人教A版 (2019)必修 第一册1.5 全称量词与存在量词教课内容课件ppt

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| 自 学 导 引 |
1．短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做____________，并用符号“________”表示，含有全称量词的命题叫做全称量词命题．常见的全称量词还有“一切”“每一个”“任给”等．2．通常将含有变量x的语句用p(x)，q(x)，…表示，变量x的取值范围用M表示．那么，全称量词命题“对M中任意一个x，p(x)成立”可用符号简记为______________．
3．一个全称量词命题可以包含多个变量，如“∀x∈R，y∈R，x2＋y2≥0”．4．全称量词命题含有全称量词，有些全称量词命题中的全称量词是省略的，理解时需把它补充出来．例如，命题“平行四边形对角线互相平分”应理解为“所有的平行四边形对角线都互相平分”．
【预习自测】下列命题是全称量词命题的是________(填序号)．①每个四边形的内角和都是360°；②任何实数都有算术平方根；③∀x∈Z,2x＋1是整数；④存在一个x∈R，使2x＋1＝3.【答案】①②③
1．短语：“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做________，并用符号“________”表示．含有存在量词的命题叫做存在量词命题．常见的存在量词还有“有些”“有一个”“对某些”“有的”等．2．存在量词命题“存在M中的元素x，p(x)成立”可用符号简记为____________．3．一个存在量词命题可以包含多个变量，如“∃a，b∈R，使(a＋b)2＝(a－b)2”．
4．含有存在量词“存在”“有一个”等的命题，或虽没有写出存在量词，但其意义具备“存在”“有一个”等特征的命题都是存在量词命题．
【预习自测】下列语句是存在量词命题的是________(填序号)．①任意一个自然数都是正整数；②存在整数n，使n能被11整除；③∀x∈R，x2＋1≥1；④有些整数只有两个正因数．【答案】②④
1．全称量词命题：∀x∈M，p(x)，它的否定：__________________.2．存在量词命题：∃x∈M，p(x)，它的否定：__________________.
∃x∈M，綈p(x)　
全称量词命题和存在量词命题的否定
∀x∈M，綈p(x)　
【预习自测】判断下列命题是否正确．(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)命题綈p的否定是p.(　　)(2)∃x0∈M，p(x0)与∀x∈M，綈p(x)的真假性相反．(　　)(3)从特称命题的否定看，是对“量词”和“p(x)”同时否定．(　　)【答案】(1)√　(2)√　(3)√
| 课 堂 互 动 |
判断下列语句是全称量词命题，还是存在量词命题．(1)凸多边形的外角和等于360°；(2)矩形的对角线不相等；(3)若一个四边形是菱形，则这个四边形的对角线互相垂直；(4)有些实数a，b能使|a－b|＝|a|＋|b|；(5)方程3x－2y＝10有整数解．素养点睛：考查数学抽象的核心素养．
题型1　全称量词命题与存在量词命题的判断
解：(1)可以改为：所有的凸多边形的外角和等于360°，故为全称量词命题．(2)可以改为：所有矩形的对角线不相等，故为全称量词命题．(3)若一个四边形是菱形，也就是所有的菱形，故为全称量词命题．(4)含存在量词“有些”，故为存在量词命题．(5)可改写为：存在整数x，y，使3x－2y＝10成立，故为存在量词命题．
全称量词命题与存在量词命题的判断思路　
[注意]　全称量词命题可能省略全称量词，存在量词命题的存在量词一般不能省略．
1．给出下列命题：①存在实数x>1，使x2>1；②全等的三角形必相似；③有些相似三角形全等；④至少有一个实数a，使ax2－ax＋1＝0的根为负数．其中存在量词命题的个数为(　　)A．1　　B．2　　C．3　　D．4【答案】C　【解析】①③④为存在量词命题，②为全称量词命题．故选C．
判断下列命题的真假．(1)∃x∈Z，x3<1；(2)存在一个四边形不是平行四边形；(3)在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x，y)都对应一点P；(4)∀x∈N，x2>0.素养点睛：考查数学抽象的核心素养．
题型2　 全称量词命题、存在量词命题的真假判断
解：(1)因为－1∈Z，且(－1)3＝－1<1，所以“∃x∈Z，x3<1”是真命题．(2)真命题，如梯形．(3)由有序实数对与平面直角坐标系中的点的对应关系知，它是真命题．(4)因为0∈N,02＝0，所以命题“∀x∈N，x2>0”是假命题．
判断全称量词命题与存在量词命题真假的技巧(1)要判定一个全称量词命题是真命题，必须对限定集合M中的每个元素x验证p(x)成立；但要判定全称量词命题是假命题，只要能举出集合M中的一个x，使得p(x)不成立即可．(2)要判定一个存在量词命题是真命题，只要在限定集合M中，能找到一个x使p(x)成立即可；否则，这个存在量词命题就是假命题．
2．下列是存在量词命题且是真命题的是(　　)A．∀x∈R，x2>0B．∃x∈Z，x2>2C．∀x∈N，x2∈ND．∃x，y∈R，x2＋y2<0【答案】B　【解析】对于A，∀x∈R，x2>0是全称量词命题，不合题意；对于B，∃x∈Z，x2>2是存在量词命题，且是真命题，满足题意；对于C，∀x∈N，x2∈N是全称量词命题，不合题意；对于D，∃x，y∈R，x2＋y2<0是存在量词命题，是假命题，不合题意．故选B．
(1)命题“存在实数x，使x>1”的否定是(　　)A．对任意实数x，都有x>1B．不存在实数x，使x≤1C．对任意实数x，都有x≤1D．存在实数x，使x≤1
题型3　全称量词命题与存在量词命题的否定
(2)命题“∀x∈R，∃n∈N*，使得n≥x2”的否定形式是(　　)A．∀x∈R，∃n∈N*，使得n＜x2B．∀x∈R，∀n∈N*，使得n＜x2C．∃x∈R，∃n∈N*，使得n＜x2D．∃x∈R，∀n∈N*，使得n＜x2素养点睛：考查数学抽象的核心素养．【答案】(1)C　(2)D　
【解析】(1)利用存在性命题的否定为全称命题可知，原命题的否定为：对于任意的实数x，都有x≤1.故选C．(2)由于存在量词命题的否定形式是全称量词命题，全称量词命题的否定形式是存在量词命题，所以“∀x∈R，∃n∈N*，使得n≥x2”的否定形式为“∃x∈R，∀n∈N*，使得n＜x2”．故选D．
全称量词命题与存在量词命题的否定的思路(1)一般地，写含有一个量词的命题的否定，首先要明确这个命题是全称量词命题还是存在量词命题，并找到量词及相应结论，然后把命题中的全称量词改成存在量词，存在量词改成全称量词， 同时否定结论．(2)对于省略量词的命题，应先挖掘命题中隐含的量词，改写成含量词的完整形式，再依据规则来写出命题的否定．
3．命题p：“有些三角形是等腰三角形”，则綈p是(　　)A．有些三角形不是等腰三角形B．所有三角形是等边三角形C．所有三角形都不是等腰三角形D．所有三角形是等腰三角形【答案】C　
【解析】在写命题的否定时，一是更换量词，二是否定结论．更换量词，“有些”改为“所有”，否定结论，“是等腰三角形”改为“都不是等腰三角形”，故綈p为“所有三角形都不是等腰三角形”．
“∀x∈R，若y＞0，则x2＋y＞0”的否定是________________．错解：∃x∈R，若y≤0，则x2＋y≤0易错防范：本题答案看似正确，量词由“∀”改为“∃”，结论中“＞”改为“≤”，但是“若y＞0”改成了“若y≤0”就出现了错误，原因是“若y＞0”不是结论，而是条件．防范措施是记准两点：一是否定量词，二是否定结论．正解：∃x∈R，若y＞0，则x2＋y≤0
易错警示　对含量词命题的否定把握不准
已知命题“∀x∈R，ax2＋2x＋1≠0”为假命题，求实数a的取值范围．
素养养成　根据命题的真假求参数范围
【素养养成】由命题的真或假推断参数的取值范围考查逻辑推理的核心素养，由全称量词命题和存在量词命题的真假，推断不等式成立与否，考查数学抽象的核心素养．
| 素 养 达 成 |
1．全称量词与存在量词(体现了数学抽象的核心素养)．(1)全称量词命题含有全称量词，有些全称量词命题中的全称量词是省略的，理解时需把它补充出来．例如，命题“平行四边形对角线互相平分”应理解为“所有的平行四边形对角线都互相平分”．(2)含有存在量词“存在”“有一个”等的命题，或虽没有写出存在量词，但其意义具备“存在”“有一个”等特征的命题都是存在量词命题．
2．全称量词命题和存在量词命题的否定(体现了逻辑推理的核心素养)．对全称量词命题和存在量词命题的否定，我们可以这样理解：①要否定全称量词命题“∀x∈M，p(x)”，只需在M中找到一个x，使得p(x)不成立，也就是命题“∃x∈M，綈p(x)”成立；②要否定存在量词命题“∃x∈M，p(x)”，需要验证对M中的每一个x，均有p(x)不成立，也就是命题“∀x∈M，綈p(x)”成立．在书写这两种命题的否定时，要将相应的存在量词变为全称量词，全称量词变为存在量词．
1．(题型3)设x∈Z，集合A为偶数集，若命题p：∀x∈Z,2x∈A，则綈p(　　)A．∀x∈Z,2x∉A B．∀x∉Z,2x∈AC．∃x∈Z,2x∈A D．∃x∈Z,2x∉A【答案】D　【解析】全称量词命题的否定是存在量词命题，所以綈p：∃x∈Z,2x∉A．故选D．
2．(题型2)下列结论中正确的是(　　)A．∀n∈N*,2n2＋5n＋2能被2整除是真命题B．∀n∈N*,2n2＋5n＋2不能被2整除是真命题C．∃n∈N*,2n2＋5n＋2不能被2整除是真命题D．∃n∈N*,2n2＋5n＋2能被2整除是假命题【答案】C　【解析】当n＝1时，2n2＋5n＋2不能被2整除，当n＝2时，2n2＋5n＋2能被2整除，所以A、B、D错误，C正确．故选C．
3．(题型2)下列命题中正确的是(　　)A．∀x∈{－1,1},2x＋1>0 B．∃x∈Q，x2＝3C．∀x∈R，x2－1>0 D．∃x∈N，|x|≤0【答案】D