2020-2021学年1.1 椭圆及其标准方程课时作业

这是一份2020-2021学年1.1 椭圆及其标准方程课时作业，共20页。试卷主要包含了1　椭圆及其标准方程，已知圆B等内容，欢迎下载使用。

1.1 椭圆及其标准方程
基础过关练
题组一 椭圆的定义及其应用
1.(2020河南南阳六校高二下第二次联考)已知椭圆x24+y23=1上一点P(x,y)到其一个焦点的距离为3,则点P到其另一个焦点的距离为( )
A.2 B.3 C.1 D.10
2.(2020海南海口四中高二上月考)设F1(-4,0),F2(4,0)为定点,动点M满足|MF1|+|MF2|=10,则动点M的轨迹是( )
A.椭圆 B.直线
C.圆 D.线段
3.(2020陕西商丹高新学校高二上期末)已知F1,F2是椭圆x29+y225=1的两个焦点,A为椭圆上一点,则△AF1F2的周长为( )
A.10 B.14 C.16 D.18
4.(2021江西南昌第二中学高二上月考)已知椭圆x24+y2=1的左、右两个焦点分别为F1,F2,过F1作垂直于x轴的直线与椭圆相交,设其中一个交点为P,则|PF2|=( )
A.32 B.3 C.72 D.4
5.(2020湖南长沙高二上期末)椭圆x225+y29=1上一点M到焦点F1的距离为2,N是MF1的中点,则|ON|等于( )
A.2 B.4
C.6 D.1.5
6.(多选题)(2021山东济南商河第一中学高二月考)设定点F1(0,-3),F2(0,3),动点P满足|PF1|+|PF2|=a+9a(a>0),则点P的轨迹是( )
A.圆 B.线段
C.椭圆 D.不存在
7.(2021安徽滁州定远育才学校高二上月考)以F1、F2为焦点作椭圆,椭圆上一点P1到F1、F2的距离之和为10,椭圆上另一点P2满足|P2F1|=|P2F2|,则|P2F1|= .
题组二 求椭圆的标准方程
8.(2021北京首都师范大学附属中学高二上期中)已知椭圆C的左、右焦点分别为F1(-1,0),F2(1,0).过点F1的直线与C交于A,B两点.若△ABF2的周长为8,则椭圆C的标准方程为( )
A.x216+y215=1 B.x28+y27=1
C.x24+y23=1 D.x23+y24=1
9.(2021湖南长沙第九中学高二上月考)若椭圆的两焦点分别为F1(-2,0),F2(2,0),且该椭圆过点P52,-32,则该椭圆的方程为( )
A.x24+y28=1 B.x26+y210=1
C.x28+y24=1 D.x210+y26=1
10.(2021宁夏银川第二中学高二上月考)已知圆B:(x+2)2+y2=64,A(2,0),动点C为圆B上任意一点,则AC的垂直平分线与BC的交点P的轨迹方程是( )
A.x212+y216=1 B.x216+y24=1
C.x216+y212=1 D.x24+y216=1
11.(2021北京怀柔一中高二上期中)已知椭圆的两个焦点的坐标分别是F1(4,0),F2(-4,0),并且该椭圆上一点M到点F1,F2的距离之和等于10,则该椭圆的方程为 .
12.(2021江苏无锡青山高级中学高二上期中)椭圆C的左焦点为F1(-6,0),且经过点P(5,2),求椭圆C的标准方程.
13.(2021四川成都七中高二上阶段性考试)求过点(3,-5),且与椭圆y225+x29=1有相同焦点的椭圆的标准方程.
14.(2020广西来宾高三教学质量诊断性联合考试)如图,已知椭圆C的中心为原点O,F(-25,0)为C的左焦点,P为C上一点,满足|OP|=|OF|,且|PF|=4,求椭圆C的标准方程.
题组三 椭圆的方程的应用
15.(2021四川乐山十校高二上期中联考)已知方程x2m-1-y2m-2=1表示焦点在y轴上的椭圆,则实数m的取值范围是( )
A.(-∞,2) B.(-∞,1)
C.1,32 D.-∞,32
16.(2020辽宁抚顺一中高三三模)已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)分别过点A(2,0)和B(0,-1),则该椭圆的焦距为( )
A.3 B.23 C.5 D.25
17.(2020北京交通大学附属中学高二下期末)已知椭圆x2k+y2=1的一个焦点是(2,0),那么实数k=( )
A.3 B.5 C.3 D.5
18.(2021吉林长春外国语学校高二上月考)若椭圆x29+y2m+4=1的焦距为2,则实数m的值为( )
A.1或4 B.4或6 C.1或6 D.4或7
19.(2021湖北四地六校高二上联考)已知椭圆x225+y29=1的左、右焦点分别为F1,F2,点P在椭圆上,则|PF1|·|PF2|的最大值是( )
A.9 B.16 C.25 D.27
20.(2021四川西昌高二上期中)已知椭圆x24+y2=1的左、右焦点分别是F1,F2,P是椭圆C上的一点,且∠F1PF2=π2,求△F1PF2的面积.
能力提升练
题组一 椭圆的标准方程及其应用
1.(2020安徽六安一中高二下开学考试,)对于常数m、n,“方程mx2+ny2=1表示的曲线是椭圆”是“mn>0”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
2.(2020湖北恩施利川第五中学高二上期中,)已知F1,F2是椭圆x224+y249=1的两个焦点,P是椭圆上一点,且|PF1|∶|PF2|=4∶3,则△PF1F2的面积等于( )
A.24 B.26
C.222 D.242
3.(多选题)(2021江苏南通中学高二上期中,)设椭圆x29+y23=1的右焦点为F,直线y=m(0A.|AF|+|BF|为定值
B.△ABF的周长的取值范围是[6,12]
C.当m=2时,△ABF为直角三角形
D.当m=1时,△ABF的面积为6
4.(2020河北唐山高三第二次模考,)已知F(2,0)是椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点,且E过点(2,1),则椭圆E的标准方程为 .
5.(2021河北保定第三中学高二上期中,)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,点P为椭圆C上一点,∠F1PF2=120°,|PF1|=2+3,|PF2|=2-3.
(1)求椭圆C的方程;
(2)求点P的坐标.
题组二 椭圆的定义的应用
6.(2020北京丰台高二下期末,)已知点P是椭圆C:x2100+y264=1上一点,M,N分别是圆(x-6)2+y2=1和圆(x+6)2+y2=4上的点,那么|PM|+|PN|的最小值为( )
A.15 B.16 C.17 D.18
7.(2021湖北襄阳宜城第三中学高二上月考,)已知P为椭圆x24+y23=1上一点,F1、F2为该椭圆的两个焦点,若∠F1PF2=60°,则PF1·PF2=( )
A.32 B.3 C.6 D.2
8.(2020江西南昌莲塘一中高二下线上测试,)已知椭圆y29+x25=1的上焦点为F,M是椭圆上一点,点A(23,0),当点M在椭圆上运动时,|MA|+|MF|的最大值为 ( )
A.4 B.6 C.8 D.10
9.(2020陕西西安八校高三下高考模拟,)已知椭圆x29+y24=1的两个焦点分别是F1、F2,M是椭圆上一点,且|MF1|-|MF2|=2,则△F1F2M的面积是 .
题组三 与椭圆有关的轨迹问题
10.(2021黑龙江哈尔滨师范大学附属中学高二月考,)一个动圆与圆C1:x2+(y+3)2=1外切,与圆C2:x2+(y-3)2=81内切,则这个动圆圆心的轨迹方程为( )
A.y225+x216=1 B.x225+y216=1
C.y216+x29=1 D.x216+y29=1
11.(2021厦门国祺中学高二上月考,)如图,在圆C:(x+4)2+y2=100内有一点A(4,0),Q为圆C上一动点,AQ的垂直平分线与C、Q的连线交于点M,则动点M的轨迹方程为( )
A.x225-y29=1 B.x225+y29=1
C.x225+y29=1(x≤-5) D.x225+y216=1
答案全解全析
基础过关练
1.C 根据题意知a=4=2,若椭圆上一点P到其一个焦点的距离为3,那么点P到其另一个焦点的距离为2a-3=1,故选C.
2.A 根据椭圆的定义知,M到两定点F1,F2的距离之和为10,且10>|F1F2|=8,所以动点M的轨迹是以F1,F2为焦点的椭圆.故选A.
3.D 由题意,|AF1|+|AF2|=2a=10,c=25-9=4,即|F1F2|=2c=8,所以△AF1F2的周长为10+8=18.故选D.
4.C c=4-1=3,所以当x=-3时,|PF1|=|y|=12,而|PF1|+|PF2|=4,
所以|PF2|=4-|PF1|=72,故选C.
5.B 设椭圆的另一个焦点为F2,根据椭圆的定义知,|MF1|+|MF2|=2a=10,故|MF2|=8,
在△MF1F2中,N是MF1的中点,O是F1F2的中点,所以ON是△MF1F2的中位线,
所以|ON|=12|MF2|=12×8=4.故选B.
6.BC ∵F1(0,-3),F2(0,3),∴|F1F2|=6,
∵a>0,∴|PF1|+|PF2|=a+9a≥2a·9a=6,当且仅当a=9a,即a=3时等号成立,
当a+9a=6时,|PF1|+|PF2|=|F1F2|,此时点P的轨迹是线段F1F2;
当a+9a>6时,|PF1|+|PF2|>|F1F2|,此时点P的轨迹是椭圆.故选BC.
7.答案 5
解析 因为点P2在椭圆上,所以|P2F1|+|P2F2|=10,又|P2F1|=|P2F2|,所以|P2F1|=5.
8.C 因为椭圆C的左、右焦点分别为F1(-1,0),F2(1,0),所以c=1.
根据椭圆的定义,可得|AF2|+|BF2|+|AB|=|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=4a=8,
解得a=2,因此b2=a2-c2=3.
所以椭圆C的标准方程为x24+y23=1.
故选C.
9.D |PF1|+|PF2|=52+22+-322+52-22+-322=210=2a,故a=10,又c=2,所以b2=a2-c2=10-4=6,故该椭圆的方程为x210+y26=1.故选D.
10.C 因为AC的垂直平分线与BC的交点为P,所以|PA|=|PC|,
则|PB|+|PA|=|PB|+|PC|=|BC|=8>|AB|=4,
故点P的轨迹是以A,B为焦点的椭圆,其中a=4,c=2,
∴b2=a2-c2=16-4=12,
∴点P的轨迹方程是x216+y212=1,故选C.
11.答案 x225+y29=1
解析 由题意得椭圆的焦点在x轴上,设椭圆的方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0),
因为|MF1|+|MF2|=10,
所以2a=10,即a=5,
又c=4,所以b2=a2-c2=52-42=9,
所以该椭圆的方程为x225+y29=1.
12.解析 设椭圆C的右焦点为F2,则F2(6,0).
由椭圆的定义可得|PF1|+|PF2|=(5+6)2+22+(5-6)2+22=65=2a,
所以a=35,又c=6,所以b2=45-36=9,
所以椭圆C的标准方程为x245+y29=1.
13.解析 设所求椭圆的标准方程为y225-k+x29-k=1(k<9),
将点(3,-5)代入,可得(-5)225-k+(3)29-k=1,解得k=5(k=21舍去),
故所求椭圆的标准方程为y220+x24=1.
14.解析 由题意可得,该椭圆的半焦距c=25,设椭圆C的标准方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0),
取椭圆的右焦点F1(25,0),连接PF1,如图.
因为|OP|=|OF|,所以|OP|=|OF1|,
所以PF⊥PF1,
又|PF|=4,|FF1|=45,
所以|PF1|=|FF1|2-|PF|2=8,
所以2a=|PF|+|PF1|=12,即a=6,
所以b2=a2-c2=16,
所以椭圆C的标准方程为x236+y216=1.
15.C x2m-1-y2m-2=1表示焦点在y轴上的椭圆,则2-m>m-1>0,解得116.B 由题意可得a=2,b=1,所以c=a2-b2=4-1=3,所以2c=23.故选B.
17.D 因为椭圆x2k+y2=1的一个焦点是(2,0),所以k>1,所以k-1=4,所以k=5.故选D.
18.B 若焦点在x轴上,则c=9-m-4=1,解得m=4;若焦点在y轴上,则c=m+4-9=1,解得m=6.故选B.
19.C 由题意,得a=5,|PF1|+|PF2|=2a=10,|PF1|·|PF2|≤|PF1|+|PF2|22=1022=25,当且仅当|PF1|=|PF2|=5时等号成立,故选C.
20.解析 因为|PF1|+|PF2|=2a=4,且∠F1PF2=π2,
所以|PF1|2+|PF2|2=4c2=4×(4-1)=12,
所以|PF1|·|PF2|=(|PF1|+|PF2|)2-(|PF1|2+|PF2|2)2=2,
所以S△F1PF2=|PF1|·|PF2|2=1.
能力提升练
1.A 方程mx2+ny2=1表示的曲线是椭圆,则m>0,n>0,m≠n,所以“方程mx2+ny2=1表示的曲线是椭圆”是“mn>0”的充分不必要条件.故选A.
2.A 由题意得a2=49,所以a=7,所以|PF1|+|PF2|=2a=14,又|PF1|∶|PF2|=4∶3,所以|PF1|=8,|PF2|=6,因为|F1F2|=249-24=10,所以|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2,所以PF1⊥PF2,故△PF1F2的面积S=12|PF1|·|PF2|=12×8×6=24.故选A.
3.AD 设椭圆的左焦点为F',则|AF'|=|BF|,
∴|AF|+|BF|=|AF|+|AF'|=2a=6,为定值,A正确;
△ABF的周长为|AB|+|AF|+|BF|,
∵|AF|+|BF|为定值6,
|AB|的范围是(0,6),
∴△ABF的周长的范围是(6,12),B错误;
令y=2,可得A,B两点坐标,
不妨设A(-3,2),B(3,2),
又∵F(6,0),∴BA·BF=(-23,0)·(6-3,-2)=6-62<0,
∴△ABF不是直角三角形,C错误;
令y=1,可得A,B两点坐标,
不妨设A(-6,1),B(6,1),则BF⊥x轴,
∴S△ABF=12×26×1=6,D正确.
故选AD.
4.答案 x24+y22=1
解析 因为F(2,0)是椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点,所以c=2,
因为椭圆E过点(2,1),
所以有2a2+1b2=1,a2=2+b2,解得b2=2,a2=4.
所以椭圆E的标准方程为x24+y22=1.
5.解析 (1)由椭圆的定义,有a=|PF1|+|PF2|2=(2+3)+(2-3)2=2,
在△PF1F2中,|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|cs120°
=(2+3)2+(2-3)2+(2+3)(2-3)=15,
即4c2=15,得c2=154,∴c=152(负值舍去),
∴b2=a2-c2=4-154=14,
故椭圆C的方程为x24+4y2=1.
(2)设点P的坐标为(m,n),
因为|PF1|>|PF2|,所以m>0.
S△PF1F2=12|PF1||PF2|sin120°=12×(2+3)×(2-3)×32=34,
又S△PF1F2=12×2c|n|=15|n|2,
∴15|n|2=34,解得n=±510,
将点P的坐标代入椭圆C的方程,得m24+15=1,
解得m=455(负值舍去),
故点P的坐标为455,510或455,-510.
6.C 椭圆C:x2100+y264=1中,a=10,b=8,所以c=6.
圆(x-6)2+y2=1和圆(x+6)2+y2=4的圆心为椭圆的两个焦点,
则当M,N为如图所示位置时,|PM|+|PN|的值最小,最小值为|PF1|+|PF2|-|F1N|-|F2M|=2a-2-1=17.故选C.
7.D 根据椭圆方程可知a=2,c=4-3=1.
设|PF1|=m,|PF2|=n,由椭圆的定义和余弦定理得m+n=2a,(2c)2=m2+n2-2mncs60°,可得mn=4,故PF1·PF2=mncs60°=4×12=2.故选D.
8.D 如图所示,设椭圆的下焦点为F',
则|AF|=|AF'|=4,|MF|+|MF'|=2a=6,
∵|MA|-|MF'|≤|AF'|,当且仅当A,F',M共线且F'在线段AM上时等号成立,
∴|MA|+|MF|=|MA|+6-|MF'|≤|AF'|+6=4+6=10.故选D.
9.答案 4
解析 由椭圆的定义可知,|MF1|+|MF2|=6,
又|MF1|-|MF2|=2,
所以|MF1|=4,|MF2|=2.
又|F1F2|=25,
所以|MF1|2+|MF2|2=|F1F2|2,
所以△F1F2M是以|MF1|,|MF2|为直角边的直角三角形,
所以△F1F2M的面积为12|MF1||MF2|=12×4×2=4.
10.A 设动圆的半径为r,圆心为M,根据题意可知,C1(0,-3),C2(0,3),
|MC1|=1+r,|MC2|=9-r,|C1C2|=3-(-3)=6,
|MC1|+|MC2|=1+r+9-r=10>6,故动圆圆心的轨迹为焦点在y轴上的椭圆,
且焦点坐标为C2(0,3)和C1(0,-3),其中2a=10,a=5,2c=|C1C2|=6,c=3,
所以b2=a2-c2=25-9=16,
故动圆圆心的轨迹方程为x216+y225=1.
11.B 连接AM,因为圆C:(x+4)2+y2=100,所以圆心为C(-4,0),半径R=10.
由垂直平分线的性质可知|MQ|=|MA|,则|MC|+|MA|=|MC|+|MQ|=|CQ|=R=10>|CA|=8,
则点M的轨迹是以C(-4,0)、A(4,0)为焦点的椭圆,且2a=10,即a=5,c=4,
则b2=a2-c2=9,
因此,点M的轨迹方程为x225+y29=1.
故选B.