数学选择性必修第一册1.1 直线的斜率与倾斜角随堂练习题

这是一份数学选择性必修第一册1.1 直线的斜率与倾斜角随堂练习题，共13页。试卷主要包含了1　直线的斜率与倾斜角，求过已知两点的直线的斜率，已知A、B、C2,72等内容，欢迎下载使用。

基础过关练
题组一 直线的斜率
1.(2020江苏宜兴第一中学高二月考)在平面直角坐标系中,过点(-1,2)和(1,4)的直线的斜率k=( )
A.12 B.2 C.1 D.-1
2.(2020山东烟台一中高一月考)由以下两点确定的直线中,斜率不存在的是( )
A.(4,1)与(-4,-1) B.(0,1)与(1,0)
C.(1,4)与(-1,4) D.(-4,1)与(-4,-1)
3.(2020北京四中高二期中)若A(-2,3),B(3,-2),C(1,m)三点共线,则m的值为( )
A.12 B.-1 C.-2 D.0
4.设P为x轴上的一点,A(-3,8)、B(2,14),若PA的斜率是PB的斜率的2倍,则点P的坐标为 .
5.求过已知两点的直线的斜率.
(1)直线PQ过点P(2,3),Q(6,5);
(2)直线AB过点A(2,1),B(m,2).
6.(2020江苏沙溪高级中学高二月考)已知A(1,2)、B(-3,-4)、C2,72.证明:A,B,C三点共线.
题组二 直线的倾斜角
7.(2020江苏无锡第一中学高二月考)已知点A(1,3),B(-1,33),则直线AB的倾斜角为( )
A.2π3 B.π6 C.π3 D.5π6
8.(2020山东淄博中学高二月考)已知直线l的斜率的绝对值为3,则直线l的倾斜角为( )
A.60° B.30°
C.60°或120° D.30°或150°
9.(2020天津汇文中学高二月考)已知点A(2,m),B(3,3),直线AB的倾斜角为45°,那么m的值为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
10.若直线l向上的方向与y轴的正方向成30°角,则直线l的倾斜角为( )
A.30° B.60°
C.30°或150° D.60°或120°
11.(多选)下列四个命题中,为假命题的是( )
A.坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角和斜率
B.直线的倾斜角的取值范围是[0,π)
C.若一条直线的斜率为tan α,则此直线的倾斜角为α
D.若一条直线的倾斜角为α,则此直线的斜率为tan α
12.(2020江苏扬州中学高一月考)直线x=7π6的倾斜角是 .
13.求经过下列两点的直线的斜率,并判断其倾斜角是锐角、直角还是钝角.
(1)(-3,5),(0,2);
(2)(4,4),(4,5);
(3)(m,23m+3),(2m-1,33m)(m≠1).
14.如图所示,菱形OBCD的顶点O与坐标原点重合,且OB在x轴的正半轴上.已知∠BOD=60°,求菱形各边和两条对角线所在直线的倾斜角及斜率.
能力提升练
题组 倾斜角与斜率的综合运用
1.(多选)(2020山东临沂沂南一中高二期中,)若直线l与x轴交于点A,其倾斜角为α,直线l绕点A顺时针旋转45°后得直线l1,则直线l1的倾斜角可能为( )
A.α+45° B.α+135°
C.α-45° D.135°-α
2.(2020安徽六安一中高二月考,)若过两点A(m2+2,m2-3),B(-m2-m+3,2m)的直线l的倾斜角为45°,则m=( )
A.-2或-1 B.1
C.-1 D.-2
3.(多选)(2020山东青州第一中学高二月考,)如图,直线l1,l2,l3的斜率分别为k1,k2,k3,倾斜角分别为α1,α2,α3,则下列选项正确的是( )
A.k1C.α1<α3<α2 D.α3<α2<α1
4.(2021黑龙江哈尔滨六中高二上月考,)直线l过点A(1,2),且不经过第四象限,则直线l的斜率的取值范围是( )
A.0,12 B.[0,1] C.[0,2] D.0,12
5.(2020上海嘉定高二期中,)若直线l过点A(4,1),B(3,a2)(a∈R),则直线l的倾斜角的取值范围是( )
A.0,π4 B.π4,π2∪π2,π
C.0,3π4 D.0,π4∪π2,π
6.(2021普通高等学校招生全国统一考试模拟演练,)若正方形一条对角线所在直线的斜率为2,则该正方形的两条邻边所在直线的斜率分别为 、 .
7.(2020江苏盐城射阳中学高二期中,)设直线l的斜率为k,且-18.(2020江苏泰州姜堰中学高二月考,)在幂函数y=xα的图象上任取两个不同的点(x1,y1),(x2,y2),若y2-y1x2-x1是定值,则α= .
9.()若经过点A(1-t,1+t)和点B(3,2t)的直线的倾斜角α不是锐角,则实数t的取值范围是 .
10.(2020江苏宿迁沭阳高级中学高二期中,)已知两点A(-2,-3),B(3,0),过点P(-1,2)的直线l与线段AB始终有公共点,则直线l的斜率k的取值范围是 .
11.()台球运动中的反弹球技法是常见的技巧,其中无旋转反弹球是最简单的技法,主球撞击目标球后,目标球经过台边之后按照光线反射的方向弹出,想要让目标球沿着理想的方向反弹,就要事先根据需要确认台边的撞击点,同时做到用力适当、方向精确,这样才能通过反弹来将目标球成功击入袋中.现有一目标球从点A(-2,3)无旋转射入,经过x轴(桌边)上的点P反弹后,经过点B(5,7),则点P的坐标为 .
12.()已知平面直角坐标系中有两点M(m+3,2m+5),N(m-2,1).
(1)当m为何值时,直线MN的倾斜角为锐角?
(2)当m为何值时,直线MN的倾斜角为钝角?
(3)直线MN的倾斜角可能为直角吗?
13.(2020山东东营一中高二月考,)若点M(x,y)在函数y=-2x+8的图象上,当x∈[2,5]时,求2y+1x+1的取值范围.
答案全解全析
基础过关练
1.C 由斜率公式知k=4-21-(-1)=1.故选C.
2.D 根据斜率公式可知,当两点的横坐标相同时,直线的斜率不存在,此时,过两点的直线垂直于x轴.A、B、C选项中,两点的横坐标不相同,故斜率存在;而D选项中,两点的横坐标相同,故过该两点的直线的斜率不存在.故选D.
3.D 由于A(-2,3),B(3,-2),C(1,m)三点共线,则kAB=kAC,即3+2-2-3=m-31+2,解得m=0.故选D.
4.答案 (-5,0)
解析 设P(x,0)为满足题意的点,则kPA=8-3-x,kPB=142-x,于是8-3-x=2×142-x,解得x=-5,故点P的坐标为(-5,0).
5.解析 (1)直线PQ的斜率k=5-36-2=12.
(2)当m=2时,直线AB的斜率不存在.
当m≠2时,直线AB的斜率k=2-1m-2=1m-2.
易错警示
利用斜率公式求直线的斜率应注意:运用公式的前提条件是“直线上任意两点的横坐标不相等”,即直线不与x轴垂直,当直线与x轴垂直时,斜率是不存在的.
6.证明 因为A(1,2),B(-3,-4),C2,72,
所以kAB=2-(-4)1-(-3)=32,kAC=2-721-2=32,
所以kAB=kAC,又直线AB,AC有公共点A,
所以A,B,C三点共线.
7.A 设直线AB的倾斜角为α,
因为A(1,3),B(-1,33),
所以直线AB的斜率k=33-3-1-1=-3,即tan α=-3,
因为α∈[0,π),
所以α=2π3.
故选A.
解题模板 由两点坐标,求出直线AB的斜率,利用k=tan α,结合倾斜角的范围即可求解.
8.C 由题意知|tan α|=3,即tan α=3或tan α=-3,
∴直线l的倾斜角为60°或120°.故选C.
9.B 由题意可得m-32-3=tan 45°=1,∴m=2.
故选B.
10.D 如图,直线l有两种情况,故l的倾斜角为60°或120°.
11.ACD 对于A,当直线与x轴垂直时,直线的倾斜角为90°,斜率不存在,∴A是假命题;对于B,直线的倾斜角的取值范围是[0,π),∴B是真命题;对于C,一条直线的斜率为tan α,但此直线的倾斜角不一定为α,如直线y=x的斜率为tan5π4,它的倾斜角为π4,∴C是假命题;对于D,一条直线的倾斜角为α时,它的斜率为tan α或不存在,∴D是假命题.故选ACD.
12.答案 π2
解析 因为直线x=7π6与x轴垂直,所以直线x=7π6的倾斜角是π2.
13.解析 (1)斜率k=2-50-(-3)=-1<0,倾斜角为钝角.
(2)因为两点的横坐标相同,所以斜率不存在,倾斜角为直角.
(3)因为m≠1,所以直线斜率存在.斜率k=33m-(23m+3)(2m-1)-m=3m-3m-1=3>0,倾斜角为锐角.
误区警示
直线的倾斜角α与斜率k之间的关系是k=tan α(其中0°≤α<90°或90°<α<180°).
解析 因为OD∥BC,∠BOD=60°,所以直线OD,BC的倾斜角都是60°,斜率kOD=kBC=
tan 60°=3.
因为OB在x轴的正半轴上,DC∥OB,
所以直线OB,DC的倾斜角都是0°,斜率kOB=kDC=tan 0°=0.
由菱形的性质知,∠COB=30°,∠OBD=60°,
所以直线OC的倾斜角为30°,斜率kOC=tan 30°=33,直线BD的倾斜角为∠DBx=180°-
∠OBD=120°,斜率kBD=tan 120°=-3.
能力提升练
1.BC 因为直线倾斜角的取值范围为0°~ 180°(不含180°),
当45°≤α<180°时,直线l1的倾斜角为α-45°,
当0°≤α<45°时,直线l1的倾斜角为180°-(45°-α)=135°+α.
故选BC.
2.D 由题意得m2+2≠-m2-m+3,得m≠-1且m≠12.过两点A(m2+2,m2-3),B(-m2-m+3,2m)的直线l的倾斜角为45°,
则有m2-3-2mm2+2+m2+m-3=m2-2m-32m2+m-1=tan 45°=1,
即m2-2m-3=2m2+m-1,
即m2+3m+2=0,
解得m=-2(m=-1舍去).
故选D.
3.AD 因为直线l1,l2,l3的斜率分别为k1,k2,k3,倾斜角分别为α1,α2,α3,
所以k2>k3>0,k1<0,即k1π2>α2>α3>0,且α1为钝角,即α3<α2<α1.
故选AD.
4.C ∵直线l过点A(1,2),
∴当直线l的倾斜角为0°时,斜率k=0;
当直线l经过原点时,斜率k=2,
当直线在如图的区域时不经过第四象限,
∴直线l的斜率的取值范围为[0,2],故选C.
5.D 设直线l的倾斜角为θ,则
tan θ=a2-13-4=1-a2,
因为a∈R,所以1-a2≤1,即tan θ≤1,
因为θ∈[0,π),所以0≤θ≤π4或π2<θ<π,
所以直线l的倾斜角的取值范围是0,π4∪π2,π.故选D.
6.答案 13;-3
解析 解法一:设正方形的对角线倾斜角为α,则tan α=2,
则正方形的两条邻边的倾斜角为α+π4,α-π4,
故tanα+π4=tanα+tan π41-tanαtan π4=-3,
tanα-π4=tanα-tan π41+tanαtanπ4 = 2-11+2=13,
∴正方形的两条邻边的斜率为-3,13.
解法二:如图,
设O(0,0),A(1,2),则可知B(-2,1),D(2,-1),所以kAB=1-2-2-1=13,kAD=-1-22-1=-3.
7.答案 0,π4∪3π4,π
解析 由图得当-18.答案 1或0
解析 y2-y1x2-x1是定值表示过点(x1,y1),(x2,y2)的直线的斜率存在,且是定值,
故幂函数y=xα的图象是直线,
故α=1或α=0.
9.答案 [-2,1]
解析 因为直线的倾斜角α不是锐角,
所以α=0°或α=90°或α是钝角.
当α=0°时,1+t=2t,得t=1;
当α=90°时,1-t=3,得t=-2;
当α是钝角时,直线的斜率小于0,即2t-(1+t)3-(1-t)<0,得t-1t+2<0.
所以t-1>0,t+2<0或t-1<0,t+2>0,解得-2综上所述,实数t的取值范围为[-2,1].
10.答案 -∞,-12∪[5,+∞)
解析 如图所示,直线PA的斜率k1=2-(-3)-1-(-2)=5,直线PB的斜率k2=0-23-(-1)=-12.
当直线l由PA变化到与y轴平行的位置PC时,它的倾斜角由锐角α(tan α=5)增至90°,斜率的取值范围是[5,+∞);当直线l由PC变化到PB位置时,它的倾斜角由90°增至βtanβ=-12,斜率的取值范围是-∞,-12.
所以直线l的斜率k的取值范围是-∞,-12∪[5,+∞).
解题模板
观察直线的变化规律,易得出:当倾斜角α取两角之间,且不含90°时,斜率k的范围在两边界直线的斜率之间;当倾斜角α取两角之间,且含90°时,斜率k的范围为两边界直线的斜率之外.
可简记为:α可取90°,k取其外;α不取90°,k取其中.利用此结论可速解客观题.
11.答案 110,0
信息提取 ①目标球从点A(-2,3)无旋转射入;②经过x轴(桌边)上的点P反弹后,经过点B(5,7).
数学建模 台球中的无旋转反弹,与光线的反射原理相同,其一是对称的模型,求A点关于x轴的对称点A',或求B点关于x轴的对称点B';其二是三点共线,A'、P、B三点共线,或A、P、B'三点共线.再用所学公式解决问题.
解析 设P(x,0),
A点关于x轴对称的点为A'(-2,-3),
依题意得,A'、P、B三点共线,
∵kA'P=0-(-3)x-(-2)=3x+2,kA'B=7-(-3)5-(-2)=107.
∴kA'P=kA'B,即3x+2=107,
解得x=110,故P点的坐标为110,0.
方法技巧
光线的反射问题的解决方法常用对称,若A点经P点反射至B点,则A点关于镜面的对称点A'与P、B共线,为反射线所在直线;B点关于镜面的对称点B'与P、A共线,为入射线所在直线.
12.解析 (1)若直线MN的倾斜角为锐角,则斜率大于0,即斜率k=2m+5-1m+3-(m-2)=2m+45>0,
解得m>-2.
故当m>-2时,直线MN的倾斜角为锐角.
(2)若直线MN的倾斜角为钝角,则斜率小于0,
即斜率k=2m+5-1m+3-(m-2)=2m+45<0,
解得m<-2.
故当m<-2时,直线MN的倾斜角为钝角.
(3)当直线MN垂直于x轴时,直线MN的倾斜角为直角,此时m+3=m-2,此方程无解,故直线MN的倾斜角不可能为直角.
易错警示
利用斜率公式,得到参数满足的等量关系式,注意分母不等于零.
13.解析 2y+1x+1=2×y+12x+1,而y+12x+1=y--12x-(-1)的几何意义是过M(x,y),N-1,-12两点的直线的斜率.
因为点M在函数y=-2x+8的图象上,且x∈[2,5],
所以点M在线段AB上,且A(2,4),B(5,-2),如图.
由于kNA=32,kNB=-14,
所以-14≤y+12x+1≤32,
所以-12≤2y+1x+1≤3,即2y+1x+1的取值范围是-12,3.