专题强化练5 导数运算法则的简单应用-2022版数学选择性必修第二册 北师大版（2019） 同步练习 （Word含解析）

专题强化练5　导数运算法则的简单应用

一、选择题

1.(2021福建福州高二上期末,)下列求导运算正确的是 (　　)

A.(sin x+cos x)'=cos x+sin x   B.(xln x)'=

C.(e3x)'=e3x        D.=

2.(2021安徽宿州十三所省重点中学高二上期末,)曲线y=x+在点(1,3)处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为              (　　)

A.4 B.2 C.16 D.8

3.(2021全国百强名校“领军考试”高二下联考,)已知f(x)的导函数为f'(x),若g(x)=f(ln x)且f'(1)=2,则g'(e)=              (　　)

A.2 B.ln 2 C. D.

4.(2021山东潍坊高三上期中,)随着科学技术的发展,放射性同位素技术已经广泛应用于医学、航天等众多领域,并取得了显著经济效益.假设某放射性同位素的衰变过程中,其含量P(单位:贝克)与时间t(单位:天)满足函数关系P(t)=P0,其中P0为初始时该放射性同位素的含量.已知t=15时,该放射性同位素的瞬时变化率为-,则该放射性同位素含量为4.5贝克时衰变所需时间为              (　　)

A.20天 B.30天 C.45天 D.60天

5.(2021山东德州高三一模,)英国著名物理学家牛顿用“作切线”的方法求函数零点时,给出的“牛顿数列”在航空航天中应用广泛,若数列{xn}满足xn+1=xn-,则称数列{xn}为牛顿数列.已知函数f(x)=x2-x-2,数列{xn}为牛顿数列,设an=ln 且a1=1,xn>2,数列{an}的前n项和为Sn,则S2 021=              (　　)

A.22 021-1 B.22 021-2  C.- D.-2

6.(多选)(2020山东淄博高二下期末,)经济学中经常用弹性函数研究函数的相对变化率和相对改变量.一般地,如果函数y=f(x)存在导函数f'(x),那么称==f'(x)·为函数f(x)的弹性函数,则下列说法正确的是              (　　)

A.函数f(x)=C(C为常数)的弹性函数是=0

B.函数f(x)=cos x的弹性函数是=-xtan x

C.=+

D.=-

二、填空题

7.(2021山东临沂高二上期末,)已知函数f(x)为偶函数,当x>0时,f(x)=ln x+1+ex-1,则曲线y=f(x)在x=-1处的切线方程为　　　　　　. 

8.(2020广东清远高三上期末,)对于三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a,b,c,d∈R,a≠0)有如下定义:设f'(x)是函数f(x)的导函数,f″(x)是函数f'(x)的导函数,若方程f″(x)=0有实数解m,则称点(m,f(m))为函数f(x)的“拐点”.若点(1,-3)是函数g(x)=x3-ax2+bx-5(a,b∈R)的“拐点”,也是函数g(x)图象上的点,则函数h(x)=asin x+bcos2x的最大值是　　　　. 

三、解答题

9.(2021黑龙江哈尔滨九中高二下月考,)已知函数f(x)=ax2-xln x(a∈R)的图象在x=1处的切线与直线x+y=0垂直.

(1)求实数a的值;

(2)若直线y=kx-2与函数f(x)的图象相切,求k的值.

10.(2021山西名校联盟高二上期末联考,)已知函数f(x)=ln x+1.

(1)已知直线l:x-y+2=0,求曲线y=f(x)上的点到直线l的最短距离;

(2)若曲线y=g(x)=x2-(a+1)x+f(x)(0<x<3)上存在两个不同的点,使得其在这两点处的切线都与x轴平行,求实数a的取值范围.

11.(2021浙江宁波镇海中学高二上期末,)已知函数f(x)=ex-a,g(x)=ln x-b.

(1)当a=1时,求曲线y=f(x)在点(1,1)处的切线方程;

(2)若a=b+2,是否存在直线与曲线y=f(x)和y=g(x)都相切?若存在,求出所有这样的直线;若不存在,请说明理由.

答案全解全析

专题强化练5　导数运算法则的简单应用

一、选择题

1.D　(sin x+cos x)'=(sin x)'+(cos x)'=cos x-sin x,A错误;(xln x)'=x'ln x+x(ln x)'=ln x+1,B错误;(e3x)'=3e3x,C错误;==,D正确.故选D.

2.D　由y=x+,得y'=1-,则当x=1时,y'=1-2=-1,

所以曲线y=x+在点(1,3)处的切线方程为y-3=-(x-1),即x+y-4=0,

所以切线与两坐标轴的交点分别为(0,4)、(4,0),所以切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为×4×4=8.故选D.

3.D　由g(x)=f(ln x),可得g'(x)=f'(ln x)·,又f'(1)=2,所以g'(e)=f'(1)·=.故选D.

4.答案　D

信息提取　①某放射性同位素的含量P(单位:贝克)与时间t(单位:天)满足函数关系P(t)=P0;②P'(15)=-;③由P(t)=4.5求t.

数学建模　本题以化学中的放射性同位素的衰变为背景,构建函数模型,将放射性同位素的瞬时变化率转化为导数来求解.

解析　由P(t)=P0得P'(t)=-·P0·ln 2,因为t=15时,该放射性同位素的瞬时变化率为-,所以P'(15)=-P0=-,解得P0=18,则P(t)=18·,令P(t)=4.5,得18·=4.5,即=,所以-=-2,解得t=60.故选D.

5.A　由题意得f'(x)=2x-1,则xn+1=xn-=,

所以==,

两边同时取自然对数可得ln =2ln ,即an+1=2an,又a1=1,

所以数列{an}是以1为首项,2为公比的等比数列,

所以S2 021==22 021-1.故选A.

6.ABD　对于A,=0·=0,故A正确;

对于B,=(-sin x)·=-xtan x,故B正确;

对于C,=(f1(x)+f2(x))'·=f1'(x)·+f2'(x)·,

而+=f1'(x)·+f2'(x)·,二者不相等,故C错误;

对于D,=·=·=·x=f1'(x)·-f2'(x)·=-,故D正确.故选ABD.

二、填空题

7.答案　2x+y=0

解析　设x<0,则-x>0,所以f(-x)=ln(-x)+1+e-x-1,因为函数f(x)为偶函数,所以f(x)=f(-x)=ln(-x)+1+e-x-1(x<0),所以f'(x)=-e-x-1(x<0),所以f(-1)=1+e1-1=2,f'(-1)=-1-e1-1=-2,所以曲线y=f(x)在x=-1处的切线方程为y-2=-2(x+1),即2x+y=0.

8.答案　

解析　由题可得,g'(x)=3x2-2ax+b,g″(x)=6x-2a,因为点(1,-3)是g(x)的拐点,所以g″(1)=0,解得a=3,由g(1)=-3,得b=4,

所以h(x)=sin x+2cos2x=sin x-2sin2x+2,令sin x=t,则t∈[-1,1],

即求y=-2t2+t+2在t∈[-1,1]时的最大值,由二次函数的图象开口向下及对称轴为直线t=,∈[-1,1]可知,当t=时,y有最大值,且最大值为.

故函数h(x)的最大值为.

三、解答题

9.解析　(1)由f(x)=ax2-xln x得f'(x)=2ax-ln x-1,

由条件可得f'(1)=2a-1=1,解得a=1.

(2)设直线y=kx-2与函数y=f(x)的图象相切于点(x0,-x0ln x0)(x0>0),

则切线方程为y-(-x0ln x0)=(2x0-ln x0-1)(x-x0),

由条件可知,该切线过点(0,-2),

则-2-(-x0ln x0)=(2x0-ln x0-1)(-x0),

即-x0-2=0,即(x0+1)(x0-2)=0,

由x0>0可得x0=2,所以k=f'(2)=3-ln 2.

10.解析　(1)设曲线y=f(x)上的点A(x0,y0)到直线l的距离最短,则其在点A处的切线与l平行,

∵f(x)=ln x+1,∴f'(x)=,∴f'(x0)==1,∴x0=1,∴y0=1,

∴曲线y=f(x)在点A(1,1)处的切线方程为x-y=0,

∴点A到直线l的最短距离为=.

(2)由题意得g(x)=x2-(a+1)x+ln x+1(0<x<3),

∴g'(x)=x-(a+1)+=(0<x<3),

∵曲线y=g(x)上存在两个不同的点,使得其在这两点处的切线都与x轴平行,

∴关于x的方程g'(x)=0,即x2-(a+1)x+1=0在(0,3)上有两个不同的根,

设h(x)=x2-(a+1)x+1,

则

解得1<a<,

∴实数a的取值范围是.

11.解析　(1)当a=1时,f(x)=ex-1,则f'(x)=ex-1,f(1)=1,则f'(1)=1,

所以曲线y=f(x)在点(1,1)处的切线方程为y-f(1)=f'(1)(x-1),即y=x.

(2)设直线与曲线y=f(x)相切于点A(x1,),与曲线y=g(x)相切于点B(x2,ln x2-b),因为f(x)=ex-a,g(x)=ln x-b,所以f'(x)=ex-a,g'(x)=,

则曲线y=f(x)在点A处的切线为y-=(x-x1),即y=x+(1-x1),

曲线y=g(x)在点B处的切线为y-(ln x2-b)=(x-x2),即y=x-1+ln x2-b,则

由①得x1-a=ln =-ln x2,

则ln x2=a-x1,

将=,ln x2=a-x1代入②得(1-x1)=-1+a-x1-b,又a=b+2,所以(1-x1)=1-x1,

整理得(x1-1)(x2-1)=0.

当x1=1时,y-e1-a=e1-a(x-1),即y=e1-ax,

当x2=1时,a-x1=ln x2=0,则x1=a,因此y-1=x-a,即y=x-a+1,

故存在满足题意的直线,直线为y=e1-ax和y=x-a+1.