高中数学第二章 直线和圆的方程2.1 直线的倾斜角与斜率精品综合训练题

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2.1.1 倾斜角与斜率

课程标准
核心素养
1.在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素．
2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线斜率的计算公式.
数学抽象
直观想象





知识点1 直线的倾斜角
1．倾斜角的定义
当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．如图所示，直线l的倾斜角是∠APx，直线l′的倾斜角是∠BPx.



2．倾斜角的范围
直线的倾斜角α的取值范围是0°≤α＜180°，并规定与x轴平行或重合的直线的倾斜角为0°.
注：①每一条直线都有一个确定的倾斜角
②已知直线上一点和该直线的倾斜角，可以唯一确定该直线
【即学即练1】如图，直线l的倾斜角为(　　)
A．60° B．120°
C．30° D．150°
【解析】由图易知l的倾斜角为45°＋105°＝150°.故选D

【即学即练2】若直线l经过点M(2,3)，N(4,3)，则直线l的倾斜角为(　　)
A．0° B．30°
C．60° D．90°
【解析】因为M，N两点的纵坐标相等，所以直线l平行于x轴，所以直线l的倾斜角为0°.

【即学即练3】若直线l经过原点和(－1,1)，则它的倾斜角是(　　)
A．45°　　　　　　 B．135°
C．45°或135° D．－45°
【解析】作出直线l，如图所示，由图易知，应选B.


【即学即练4】【多选】下列说法中，正确的是(　　)
A．直线的倾斜角为α，且tan α＞0，则α为锐角
B．直线的斜率为tan α，则此直线的倾斜角为α
C．若直线的倾斜角为α，则sin α>0
D．任意直线都有倾斜角α，且α≠90°时，斜率为tan α
【解析】对于A，因0°≤α＜180°，且tan α＞0，则α为锐角，A正确；对于B，虽然直线的斜率为tan α，但只有0°≤α<180°时，α才是此直线的倾斜角，故B不正确；对于C，当直线平行于x轴时，α＝0°，sin α＝0，故C不正确，显然D正确．故选AD

知识点2　直线的斜率
1．斜率的定义
一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率．常用小写字母k表示，即k＝tanα.
2．斜率公式
经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝.当x1＝x2时，直线P1P2没有斜率．
注：①若直线l经过点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)，则直线P1P2的方向向量的坐标为(x2－x1，y2－y1)，也可表示为(1，k)，其中k＝.
②倾斜角不是的直线都有斜率，倾斜角不同，直线的斜率也不同；当 时，直线与轴垂直，直线的倾斜角，斜率不存在；当 时，斜率，直线的倾斜角，直线与轴重合或者平行
③斜率公式与两点坐标的顺序无关，横纵坐标的次序可以同时调换

【即学即练5】已知直线l的倾斜角为30°，则直线l的斜率为(　　)
A. B.
C．1 D.
【解析】由题意可知，直线l的斜率k＝tan 30°＝.

【即学即练6】直线经过点P(3,2)，Q(－3,3)，则k＝________.直线PQ的倾斜角为________角(填“钝”或“锐”)．
【解析】k＝＝－＜0，直线PQ的倾斜角为钝角．
答案：－　钝

知识点3 斜率与倾斜角的联系
倾斜角
（范围）




斜率
（范围）


不存在

【即学即练7】若A，B两点的横坐标相等，则直线AB的倾斜角和斜率分别是(　　)
A．45°，1　　　　　　　 B．135°，－1
C．90°，不存在 D．180°，不存在
【解析】由于A，B两点的横坐标相等，所以直线与x轴垂直，倾斜角为90°，斜率不存在．故选C.

【即学即练8】如图，直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则(　　)
A．k1＜k2＜k3　　 B．k3＜k1＜k2
C．k3＜k2＜k1 D．k1＜k3＜k2
【解析】直线l2，l3的倾斜角为锐角，且直线l2的倾斜角大于直线l3的倾斜角，所以0＜k3＜k2.直线l1的倾斜角为钝角，斜率k1＜0，所以k1＜k3＜k2.






考点一 求直线的倾斜角
解题方略：
求直线的倾斜角的方法及两点注意
(1)方法：结合图形，利用特殊三角形(如直角三角形)求角．
(2)两点注意：①当直线与x轴平行或重合时，倾斜角为0°，当直线与x轴垂直时，倾斜角为90°.
②注意直线倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°.
【例1-1】已知直线l经过第二、四象限，则直线l的倾斜角α的取值范围是(　　)
A．0°≤α＜90° B．90°≤α＜180°
C．90°＜α＜180° D．0°＜α＜180°
【解析】直线倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°，又直线l经过第二、四象限，所以直线l的倾斜角α的取值范围是90°＜α＜180°.故选C

【例1-2】设直线l过原点，其倾斜角为α，将直线l绕坐标原点沿逆时针方向旋转45°，得到直线l1，则直线l1的倾斜角为(　　)
A．α＋45°　　　　　　 B．α－135°
C．135°－α D．α＋45°或α－135°
【解析】由倾斜角的取值范围知，只有当0°≤α＋45°＜180°(0°≤α＜180°)，即0°≤α＜135°时，l1的倾斜角才是α＋45°.而0°≤α＜180°，所以当135°≤α＜180°时，l1的倾斜角为α－135°(如图)．故选D




考点二 求直线的斜率
解题方略：
1．利用斜率公式求直线的斜率应注意的事项
(1)运用公式的前提条件是“x1≠x2”，即直线不与x轴垂直，因为当直线与x轴垂直时，斜率是不存在的；
(2)斜率公式与两点P1，P2的先后顺序无关，也就是说公式中的x1与x2，y1与y2可以同时交换位置．
2．在0°≤α<180°范围内的一些特殊角的正切值要熟记.
倾斜角α
0°
30°
45°
60°
120°
135°
150°
斜率k
0

1

－
－1
－
【例2-1】经过下列两点的直线的斜率是否存在？如果存在，求其斜率，并确定直线的倾斜角α.
(1)A(2,3)，B(4,5)；
(2)C(－2,3)，D(2，－1)；
(3)P(－3,1)，Q(－3,10)．
【解析】(1)存在．直线AB的斜率kAB＝＝1，即tan α＝1，又0°≤α＜180°，所以倾斜角α＝45°.
(2)存在．直线CD的斜率kCD＝＝－1，即tan α＝－1，又 0°≤α＜180°，所以倾斜角α＝135°.
(3)不存在．因为xP＝xQ＝－3，所以直线PQ的斜率不存在，倾斜角α＝90°.

变式1：过点P(－2，m)，Q(m,4)两点的直线的方向向量为(1,2)，则m的值为________．
【解析】由斜率公式k＝＝2，得m＝0.

变式2：已知A(m，－m＋3)，B(2，m－1)，C(－1,4)，直线AC的斜率等于直线BC的斜率的3倍，求m的值．
【解析】由题意直线AC的斜率存在，即m≠－1.
∴kAC＝，kBC＝.
∴＝3·.
整理得：－m－1＝(m－5)(m＋1)，即(m＋1)(m－4)＝0，
∴m＝4或m＝－1(舍去)．∴m＝4.

考点三 斜率与倾斜角的关系
解题方略：
1．由倾斜角(或范围)求斜率(或范围)利用定义式k＝tan α(α≠90°)解决．
2．由两点坐标求斜率运用两点斜率公式k＝(x1≠x2)求解．
（一） 由倾斜角求斜率值（范围）
【例3-1】若直线l的斜率为k，倾斜角为α，且α∈∪，则k的取值范围是________．
【解析】∵α∈∪，
当≤α＜时，≤tan α＜1，∴≤k＜1.
当≤α＜π时，－≤tan α＜0，∴－≤k＜0.
∴k∈[－，0)∪.
答案：[－，0)∪

变式1：若经过两点A(2,1)，B(1，m2)的直线l的倾斜角为锐角，则m的取值范围是(　　)
A．(－∞，1) B．(－1，＋∞)
C．(－1,1) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
【解析】∵直线l的倾斜角为锐角，∴斜率k＝>0，∴－1
变式2：若直线的倾斜角为，且，则直线的斜率为（       ）
A．或 B．或 C． D．
【解析】由题意， ，由，则，所以.
于是，联立.
故选：C.

（二） 由斜率求倾斜角的值（范围）
【例3-2】已知a，b，c是两两不等的实数，则经过点P(b，b＋c)和点Q(a，c＋a) 的直线的倾斜角为(　　)
A．30° B．45°
C．60° D．135°
【解析】显然，经过点P和点Q的直线的斜率存在，由直线的斜率公式，得kPQ＝＝1.又tan 45°＝1，所以直线PQ的倾斜角为45°.故选B.

【例3-3】若直线的斜率，求直线倾斜角的范围.
【解析】直线l的斜率，，，结合正切函数在的单调性得.

变式1：设直线的斜率为，且，则直线的倾斜角的取值范围是（       ）
A． B．
C． D．
【解析】因为直线的斜率为，且，，因为，.
故选：A.

变式2：若直线经过，,两点，则直线的倾斜角的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
【解析】根据题意，直线经过，,，
∴直线的斜率，又，
∴，即，又，
∴；   
故选：D．

考点四 斜率公式的应用
解题方略：
（一） 利用直线斜率处理共线问题
【例4-1】已知a>0，若平面内三点A(1，－a)，B(2，a2)，C(3，a3)共线，则a＝________.
【解析】由题意知kAB＝kBC，
则＝，整理得a3－2a2－a＝0，
又a>0，故有a2－2a－1＝0，
解得a＝1＋或a＝1－(舍去)．
答案：1＋

变式1：若A(a，0)，B(0，b)，C(，)三点共线，则________.
【解析】由题意得，ab+2(a+b)=0，．
故答案为：．

【例4-2】若三点A(3,1)，B(－2，k)，C(8,1)能构成三角形，则实数k的取值范围为________．
【解析】kAB＝＝，kAC＝＝＝0.
要使A，B，C三点能构成三角形，需三点不共线，
即kAB≠kAC，∴≠0.∴k≠1.
答案：(－∞，1)∪(1，＋∞)

（二） 斜率公式的几何意义的应用
【例4-3】点在函数的图象上，当时，的取值范围是（       ）
A． B．
C． D．
【解析】因为点在函数的图象上，
所以时， ；当时，；
故设
而可看作函数的图象上的点与点 （-1，-2）连线的斜率，
故时，,
而 ,所以
故选：B.

变式1：若点P(x，y)在以A(－3,1)，B(－1,0)，C(－2,0)为顶点的△ABC的内部运动(不包含边界)，则的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
【解析】根据已知的条件，可知点P(x，y)是点A，B，C围成的△ABC内一动点，那么所求的几何意义是过动点P(x，y)与定点M(1,2)的直线的斜率．由已知，得kAM＝，kBM＝1，kCM＝.利用图象，可得的取值范围是.故选D.

考点五 直线与线段的相交关系求斜率的范围
解题方略：
涉及直线与线段有交点问题常数形结合利用公式求解．　
【例5-1】已知点A(2,1)，B(－2,2)，若直线l过点P且总与线段AB有交点，求直线l的斜率k的取值范围．
【解析】当直线l由位置PA绕点P转动到位置PB时，l的斜率逐渐变大直至当l垂直于x轴，当直线l垂直于x轴时，l无斜率，再转动时斜率为负值并逐渐变大直到PB的位置，所以直线l的斜率k≥kPA＝或k≤kPB＝－，即直线l的斜率k的取值范围为∪.




变式1：经过点作直线l，若直线l与连接，的线段总有公共点，则直线l的斜率k的取值范围为（       ）
A． B． C． D．
【解析】根据题意画图如下：

,在射线PA逆时针旋转至射线PB时斜率逐渐变大,
直线l与线段AB总有公共点，所以.
故选:A.

变式2：已知点，若直线与线段没有公共点，则的取值范围是（       ）
A． B．
C． D．
【解析】直线经过定点.

因为，所以,
所以要使直线与线段没有公共点，
只需：，即.
所以的取值范围是.
故选：A


题组A 基础过关练
1、【多选】下列说法中，正确的是（       ）
A．直线的倾斜角为，则此直线的斜率为
B．一条直线的倾斜角为
C．若直线的倾斜角为，则
D．任意直线都有倾斜角，且时，斜率为
【解析】对于A，直线的倾斜角为，当时，斜率不存在，A错误；
对于B，直线的倾斜角的范围为，，B错误；
对于C，直线的倾斜角的范围为，，则有，C正确；
对于D，任意直线都有倾斜角，且时，斜率为，D正确；
故选：CD.

2、已知点A（2，4），B（3，6），则直线AB的斜率为（       ）
A． B． C．2 D．-2
【解析】因为，所以.故选：C

3、过点的直线的倾斜角为（       ）
A． B． C．1 D．
【解析】过A、B的斜率为，则该直线的倾斜角为，故选：A．

4、已知直线l经过点A(1,2)，且不经过第四象限，则直线l的斜率k的取值范围是(　　)
A．(－1,0] B．[0,1]
C．[1,2] D．[0,2]
【解析】由图，可知当直线位于如图阴影部分所示的区域内时，满足题意，所以直线l的斜率满足0≤k≤2.故选D.

5、已知直线的斜率为，倾斜角为，若，则的取值范围为（       ）．
A． B．
C． D．
【解析】直线倾斜角为45°时，斜率为1，直线倾斜角为135°时，斜率为，
因为在上是增函数，在上是增函数，
所以当时，的取值范围是.
故选：B

6、若，，三点共线，则实数的值为
A．2 B． C． D．
【解析】因为，，三点共线，所以方向向量与共线，
所以，解得.
故选：C

7、已知直线的倾斜角的范围是，则此直线的斜率k的取值范围是（       ）
A． B．
C． D．
【解析】当直线的倾斜角时，直线的斜率，因，
则当时，，即，当时，，即，
所以直线的斜率k的取值范围是.
故选：D

8、若直线经过，,两点，则直线的倾斜角的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
【解析】根据题意，直线经过，,，∴直线的斜率，又，
∴，即，又，∴；   
故选：D．

9、已知点，，若，则直线的倾斜角的取值范围为（       ）
A．
B．或
C．或
D．或
【解析】根据题意，直线的斜率，
由，得的取值范围为，
即的取值范围为．
又，则或．
故选：B．
题组B 能力提升练
10、设，，直线过点且与线段相交，则的斜率的取值范围是（       ）
A．或 B．
C． D．或
【解析】
由题设可得，因为直线与线段相交，则或，
故选：D.

11、直线l过点，且与以为端点的线段相交，则直线l的斜率的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
【解析】∵直线l过点，且与以，为端点的线段相交，如图所示：

∴所求直线l的斜率k满足或，
，
则或，
∴，
故选：D．

12、【多选】已知两点，，直线l过点且与线段MN相交，则直线l的斜率k的取值范围是（       ）
A． B．
C． D．
【解析】，，
直线l过点且与线段MN相交，则或，
则直线l的斜率k的取值范围是：或．
故选：AB．

13、已知过点，的直线l的倾斜角为，若，则实数m的取值范围为______.
【解析】设直线l的斜率为k，
则，因为，
所以．所以，
即解得或.
故答案为： .


14、已知A(3,3)，B(－4,2)，C(0，－2)．
(1)求直线AB和AC的斜率；
(2)若点D在线段BC(包括端点)上移动时，求直线AD的斜率的变化范围．
【解析】(1)由斜率公式可得直线AB的斜率kAB＝＝.直线AC的斜率kAC＝＝.故直线AB的斜率为，直线AC的斜率为.
(2)如图所示，当D由B运动到C时，直线AD的斜率由kAB增大到kAC，所以直线AD的斜率的变化范围是.



题组C 培优拔尖练
15、已知两点A(－3,4)，B(3,2)，过点P(1,0)的直线l与线段AB有公共点．
(1)求直线l的斜率k的取值范围；
(2)求直线l的倾斜角α的取值范围．

【解析】如图，由题意可知kPA＝＝－1，kPB＝＝1，
(1)要使l与线段AB有公共点，则直线l的斜率k的取值范围是(－∞，－1]∪[1，＋∞)．
(2)由题意可知直线l的倾斜角介于直线PB与PA的倾斜角之间，又PB的倾斜角是45°，PA的倾斜角是135°，∴α的取值范围是45°≤α≤135°.

16、已知实数x，y满足y＝x2－2x＋2(－1≤x≤1)，试求的最大值和最小值．
【解析】如图，可知表示经过定点P(－2，－3)与曲线段AB上任一点(x，y)的直线的斜率k.
由已知条件，可得A(1,1)，B(－1,5)．
易知kPA≤k≤kPB.
由斜率公式得kPA＝，kPB＝8，
所以≤k≤8.
故的最大值是8，最小值是.