数学选择性必修 第一册第二章 直线和圆的方程2.1 直线的倾斜角与斜率习题

这是一份数学选择性必修 第一册第二章 直线和圆的方程2.1 直线的倾斜角与斜率习题，共10页。试卷主要包含了1　直线的倾斜角与斜率，下列说法中,正确的是，下列四个命题中,为假命题的是等内容，欢迎下载使用。

2.1.1 倾斜角与斜率
基础过关练
题组一 直线的倾斜角与斜率
1.下列说法中,正确的是( )
A.任何一条直线都有唯一的斜率
B.直线的倾斜角越大,它的斜率就越大
C.任何一条直线都有唯一的倾斜角
D.若两直线的倾斜角相等,则它们的斜率也一定相等
2.已知直线PQ的斜率为-3,将直线绕点P顺时针旋转60°,所得的直线的斜率是( )
A.0
3.若直线l向上的方向与y轴的正方向成30°角,则直线l的倾斜角为( )
A.30°B.60°
C.30°或150°D.60°或120°
4.如图,直线l1,l2,l3的斜率分别为k1,k2,k3,则( )
A.k1C.k35.(多选)下列四个命题中,为假命题的是( )
A.坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角和斜率
B.直线的倾斜角的取值范围是[0,π)
C.若一条直线的斜率为tan α,则此直线的倾斜角为α
D.若一条直线的倾斜角为α,则此直线的斜率为tan α
6.如图所示,菱形OBCD的顶点O与坐标原点重合,且OB在x轴的正半轴上.已知∠BOD=60°,求菱形各边和两条对角线所在直线的倾斜角及斜率.
题组二 直线的斜率公式
7.(2020河南河大附中高二上期中)已知两点A(-1,2),B(3,4),则直线AB的斜率为( )
A.2B.-12C.12D.-2
8.(2021山东枣庄八中高二上月考)若直线过点(2,4),(1,4+3),则此直线的倾斜角是( )
A.30°B.60°C.120°D.150°
9.已知点A(2,-1),若在坐标轴上存在一点P,使直线PA的倾斜角为45°,则点P的坐标为 .
10.已知三点A(-3,-1),B(0,2),C(m,4)在同一直线上,则实数m的值为 .
题组三 直线的方向向量及其应用
11.(2021山东济宁实验中学高二月考)经过A(0,2),B(1,0)两点的直线的方向向量为(1,k),则k的值是( )
A.1B.-1C.-2D.2
12.(2021山东菏泽一中高二上月考)已知直线l的一个方向向量为d=(3,-4),则直线l的斜率为 .
13.已知直线l1的方向向量为n=(2,1),直线l2的倾斜角是直线l1倾斜角的2倍,求直线l2的斜率.
能力提升练
题组一 直线的倾斜角与斜率
1.(2021山东东营一中高二上月考,)设直线l的斜率为k,且-1≤k<3,则直线l的倾斜角α的取值范围为( )
A.0,π3∪3π4,πB.0,π6∪3π4,π
C.π6,3π4D.0,π3∪3π4,π
2.(2020吉林大学附属中学高二上第一次月考,)若两直线l1,l2的倾斜角和斜率分别为α1,α2和k1,k2,则下列四个命题中正确的是( )
A.若α1<α2,则k1C.若k13.(2021安徽蚌埠三中高二上月考,)过点A(2,1),B(m,3)的直线的倾斜角α的范围是π4,3π4,则实数m的取值范围是( 易错 )
A.(0,2]B.(0,4)
C.[2,4)D.(0,2)∪(2,4)
题组二 直线斜率的综合运用
4.(2021黑龙江哈尔滨六中高二上月考,)直线l过点A(1,2),且不经过第四象限,则直线l的斜率的取值范围为( )
A.0,12B.[0,1]
C.[0,2]D.0,12
5.(2020山东日照一中期中,)已知函数f(x)=lg3(x+2),若a>b>c>0,则 f(a)a,f(b)b,f(c)c的大小关系为( )
A.f(c)c< f(b)b< f(a)aB.f(a)a< f(b)b< f(c)c
C.f(c)c< f(a)a< f(b)bD.f(a)a< f(c)c< f(b)b
6.(2021安徽合肥八中高二上月考,)已知A(2,3),B(-1,2),若点P(x,y)在线段AB上,则yx-3的最大值为( )
A.1D.-3
7.(多选)()直线l过点P(1,0),且与以A(2,1),B(0,3)为端点的线段有公共点,则直线l的斜率可能是( )
A.-2
8.()若过点P(1-a,1+a)与Q(4,2a)的直线的倾斜角为钝角,且m=3a2-4a,则实数m的取值范围是 .
9.()台球运动中的反弹球技法是常见的技巧,其中无旋转反弹球是最简单的技法,主球撞击目标球后,目标球撞击台边之后按照光线反射的方向弹出,想要让目标球沿着理想的方向反弹,就要事先根据需要确认台边的撞击点,同时做到用力适当,方向精确,这样才能通过反弹来将目标球成功击入袋中.如图,现有一目标球从点A(-2,3)无旋转射入,经过x轴(桌边)上的点P反弹后,经过点B(5,7),则点P的坐标为 .深度解析
10.(2020安徽芜湖第一中学月考,)已知A(3,3),B(-4,2),C(0,-2)三点.
(1)求直线AB和AC的斜率;
(2)若点D在线段BC(包括端点)上移动,求直线AD的斜率的变化范围.
答案全解全析
基础过关练
1.C A错,因为倾斜角为90°的直线斜率不存在;B错,因为当α=90°时,直线的斜率不存在;C显然对;D错,若两直线的倾斜角为90°,则它们的斜率不存在,无法比较大小.
2.C 直线PQ的斜率为-3,则其倾斜角为120°,绕点P顺时针旋转60°后,所得直线的倾斜角为60°,斜率为3.
3.D 如图,直线l有两种情况,故l的倾斜角为60°或120°.
4.D 由题图可知,直线l1的倾斜角为钝角,所以k1<0;直线l2与直线l3的倾斜角为锐角,且直线l2的倾斜角较大,所以k2>k3>0,所以k2>k3>k1.
5.ACD 对于A,当直线与x轴垂直时,直线的倾斜角为90°,斜率不存在,∴A是假命题;对于B,直线的倾斜角的取值范围是[0,π),∴B是真命题;对于C,一条直线的斜率为tan α,但此直线的倾斜角不一定为α,如直线y=x的斜率为tan5π4=1,但它的倾斜角为π4,∴C是假命题;对于D,一条直线的倾斜角为α时,它的斜率为tan α或不存在,∴D是假命题.故选ACD.
6.解析 因为OD∥BC,∠BOD=60°,所以直线OD,BC的倾斜角都是60°,斜率kOD=kBC=tan 60°=3.
因为OB在x轴的正半轴上,DC∥OB,
所以直线OB,DC的倾斜角都是0°,斜率kOB=kDC=tan 0°=0.
由菱形的性质知,∠COB=30°,∠OBD=60°,
所以直线OC的倾斜角为30°,斜率kOC=tan 30°=33,直线BD的倾斜角为∠DBx=180°-60°=120°,斜率kBD=tan 120°=-3.
7.C 由A、B的坐标得kAB=4-23-(-1)=12,故选C.
8.C 依题意知直线的斜率k=4+3-41-2=-3,设直线的倾斜角为α,则tan α=-3,又0°≤α<180°,∴α=120°,故选C.
9.答案 (3,0)或(0,-3)
解析 若设点P的坐标为(x,0),则0-(-1)x-2=tan 45°=1,解得x=3,即P(3,0).
若设点P的坐标为(0,y),则y-(-1)0-2=tan 45°=1,解得y=-3,即P(0,-3).
10.答案 2
解析 因为A、B、C三点在同一直线上,所以kAB=kBC,即2-(-1)0-(-3)=4-2m-0,解得m=2.
11.C 直线AB的一个方向向量为AB=(1,0)-(0,2)=(1,-2),所以k=-2,故选C.
12.答案 -43
解析 设直线l的斜率为k,则直线l的一个方向向量为n=(1,k),
又直线l的一个方向向量为d=(3,-4),n∥d,∴1×(-4)-3k=0,解得k=-43.
13.解析 设直线l1的倾斜角为α,则直线l2的倾斜角为2α.由直线l1的方向向量为n=(2,1),得直线l1的斜率为tan α=12,因此直线l2的斜率为tan 2α=2tanα1-tan2α=43.
能力提升练
1.D 直线l的倾斜角为α,则α∈[0,π),
由-1≤k<3,得-1≤tan α<3,
∴α∈0,π3∪3π4,π.故选D.
2.D 令α1=45°,α2=135°,则k1=1,k2=-1,k1>k2,故A错误;易知C错误;令α1=α2=90°,则k1、k2不存在,故B错误;由k1=k2知,α1=α2,故D正确.故选D.
3.B 由直线的倾斜角α的范围是π4,3π4,
得直线的斜率存在时,k<-1或k>1.
当m≠2时,kAB=3-1m-2=2m-2,
∴2m-2<-1或2m-2>1,
解得0当直线的斜率不存在时,m=2符合题意,
综上,实数m的取值范围是(0,4).故选B.
易错警示 已知倾斜角的取值范围确定斜率的范围时,要注意倾斜角的取值范围中含有90°的情况,此时斜率的范围分成两段,如本题中的“k<-1或k>1”,而不是“-14.C 如图,∵直线l过点A(1,2),且不经过第四象限,
∴当直线l的倾斜角为0°时,斜率k=0;
当直线经过原点时,斜率k'=2,
∴直线l的斜率的取值范围为[0,2],
故选C.
5.B 作出函数f(x)=lg3(x+2)的大致图象,如图所示.
由图象可知y轴右侧曲线上各点与原点连线的斜率随x的增大而减小,因为a>b>c>0,所以f(a)a< f(b)b< f(c)c,故选B.
6.C yx-3表示过点P(x,y)与点C(3,0)的直线的斜率,而kAC=3-02-3=-3,kBC=2-0-1-3=-12,因为点P在线段AB上,所以-3≤yx-3≤-12,则yx-3的最大值为-12.故选C.
7.ACD 如图所示,
当直线l过点B时,设直线l的斜率为k1,则k1=3-00-1=-3,
当直线l过点A时,设直线l的斜率为k2,则k2=1-02-1=1,
所以要使直线l与线段AB有公共点,则直线l的斜率的取值范围是(-∞,-3]∪[1,+∞),故选ACD.
8.答案 -43,39
解析 设直线的倾斜角为α,π2<α<π,斜率为k,
则k=tan α=2a-(1+a)4-(1-a)=a-1a+3,又α为钝角,
∴a-1a+3<0,即(a-1)(a+3)<0,故-3∵关于a的函数m=3a2-4a图象的对称轴为a=23,
∴当a=23时,m有最小值,为-43.
又当a=-3时,m=39,
当a=1时,m=-1,
∴实数m的取值范围是-43,39.
9.答案 110,0
信息提取 ①目标球无旋转射入;②经过x轴(桌边)上的点反弹.
数学建模 将台球中的无旋转反弹问题转化为光线的反射问题,运用的知识是①点关于线对称,求A点关于x轴的对称点A'或求B点关于x轴的对称点B';②三点共线,即A'、P、B三点共线或A、P、B'三点共线.再用所学公式解决问题.
解析 设P(x,0),A点关于x轴对称的点A'(-2,-3),
则kA'P=0-(-3)x-(-2)=3x+2,kA'B=7-(-3)5-(-2)=107,
∵A',B,P三点共线,
∴kA'P=kA'B,即3x+2=107,解得x=110,故P点坐标为110,0.
解题模板 求解光线的反射问题通常用到对称的知识,若A点向P点反射至B点,则A点的对称点A'与P、B共线,此直线为反射线;B点的对称点B'与P、A共线,此直线为入射线.
10.解析 (1)由斜率公式可得直线AB的斜率kAB=2-3-4-3=17,直线AC的斜率kAC=-2-30-3=53.
(2)如图所示,当点D由点B运动到点C时,直线AD的斜率由kAB增大到kAC,所以直线AD的斜率的变化范围是17,53.