专题强化练6　导数与函数的单调性-2022版数学选择性必修第二册 北师大版（2019） 同步练习 （Word含解析）

专题强化练6　导数与函数的单调性

一、选择题

1.(2021甘肃兰州一中高二下月考,)函数f(x)=xln x,a=f(2),b=f ,c=f ,则a,b,c的大小关系是              (　　)

A.b<c<a  B.c<b<a  C.c<a<b D.a<c<b

2.(2021陕西西安一中高二上月考,)若函数f(x)=kx-ln x在区间(1,+∞)上为增函数,则实数k的取值范围是              (　易错　)

A. B.  C.[1,+∞) D.(-∞,1]

3.()已知y=(1-x)f'(x)的图象如图所示,其中f'(x)是函数f(x)的导数,则函数y=f(x)的图象可能是　              (　　)

A

B

C

D

4. (多选)(2021湖北应城一中高二上期末,)已知函数f(x)=xcos x,x∈R,则下

列说法正确的有 (　　)

A.f(x)是奇函数

B.f(x)是周期函数

C.曲线y=f(x)在点(π,f(π))处的切线方程为x+y=0

D.f(x)在区间上单调递增

5.(2020天津六校高三上期末联考,)设函数f(x)在R上可导,∀x∈R,都有f(x)+f(-x)=x2成立,且f(2)=2,∀x∈(0,+∞),都有f'(x)>x成立,则 >的解集为              (　　)

A.(-2,0)∪(0,2)  B.(-∞,-2)∪(2,+∞)

C.(-2,0)∪(2,+∞) D.(-∞,-2)∪(0,2)

6.(多选)(2021湖北部分重点中学高二下联考,)已知定义在上的函数f(x)的导函数是f'(x),且f'(x)<-tan x·f(x)恒成立,则              (　　)

A.f >f  B.f >f

C.f >f  D.f >f

二、填空题

7.(2021湖南常德二中高二上联考,)已知函数f(x)=-x2+4x-3ln x在[t,t+1](t>1)上不单调,则t的取值范围是　　　　.深度解析 

8.(2021吉林白山高三联考,)已知函数f(x)=则关于x的不等式f(x+3)+f(x)+15>0的解集为　　　　. 

三、解答题

9.(2021黑龙江哈尔滨九中高二下月考,)已知函数f(x)=x+-m(m∈R).

(1)当m=1时,求f(x)的单调区间;

(2)讨论f(x)的单调性.

10.(2020山东德州高三上期末,)已知函数f(x)=ln x+ax2-(a+2)x+2(a为常数).

(1)若函数y=f(x)的图象在(1,f(1))处的切线与直线x+3y=0垂直,求a的值;

(2)若a>0,讨论函数f(x)的单调性;

(3)若a为正整数,且函数f(x)恰有两个零点,求a的值.

答案全解全析

专题强化练6　导数与函数的单调性

一、选择题

1.B　易知f(x)=xln x的定义域为(0,+∞),f'(x)=1+ln x,

由f'(x)=1+ln x>0可得x>,

由f'(x)=1+ln x<0可得0<x<,

所以f(x)=xln x在0,上单调递减,在,+∞上单调递增,因为0<<<,所以f>f,即b>c,因为f =ln<0,f(2)=2ln 2>0,所以f(2)>f,即a>b,所以c<b<a.故选B.

2.C　∵f(x)=kx-ln x,∴f'(x)=k-.

∵函数f(x)=kx-ln x在区间(1,+∞)上为增函数,∴f'(x)≥0(不恒等于0)在区间(1,+∞)上恒成立,∴k≥在区间(1,+∞)上恒成立,∵y=在区间(1,+∞)上单调递减,∴0<<1,∴k≥1,

∴k的取值范围是[1,+∞).故选C.

易错警示

已知函数f(x)是增函数(减函数),求函数解析式中参数的取值范围时,需注意令f'(x)≥0(f'(x)≤0),再通过解不等式求出参数的取值范围,然后检验参数取端点值时f'(x)是否恒等于0,若f'(x)恒等于0,则应舍去这个参数的值;若f'(x)不恒等于0,则符合题意.

3.B　由题中图象可得,当x>3时, f'(x)<0,函数f(x)单调递减;

当1<x<3时,f'(x)>0,函数f(x)单调递增;当-1<x<1时,f'(x)>0,函数f(x)单调递增;

当x<-1时,f'(x)<0,函数f(x)单调递减,满足条件的只有选项B.故选B.

4.AC　因为函数的定义域是R,f(-x)=-x·cos(-x)=-xcos x=-f(x),所以f(x)是奇函数,所以A正确;易知不存在非零常数T,使得f(x+T)=f(x),故f(x)不是周期函数,所以B错误;易知f'(x)=cos x+x(-sin x)=cos x-xsin x,f'(π)=-1,f(π)=-π,故曲线y=f(x)在点(π,f(π))处的切线方程为y+π=-(x-π),即x+y=0,所以C正确;当x∈,π时,-1<cos x<0,xsin x>0,故f'(x)=cos x-xsin x<0,故f(x)在区间,π上单调递减,所以D错误.故选AC.

5.C　令g(x)=f(x)-x2,

则g'(x)=f'(x)-x.

∵g(-x)+g(x)=f(-x)-(-x)2+f(x)-x2=0,g(x)的定义域为R,∴函数g(x)为奇函数.

∵当x∈(0,+∞)时,g'(x)>0恒成立,

∴函数g(x)在(0,+∞)上是增函数,

∴函数g(x)在(-∞,0)上也是增函数.

∵>,∴f(x)-x2>0,即g(x)>0.

∵f(2)=2, ∴g(2)=f(2)-×22=0,

∴g(-2)=-g(2)=0,

∴当x∈(2,+∞)或x∈(-2,0)时,g(x)>0,

∴>的解集为(-2,0)∪(2,+∞),故选C.

6.CD　由f'(x)<-tan x·f(x),得f'(x)<-·f(x),即sin x·f(x)+cos x·f'(x)<0.

构造函数F(x)=,

则F'(x)=<0,

所以F(x)在上递减,

因为0<<<<,所以F>F>F,即 >>,即 >>f,

所以f>f,f>f.故选CD.

二、填空题

7.答案　(2,3)

解析　∵函数f(x)=-x2+4x-3ln x,

∴f'(x)=-x+4-=-,

∵函数f(x)在[t,t+1](t>1)上不单调,

∴f'(x)=0在[t,t+1](t>1)上有解,

∴=0在[t,t+1](t>1)上有解,

令g(x)=x2-4x+3,

∴g(x)=0在[t,t+1](t>1)上有解,

令g(x)=0,得x=1或x=3,

∵t>1,∴t<3<t+1,

解得2<t<3.

方法技巧

对于由可导函数在某区间上不单调求参数的取值范围问题,常见求解策略有2种:

(1)先求出函数在某区间上单调时参数的取值范围,再对结果取补集,即得函数在某区间上不单调时参数的取值范围.

(2)将问题转化为导数等于0的方程在该区间上有实数解.

8.答案　(-4,+∞)

解析　当x≥0时,f'(x)=ex+e-x-2cos x≥2-2cos x≥0,当且仅当ex=e-x,即x=0时取等号,所以x≥0时,f(x)递增.

当x<0时,f(x)=(1-x)(1+x)=1-x2递增.因为f(0)=e0-e0-2sin 0+1=1,(1-0)×(1+0)=1,所以f(x)在R上单调递增,

令g(x)=f(x+3)+f(x)+15,则g(x)在R上单调递增.又g(-4)=f(-1)+f(-4)+15=0,所以f(x+3)+f(x)+15>0的解集为(-4,+∞).

三、解答题

9.解析　(1)由题意得函数f(x)的定义域为(0,+∞).

当m=1时,f(x)=x+-=x-ln x,则f'(x)=1-=.

当x∈(0,1)时,f'(x)=<0,函数f(x)单调递减;

当x∈(1,+∞)时,f'(x)=>0,函数f(x)单调递增.

所以函数f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增.

(2)f'(x)=1-+-=1+-==.

①当m-1≤0,即m≤1时,>0,

由f'(x)>0,得x>1,由f'(x)<0,得0<x<1,

所以当m≤1时,函数f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增;

②当0<m-1<1,即1<m<2时,

由f'(x)>0,得x>1或0<x<m-1,由f'(x)<0,得m-1<x<1,

所以当1<m<2时,f(x)在(0,m-1)和(1,+∞)上单调递增,在(m-1,1)上单调递减;

③当m-1=1,即m=2时,f'(x)=≥0,所以当m=2时,f(x)在(0,+∞)上单调递增;

④当m-1>1,即m>2时,

由f'(x)>0,得x>m-1或0<x<1,由f'(x)<0,得1<x<m-1,

所以当m>2时,f(x)在(0,1)和(m-1,+∞)上单调递增,在(1,m-1)上单调递减.

综上可知,当m≤1时,函数f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增;

当1<m<2时,函数f(x)在(0,m-1)和(1,+∞)上单调递增,在(m-1,1)上单调递减;

当m=2时,函数f(x)在(0,+∞)上单调递增;

当m>2时,f(x)在(0,1)和(m-1,+∞)上单调递增,在(1,m-1)上单调递减.

10.解析　(1)由题意知x>0,f'(x)=+2ax-(a+2)=,则f'(1)=a-1,

由于函数y=f(x)的图象在(1,f(1))处的切线与直线x+3y=0垂直,

所以f'(1)·=-1,

所以f'(1)=a-1=3,解得a=4.

(2)因为a>0,所以>0.

①若0<a<2,则>,

当0<x<或x>时,f'(x)>0,

当<x<时,f'(x)<0,

所以f(x)在和上单调递增,在上单调递减.

②若a=2,则=,∀x>0,f'(x)≥0(不恒为0)恒成立,则f(x)在(0,+∞)上单调递增.

③若a>2,则<,

当0<x<或x>时,f'(x)>0,

当<x<时,f'(x)<0,

所以f(x)在和上单调递增,在上单调递减.

综上,当0<a<2时,f(x)在和上单调递增,在上单调递减;当a=2时,f(x)在(0,+∞)上单调递增;当a>2时,f(x)在和上单调递增,在上单调递减.

(3)若0<a<2,a为正整数,则a=1,则f(x)=ln x+x2-3x+2,

由(2)知f(x)在和(1,+∞)上单调递增,在上单调递减,

又f(1)=0,所以函数f(x)在区间内仅有一个零点,f>f(1)=0,

又f(e-2)=e-4-3e-2=e-2(e-2-3)<0,所以函数f(x)在区间内仅有一个零点.

此时函数f(x)在区间(0,+∞)内恰有两个零点.

若a=2,则f(x)在(0,+∞)上单调递增,至多有一个零点.

若a>2,则f =ln+a-(a+2)·+2=ln-+1,

令t=,则0<t<,y=ln t-t+1,y'=-1>0,所以y<ln-+1=-ln 2<0.

由(2)知f(x)在上单调递减,在和上单调递增,

所以f<f<0,所以函数f(x)在(0,+∞)上至多有一个零点.

综上,a=1.