纵坐标乘以，得到的鱼与原来的鱼位似
【答案】C
【解析】解：平面直角坐标系中图形的各个顶点，如果横纵坐标同时乘以同一个非0的实数k，得到的图形与原图形关于原点成位似图形，位似比是|k|．若乘的不是同一个数，得到的图形一定不会与原图形关于原点对称．故选C．
5．（2020·辽宁大洼·初三二模）如图，正方形ABCD和正方形EFOG是位似图形，其中点A与点E对应，点A的坐标为（-4，2）点E的坐标为（-1，1），则这两个正方形位似中心的坐标为（ ）
A．(2，0) B．(1，1) C．（－2,0） D．（-1,0）
【答案】A
【解析】解：如图，连接AE、DG并延长交x轴与N点，
设直线解析式为，将，代入， 得，
解得，
即，
令得，
坐标是；
故选：A．
6．（2020·聊城市茌平区振兴街道中学初三月考）如图，在正方形网格上有相似三角形△A1B1C1和△A2B2C2，则△A1B1C1和△A2B2C2的面积比为（ ）
A．2 B．0.5 C．4 D．0.25
【答案】C
【解析】解：，
故选C．
7．（2020·重庆南开（融侨）中学校初二期末）如图，平面直角坐标系中，已知顶点，以原点为位似中心，将缩小后得到，若的面积为，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】解：由题意得：
顶点，以原点为位似中心，将缩小后得到，点，
，，
，
又的面积为，
；
故选D．
8．（2020·河北永年·初二期末）在平面直角坐标系中，，，若把线段扩大倍得线段，若，则的坐标可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】解：把线段AB扩大2倍得线段，
点A的坐标为（1，2），点A的对应点的坐标为（2，4），
∴位似中心为坐标原点O，
∵点B的坐标为（4，6），
∴点B的对应点的坐标可以是（4×2，6×2），即（8，12），
故选：C．
9．（2020·重庆市荣昌区宝城初级中学初三其他）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（2，4），B（4，1），以原点O为位似中心，将△OAB扩大为原来的4倍，则点A的对应点的坐标是（ ）
A．（，1） B．（-，-1） C．（8，16）或（﹣16，﹣8） D．（8，16）或（﹣8，﹣16）
【答案】D
【解析】∵以原点O为位似中心，将△OAB放大为原来的4倍，得到△OA'B'，A（2，4），
∴点A的对应点A′的坐标是：（，）或，
即（，）或（，）．
故选：D．
10．（2018·全国初三单元测试）下列语句正确的是（ ）
A．相似图形一定是位似图形，位似图形一定是相似图形
B．位似图形一定是相似图形，而且位似比等于相似比
C．利用位似变换只能放大图形，不能缩小图形
D．利用位似变换只能缩小图形，不能放大图形
【答案】B
【解析】相似图形对应点的连线不一定都经过同一点，所以不一定是位似图形，故选项A错误；位似图形一定是相似图形，而且位似比等于相似比，故选项B正确；利用位似变换能放大图形，也能缩小图形，故C和D选项错误，
故选B．
11．（2020·辽宁盘锦·初三其他）如图，在平面直角坐标系中，以原点为位似中心，在第一象限内，按照位似比将放大得到，且点坐标为，点坐标为，则线段长为（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】D
【解析】∵点坐标为，点坐标为，
∴AB=1
∵按照位似比将放大得到，
∴
故CD=
故选D．
12．（2020·全国初三专题练习）如图，平面直角坐标系xOy中，点A、B的坐标分别为（9，0）、（6，﹣9），△AB'O'是△ABO关于点A的位似图形，且O'的坐标为（﹣3，0），则点B'的坐标为（ ）
A．（8，﹣12） B．（﹣8，12）
C．（8，﹣12）或（﹣8，12） D．（5，﹣12）
【答案】D
【解析】过点B作BC⊥OA于点C，过点B′作B′D⊥AO于点D，
∴BC、B′D分别是△ABO和△AB′O′的高，
∵A（9，0）、B（6，﹣9），O′（-3，0），
∴AO=9，AO′=12，BC=9，
∵△AB′O′是△ABO关于点A的位似图形，
∴＝，即＝，
解得：B′D＝12，
∴点B′的纵坐标为-12，
设直线AB的解析式为：y＝kx+b，
∴，
解得：，
∴直线AB的解析式为：y＝3x﹣27，
当y＝﹣12时，﹣12＝3x﹣27，
解得：x＝5，
故B′点坐标为：（5，﹣12），
故选D．
13．（2020·山东牡丹·初三二模）如图，△ABC中，A，B两个顶点在x轴上方，点C的坐标是(﹣1，0)，以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形，并把△ABC的边长放大到原来的2倍，得到△A'B'C'，设点B的对应点B'的横坐标为2，则点B的横坐标为( )
A．﹣1 B． C．﹣2 D．
【答案】D
【解析】过点B、B'分别作BD⊥x轴于D，B'E⊥x轴于E，
∴∠BDC=∠B'EC=90°．
∵△ABC的位似图形是△A'B'C'，
∴点B、C、B'在一条直线上，
∴∠BCD=∠B'CE，
∴△BCD∽△B'CE，
∴，
又∵，
∴，
又∵点B'的横坐标是2，点C的坐标是(﹣1，0)，
∴CE=3，
∴CD，
∴OD，
∴点B的横坐标为：．
故选：D．
14．（2020·山东招远·初二期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（―3，6）、B（―9，一3），以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，则点A的对应点A′的坐标是（ ）
A．（―1，2）
B．（―9，18）
C．（―9，18）或（9，―18）
D．（―1，2）或（1，―2）
【答案】D
【解析】方法一：∵△ABO和△A′B′O关于原点位似，∴△ ABO∽△A′B′O且＝ .∴＝＝.∴A′E＝AD＝2，OE＝OD＝1.∴A′（－1,2）.同理可得A′′（1,―2）.
方法二：∵点A（―3，6）且相似比为，∴点A的对应点A′的坐标是（―3×，6×），∴A′（－1,2）.
∵点A′′和点A′（－1,2）关于原点O对称，∴A′′（1,―2）.
故答案选D.
二、填空题（本题共4个小题；每个小题3分，共12分，把正确答案填在横线上）
15．（2020·银川市回民中学初三期中）△ABC与△DEF是位似图形，且△ABC与△DEF的位似比是1：3，已知△ABC的面积是2，则△DEF的面积是_______．
【答案】18
【解析】设所求三角形的面积为S，可以得到
解得：S＝18．
故答案为18．
16．（2020·福州·福建师范大学附属中学初中部初三月考）如图，已知矩形OABC与矩形ODEF是位似图形，P是位似中心，若点B的坐标为，点E的坐标为，则点P的坐标为______．
【答案】
【解析】解：∵四边形OABC是矩形，点B的坐标为（2，4）， ∴OC=AB=4，OA=2，
∴点C的坐标为：（0，4），
∵矩形OABC与矩形ODEF是位似图形，P是位似中心，点E的坐标为（-1，2），
∴位似比为：2， ∴OP：AP=OD：AB=1：2， 设OP=x，则， 解得：x=2，
∴OP=2， 即点P的坐标为：（-2，0）．
17．（2020·桂林·广西师大附属外国语学校初三月考）在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别是A(6，8)，B(7，0)，C(7，8)以原点O为位似中心，相似比为，把△ABC缩小，得到△A1B1C1，则点A的对应点A1的坐标为__________．
【答案】(3,4)或(-3,-4)
【解析】以点O为位似中心，相似比为，把△ABC缩小
∵点A的坐标为(6,8)
∴则点A的对应点A1的坐标为(6×,8×)或(-6×,-8×)
即(3,4)或(-3,-4)
故答案为：(3,4)或(-3,-4)
18．（2019·河南南阳·初三期中）如图,矩形的两边在坐标轴上,点为平面直角坐标系的原点,以轴上的某一点为位似中心,作位似图形,且点的坐标,则位似中心的坐标为__________．
【答案】
【解析】解：如图所示，连接BF交y轴于P，
∵四边形ABCD和四边形EFGO是矩形,点B,F的坐标分别为(−4,4),(2,1)，
∴点C的坐标为(0,4),点G的坐标为(0,1)，
∴CG=3，
∵BC∥GF，
∴△PGF∽△PCB，
∴GP：PC=GF：BC=1：2，
∴GP=1，PC=2，
∴OP=2，
∴点P的坐标为(0,2)，
即：位似中心的坐标为（0，2）.
故答案为（0，2）.
三、解答题（本题共8道题，19-21每题6分，22-25每题8分，26题10分，满分60分）
19．（2019·陕西定边·）如图，△ABC与△A´B´C´是位似图形，且相似比为.
（1）在图中画出位似中心；
（2）若，求的长.
【答案】（1）见解析；（2）8
【解析】解：（1）如解图，连接，交于点，则点即为位似中心；
（2）∵与是位似图形，且相似比为，，
∴
20．（2019·湖南靖州·初三期末）已知△ABC和△A′B′C′的顶点坐标如下表：
（1）将下表补充完整，并在下面的坐标系中，画出△A′B′C′；
（ ， ）
（ ， ）
（2）观察△ABC与△A′B′C′，写出有关这两个三角形关系的一个正确结论．
【答案】（1）详见解析；（2）相似
【解析】解：（1）B′（ 8，6 ），C′（ 10，2 ），
如图所示：△A′B′C′即为所求；
故答案为：8，6；10，2；
（2）根据表格和所画的图形可知，
，
∴.
21．（2019·全国初三课时练习）如图，在△ABC中，A，B两点在x轴的上方，点C的坐标是(－1，0)．以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形△A′B′C，并把△ABC的边长放大到原来的2倍．设点B的对应点B′的横坐标是2，求点B的横坐标．
【答案】点B的横坐标为－.
【解析】分别过点B，B′作BD⊥x轴于点D，B′E⊥x轴于点E，
∴∠BDC＝∠B′EC＝90°.
∵△ABC的位似图形是△A′B′C，
∴点B，C，B′在一条直线上，
∴∠BCD＝∠B′CE，∴△BCD∽△B′CE，
∴.
又∵，∴.
∵点B′的横坐标是2，点C的坐标是(－1，0)，
∴CE＝3，
∴CD＝ ，∴OD＝ ，
∴点B的横坐标为－.
22．（2020·河南焦作·初一月考）在下面的方格纸上画
（1）画出三角形绕点C顺时针旋转90度后的图形；
（2）画出圆向右平移5格后的图形；
（3）画出长方形按2:1放大后的图形．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析
【解析】（1）画出三角形绕C点顺时针旋转90°后的图形（图中三角形CEF）．
（2）画出圆向右平移5格后的图形（图中圆）．
（3）画出长方形按2：1放大后的图形（图中长方形PQMN）．
23．（2020·东北师大附中明珠学校初三其他）图①、图②、图③都是的网格，每个小正方形的顶点称为格点．顶点、、均在格点上，在图①、图②、图③给定网格中按要求作图，并保留作图痕迹．
（1）在图①中画出中边上的中线；
（2）在图②中确定一点，使得点在边上，且满足；
（3）在图③中画出，使得与是位似图形，且点为位似中心，点、分别在、边上，位似比为．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析
【解析】解：（1）如图①所示，AD即为所求；
（2）如图②所示，点E即为所求；
（3）如图③所示，△BMN即为所求．
24．（2020·四川大邑·初三期中）如图，方格纸中的每个小正方格都是边长为1的正方形，我们把以格点间连接为边的三角形称为“格点三角形”，图中的就是格点三角形，在建立平面直角坐标系后，O是坐标原点，B、C两点的坐标分别为(3，-1)、(2，1)
（1）以O点为位似中心在轴的左侧将△OBC放大两倍（即新图与原图的相似比为2），在该坐标系中画出图形；
（2）分别写出B、C两点的对应点B′、C′的坐标；
（3）如果△OBC内部一点M的坐标为（x，y），写出M的对应点M′的坐标．
【答案】（1）见解析；（2）B′(-6，2)，C′(- 4，- 2) ；（3）(- 2x， - 2y)
【解析】解：(1)
（2）由图知：B′(-6，2)，C′(- 4，- 2)
（3）根据位似中心找到M的对应点M′的纵横坐标分别是M纵横坐标的2倍，
即(- 2x， - 2y)
25．（2020·河北路南·初三期末）如图， 相交于点，连结．
(1)求证: ；
(2)直接回答与是不是位似图形?
(3)若，求的长．
【答案】（1）详见解析；（2）不是；（3）
【解析】(1)证明:∵，
∴；
(2)点A、D、P的对应点依次为点B、C、P，对应点的连线不相交于一点，故与不是位似图形；
(3)解:∵
∴
∵，
∴，
∴
∴．
26．（2020·银川市第十五中学初三一模）如图，在边长为1的正方形网中建立平面直角坐标系，已知三个顶点分别为（，2）、（2，1）、（4，5）．
（1）画出关于对称的；
（2）以原点为位似中心，在轴的上方画出，使与位似，且位似比为2，并求出的面积．
【答案】（1）见解析；（2）如图所示， 就是所求三角形，见解析；=28．
【解析】解：（1）分别找出A、B、C关于对称点，然后连接，如图所示， 就是所求三角形；
（2）连接OA并延长至，使=OA；连接OB并延长至，使=OB；连接OC并延长至，使=OC；连接，如图所示， 就是所求三角形
如图，用矩形将框住，
∵A(−1，2)，B(2，1)，C(4，5)， 与位似，且位似比为2，
∴A2(−2，4)，B2(4，2)，C2(8，10)，
∴=8×10−×6×2−×4×8−×6×10=28．
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