数学选择性必修 第一册第二章 直线和圆的方程2.5 直线与圆、圆与圆的位置同步测试题

这是一份数学选择性必修 第一册第二章 直线和圆的方程2.5 直线与圆、圆与圆的位置同步测试题，共20页。试卷主要包含了已知直线l过点P,且与圆O等内容，欢迎下载使用。

基础过关练
题组一 直线与圆的位置关系的判断
1.(2020湖北宜昌高二上期末)直线3x+4y+2=0与圆x2+y2-2x=0的位置关系是( )
A.相离B.相切C.相交D.无法判断
2.(2021吉林长春外国语学校高二上月考)已知直线l:(x+2)m+y-1=0,圆C:x2+y2=6,则直线l与圆C的位置关系一定是( )
A.相交B.相切C.相离D.不确定
3.(2020浙江温州高二上期末)若直线x-y=0与圆(x-1)2+(y+1)2=m相离,则实数m的取值范围是( )
A.(0,2]B.(1,2]C.(0,2)D.(1,2)
4.若点M(x0,y0)在圆x2+y2=R2外,则直线x0x+y0y=R2与圆的位置关系是( )
A.相切B.相交C.相离D.不确定
5.已知圆x2-2ax+y2=0(a>0)与直线x-3y+3=0相切,则a= .
题组二 圆的切线与弦长问题
6.(2020浙江杭州七县区高二上期末)直线y=x+1被圆x2+y2=2截得的弦长为( )
A.2 B.22 C.6 D.26
7.若圆x2+y2-2x+4y+m=0截直线x-y-3=0所得弦长为6,则实数m的值为( )
A.-1 B.-2 C.-4 D.-31
8.已知圆x2+y2=9的一条弦过点P(1,2),当弦长最短时,该弦所在直线的方程为( )
A.y-2=0 B.x+2y-5=0 C.2x-y=0 D.x-1=0
9.已知直线l过点P(2,4),且与圆O:x2+y2=4相切,则直线l的方程为( 易错 )
A.x=2或3x-4y+10=0 B.x=2或x+2y-10=0
C.y=4或3x-4y+10=0 D.y=4或x+2y-10=0
10.(2021吉林长春外国语学校高二上月考)过点M(-1,3)的圆x2+y2=4的切线方程为 .
11.过点P(-1,-2)引圆C:(x-1)2+(y-2)2=16的切线,则切线长为 .
题组三 直线与圆的位置关系的综合运用
12.(2021江西南昌二中高二上月考)若PQ是圆x2+y2=9的弦,PQ的中点是(1,2),则直线PQ的方程是( )
A.x+2y-3=0 B.x+2y-5=0 C.2x-y+4=0 D.2x-y=0
13.如图是一座圆拱桥,当水面在如图所示的位置时,拱桥顶部离水面2 m,水面宽12 m,若水面下降1 m,则水面的宽为 m.
14.(2020北京清华大学附中高二上)已知点P是圆x2+y2=2上的动点,Q是直线l:3x-4y+15=0上的动点,则|PQ|的最小值为 .
15.(2020浙江温州高二上期末)已知圆心C在直线2x-y-2=0上的圆经过点A(-1,2)和B(3,-2),且过点P(3,-1)的直线l与圆C相交于不同的两点M,N.
(1)求圆C的标准方程;
(2)若∠MCN=90°,求直线l的方程.
能力提升练
题组一 直线与圆的位置关系
1.(2021河北保定唐县一中高二上月考,)若过定点M(-1,0)且斜率为k的直线与圆x2+4x+y2-5=0在第一象限内的部分有交点,则k的取值范围是( )
A.02.(2021安徽阜阳太和一中高二上月考,)曲线y=1+4-x2与直线y=k(x-2)+4有两个不同的交点,则实数k的取值范围是( )
A.k≥34B.-34≤k<-512 C.k>512D.5123.()若圆(x-3)2+(y+5)2=r2上有且仅有两个点到直线4x-3y-2=0的距离为1,则半径r的取值范围是( )
A.[4,6)B.(4,6) C.[4,6]D.(4,6]
4.(多选)(2020广东佛山一中高二上期中,)已知圆M:(x+cs θ)2+(y-sin θ)2=1,直线l:y=kx,则下列命题中正确的是( )
A.对任意实数 k 和θ,直线 l 和圆 M 有公共点
B.对任意实数θ,必存在实数 k,使得直线 l 与圆 M 相切
C.对任意实数 k,必存在实数θ,使得直线l与圆M相切
D.存在实数 k 与θ,使得圆 M 上有一点到直线 l 的距离为 3
题组二 圆的切线与弦长问题
5.(2021浙江丽水五校共同体高二上阶段性考试,)由直线y=x+1上的点向圆(x-3)2+y2=1作切线,则切线长的最小值为( )
A.1D.3
6.(多选)(2021福建龙岩武平一中高二上第一次过关考试,)瑞士著名数学家欧拉在1765年提出定理:三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上.这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”.在平面直角坐标系中作△ABC,|AB|=|AC|=4,点B(-1,3),点C(4,-2),且其“欧拉线”与圆M:(x-3)2+y2=r2相切,则下列结论正确的是( )
A.圆M上的点到直线x-y+3=0的最小距离为22
B.圆M上的点到直线x-y+3=0的最大距离为32
C.若点(x,y)在圆M上,则x+3y的最小值是3-22
D.圆(x-a-1)2+(y-a)2=8与圆M有公共点,则a的取值范围是1-22≤a≤1+22
7.()一条光线从点(2,-3)射出,经x轴反射,其反射光线所在直线与圆(x-3)2+y2=1相切,则反射光线所在直线的方程为 .
8.()直线y=x+b被圆(x-1)2+(y-1)2=4截得的弦长的最大值是 ;若该圆上到直线y=x+b的距离等于1的点有且仅有4个,则b的取值范围是 .
9.()已知圆C:(x-3)2+(y-4)2=4.
(1)若直线l'过点A(2,3)且被圆C截得的弦长为23,求直线l'的方程;
(2)若直线l过点B(1,0)且与圆C相交于P,Q两点,求△CPQ的面积的最大值,并求出此时直线l的方程.
题组三 直线与圆的位置关系的综合运用
10.(2021河北石家庄二中高二月考,)若直线2ax-by+2=0(a>0,b>0)被圆x2+y2+2x-4y+1=0截得的弦长为4,则4a+1b的最小值是( )
A.9B.4
11.(2020山东济宁高二上期中,)已知AB为圆C:(x-1)2+y2=1的直径,点P为直线x-y+1=0上的任意一点,则PA·PB的最小值为( )
A.1
12.()已知点P(x,y)是直线kx+y+4=0(k>0)上一动点,PA、PB是圆C:x2+y2-2y=0的两条切线,A、B是切点,若四边形PACB的最小面积是2,则k的值为( )
A.3D.2
13.()过圆外一点P作圆O:x2+y2=1的两条切线PM,PN(M,N为切点),若∠MPN=90°,则动点P的轨迹方程是 .
14.(2019江苏镇江高二上期中,)在某海礁A处有一风暴中心,距离风暴中心A正东方向200 km的B处有一艘轮船,正沿北偏西α(α为锐角)角方向航行,速度大小为40 km/h.已知距离风暴中心180 km以内的水域受其影响.
(1)若轮船不被风暴影响,求角α的正切值的最大值;
(2)若轮船航行方向为北偏西45°,求轮船被风暴影响持续的时间.
15.()在△ABO中,|OB|=3,|OA|=4,|AB|=5,P是△ABO的内切圆上的一点,求以|PA|,|PB|,|PO|为直径的三个圆的面积之和的最大值与最小值.
16.(2021重庆八中高二上月考,)已知圆C的方程为(x-2)2+y2=25.
(1)设点M-1,32,过点M作直线l与圆C交于A,B两点,若|AB|=8,求直线l的方程;
(2)设P是直线x+y+6=0上的点,过点P作圆C的切线PD,PE,切点为D,E.求证:经过D,P,C三点的圆必过定点,并求出所有定点的坐标.
答案全解全析
基础过关练
1.B 圆的方程可化为(x-1)2+y2=1,
∴圆心为(1,0),半径r=1.
因此圆心到直线的距离d=|3+0+2|32+42=1=r,
∴直线3x+4y+2=0与圆x2+y2-2x=0相切,故选B.
2.A 由直线方程可得y-1=-m(x+2),因此直线l过定点(-2,1),设为A,因此|AC|=(-2)2+12=5<6=r.
故A点在圆C的内部,从而直线l与圆C一定相交,故选A.
3.C 由题得圆心到直线的距离d=|1+1|12+(-1)2>m,所以m<2,因为m>0,所以04.B ∵点M(x0,y0)在圆x2+y2=R2外,∴x02+y02>R2,∴圆心(0,0)到直线x0x+y0y=R2的距离d=|-R2|x02+y025.答案 3
解析 将圆的方程整理为标准方程为(x-a)2+y2=a2.
由题意得,圆心(a,0)到直线x-3y+3=0的距离d=|a+3|12+(-3)2=a,又a>0,所以a=3.
6.C 由圆x2+y2=2,可得圆心为(0,0),半径为2,
∴圆心到直线y=x+1的距离d=|0-0+1|12+(-1)2=22,
故弦长为2(2)2-222=6,故选C.
7.C 圆的方程可化为(x-1)2+(y+2)2=5-m,∴圆心为(1,-2).
设圆心到直线的距离为d,则d=|1+2-3|2=0,因此弦长6就是直径2r,∴r=3.
∴r2=5-m=9⇒m=-4,故选C.
8.B 当弦长最短时,该弦所在直线与过点P(1,2)的直径垂直.已知圆心为(0,0),
所以过点P(1,2)的直径所在直线的斜率k=2-01-0=2,故所求直线的斜率为-12,
所以所求直线方程为y-2=-12(x-1),即x+2y-5=0.
9.A 由22+42=20>4,得点P在圆外.
当过点P的切线斜率存在时,设所求切线的斜率为k,
则切线方程为y-4=k(x-2),即kx-y-2k+4=0,
∴|-2k+4|1+k2=2,解得k=34.
故所求切线方程为3x-4y+10=0.
当过点P的切线斜率不存在时,方程为x=2,也满足条件.
故直线l的方程为3x-4y+10=0或x=2.故选A.
易错警示 切线的斜率存在时,设过点P的圆的切线斜率为k,写出点斜式方程再化为一般式.根据圆心到切线的距离等于圆的半径这一性质,由点到直线的距离公式列出含k的方程,由方程解得k,然后代回所设切线方程即可.切线斜率不存在时,直接验证直线方程是否满足条件即可.
本题要注意到点在圆外,所求切线有两条,特别注意当直线斜率不存在时的情况,不要漏解.
10.答案 x-3y+4=0
解析 ∵(-1)2+(3)2=4,∴M点在圆x2+y2=4上,
因此k切·kOM=-1,即k切·3-0-1-0=-3,
∴k切=33,又切线过点M(-1,3),
∴切线方程为y-3=33(x+1),即x-3y+4=0.
11.答案 2
解析 设切点为A,则PA⊥CA,从而|PC|2=|PA|2+|CA|2,
∴(-1-1)2+(-2-2)2=|PA|2+42,
解得|PA|=2,即切线长为2.
12.B 因为PQ的中点与圆心连成的线段垂直于PQ,所以kPQ=-1-02-0=-12,
所以直线PQ的方程是y-2=-12(x-1),即x+2y-5=0,故选B.
13.答案 251
解析 如图,建立平面直角坐标系,
设初始水面在AB处,则由已知得A(6,-2),设圆C的半径长为r(r>0),则C(0,-r),故圆C的方程为x2+(y+r)2=r2,将A(6,-2)代入,得r=10,所以圆C的方程为x2+(y+10)2=100.①
当水面下降1 m到A'B'时,设A'(x0,-3)(x0>0).将A'(x0,-3)代入①式,得x0=51,所以水面下降1 m后,水面宽为251 m.
14.答案 3-2
解析 因为圆心到直线的距离d=1532+(-4)2=3>2,所以直线与圆相离,
所以圆上的点到直线的距离的最小值为d-2=3-2.
15.解析 (1)易求得AB的中点为(1,0),且kAB=-1,
∴线段AB的中垂线方程为x-y-1=0.
由x-y-1=0,2x-y-2=0,得圆心C的坐标为(1,0),∴半径|CA|=22,
故圆C的标准方程为(x-1)2+y2=8.
(2)当∠MCN=90°时,圆心C到直线l的距离为2.
若直线l的斜率存在,则设直线l:y+1=k(x-3),即kx-y-3k-1=0,
∴圆心C(1,0)到直线l的距离d=|-2k-1|k2+1=2,解得k=34,
∴直线l的方程为3x-4y-13=0.
若直线l的斜率不存在,则直线l的方程为x=3,符合题意.
综上所述,所求直线l的方程为x=3或3x-4y-13=0.
能力提升练
1.A 圆的方程可化为(x+2)2+y2=32,
∴圆心坐标为(-2,0),半径r=3.
令x=0,得y=±5,
如图所示,设A(0,5),则kMA=5-00-(-1)=5.
∵过M(-1,0)的直线与圆在第一象限内的部分有交点,∴02.D 曲线y=1+4-x2可化为x2+(y-1)2=4(y≥1),
∴y=1+4-x2表示以(0,1)为圆心,2为半径的圆的上半部分,
直线y=k(x-2)+4恒过定点(2,4),设为A,可得图象如图所示.
当直线y=k(x-2)+4为圆的切线时,可得圆心到直线的距离d=|3-2k|k2+1=2,解得k=512;
当直线y=k(x-2)+4过点B(-2,1)时,k=4-12+2=34.
由图象可知,当y=k(x-2)+4与曲线有两个不同交点时,5123.B 由(x-3)2+(y+5)2=r2,可得其圆心为(3,-5),设为M,
根据点到直线的距离公式可得M(3,-5)到直线4x-3y-2=0的距离d=|12+15-2|16+9=5,
设与直线4x-3y-2=0的距离是1的直线为4x-3y+C=0.
根据平行线间距离公式可得1=|C+2|16+9,
解得C=-7或C=3,
∴与直线4x-3y-2=0的距离是1的直线有两条,分别是4x-3y-7=0和4x-3y+3=0.
又∵圆心M(3,-5)到直线4x-3y-7=0的距离为|12+15-7|16+9=4,
圆心M(3,-5)到直线4x-3y+3=0的距离为|12+15+3|16+9=6,
∴如果圆与直线4x-3y+3=0相交,那么圆也肯定与直线4x-3y-7=0相交,交点个数多于两个,于是圆上点到直线4x-3y-2=0的距离等于1的点不止两个,
∴圆与直线4x-3y+3=0不相交.
如果圆与直线4x-3y-7=0的距离小于或等于1,那么圆与直线4x-3y-7=0和直线4x-3y+3=0的交点个数和至多为1个,
∴圆只能与直线4x-3y-7=0相交,与直线4x-3y+3=0相离,
∴44.AC 圆心M(-cs θ,sin θ)到直线l的距离d=|-kcsθ-sinθ|k2+(-1)2=1+k2|sin(θ+φ)|k2+1
=|sin(θ+φ)|,其中tan φ=k.
∵d≤1,∴直线l与圆M有公共点,A正确;
当θ=0时,d=|-k|k2+1<1恒成立,即不存在k使得直线l和圆M相切,B错误;
不论k为何值,d=|sin(θ+φ)|=1有解,
即存在实数θ,使得直线l与圆M相切,C正确;
∵d≤1,且圆上任一点到直线l的距离不超过d+1,∴d+1≤2,D错误.
故选AC.
5.B 切线长的最小值是当直线y=x+1上的点与圆心距离最小时取得,
易知圆心(3,0)到直线的距离d=|3-0+1|2=22,圆的半径r为1,所以切线长的最小值为d2-r2=8-1=7,故选B.
6.ACD 由点B(-1,3),点C(4,-2)可得线段BC的中点为32,12,且直线BC的斜率kBC=3-(-2)-1-4=-1,
所以线段BC的垂直平分线的方程为y-12=x-32,即x-y-1=0.
又圆M:(x-3)2+y2=r2的圆心为(3,0),直线x-y-1=0与圆M相切,
所以点(3,0)到直线x-y-1=0的距离为|3-1|2=2=r,所以圆M:(x-3)2+y2=2.
对于A、B,圆M的圆心(3,0)到直线x-y+3=0的距离d=|3+3|2=32,所以圆上的点到直线x-y+3=0的最小距离为32-2=22,最大距离为32+2=42,故A正确,B错误;
对于C,令z=x+3y,即x+3y-z=0,当直线x+3y-z=0与圆M相切时,圆心(3,0)到直线x+3y-z=0的距离为|3-z|2=2,解得z=3+22或z=3-22,则x+3y的最小值是3-22,故C正确;
对于D,圆(x-a-1)2+(y-a)2=8的圆心为(a+1,a),半径为22,若该圆与圆M有公共点,则22-2≤(a+1-3)2+a2≤22+2,即2≤(a-2)2+a2≤18,解得1-22≤a≤1+22,故D正确.故选ACD.
7.答案 x=2或4x+3y-17=0
解析 点(2,-3)关于x轴的对称点为(2,3),
当斜率存在时,设反射光线的斜率为k,则反射光线的方程为y-3=k(x-2),即kx-y+3-2k=0,
因为反射光线与圆(x-3)2+y2=1相切,
所以圆心到反射光线的距离d=1,即|3k+3-2k|k2+(-1)2=1,解得k=-43,所以反射光线所在直线的方程为4x+3y-17=0;
当斜率不存在时,反射光线所在直线的方程为x=2,此时也与圆(x-3)2+y2=1相切.
故答案为x=2或4x+3y-17=0.
8.答案 4;(-2,2)
解析 当直线y=x+b过圆心时,截得的弦长最大,因为圆(x-1)2+(y-1)2=4的半径为2,所以弦长的最大值为4.
要使该圆上到直线y=x+b的距离等于1的点有且仅有4个,
则圆心到直线的距离d=|1-1+b|1+1=|b|2∈[0,1),所以b∈(-2,2).
9.解析 (1)圆C的圆心坐标为C(3,4),半径R=2.
∵直线l'被圆C截得的弦长为23,∴由勾股定理得圆心C到直线l'的距离为1.
①当直线l'的斜率不存在时,l':x=2,显然满足;
②当直线l'的斜率存在时,设l':y-3=k(x-2),即kx-y+3-2k=0,
由圆心C到直线l'的距离为1,得|k-1|1+k2=1,解得k=0,故直线l'的方程为y=3.
综上所述,直线l'的方程为x=2或y=3.
(2)∵直线与圆相交,∴l的斜率一定存在且不为0,设直线l的方程为y=k(x-1),
即kx-y-k=0,
则圆心C到直线l的距离d=|2k-4|1+k2,
∴△CPQ的面积S=12×d×24-d2
=d4-d2=d2(4-d2)=-(d2-2)2+4,
当d=2时,S取最大值,为2,
由d=|2k-4|1+k2=2,得k=1或k=7,
∴直线l的方程为x-y-1=0或7x-y-7=0.
10.A 圆的标准方程为(x+1)2+(y-2)2=4,故圆的半径为2.
因为直线2ax-by+2=0(a>0,b>0)被圆x2+y2+2x-4y+1=0截得的弦长为4,所以直线必定经过圆心(-1,2),所以-2a-2b+2=0,即a+b=1,所以4a+1b=4a+1b(a+b)=5+4ba+ab,因为a>0,b>0,所以由基本不等式得4ba+ab≥24ba·ab=4,当且仅当a=23,b=13时,等号成立,所以4a+1b的最小值为9.
11.A 如图所示,连接PC.
∵PA=PC+CA,PB=PC+CB=PC-CA,
∴PA·PB=(PC+CA)·(PC-CA)
=|PC|2-|CA|2=|PC|2-1.
设圆心C到直线x-y+1=0的距离为d,
则|PC|min=d=|1-0+1|2=2,
∴(PA·PB)min=|PC|min2-1=2-1=1,故选A.
12.D 如图所示,由题意得|PA|=|PB|,连接PC,∵|AC|=|BC|,∠PAC=∠PBC=90°,∴Rt△PAC≌Rt△PBC,
∴四边形PACB的面积为△PAC面积的两倍.
圆C的标准方程为x2+(y-1)2=1,圆心为C(0,1),半径r=1,
∵四边形PACB的最小面积是2,∴△PAC面积的最小值为1,
又S△PAC=12|PA|·|AC|=12|PA|≥1,
∴|PA|≥2,
由勾股定理得|PC|=|PA|2+r2=|PA|2+1≥5,
当直线PC与直线kx+y+4=0(k>0)垂直时,|PC|取最小值5,
即|PC|min=|1+4|k2+1=5,整理得k2=4,
又k>0,∴k=2.
故选D.
13.答案 x2+y2=2
解析 设点P的坐标为(x,y),则|PO|=x2+y2.
∵∠MPN=90°,∴四边形OMPN为正方形,∴|PO|=2|OM|=2,
∴x2+y2=2,即x2+y2=2.
14.解析 (1)根据题意画出图形,如图所示,
则圆的方程为x2+y2=1802,
设过点B(200,0)的直线方程为y=k(x-200),k<0,即kx-y-200k=0,k<0,
则圆心O(0,0)到直线的距离为|-200k|k2+1=180,化简得19k2=81,
∴k=-919(正值舍去),
∴tan(90°+α)=-919,∴-1tanα=-919,
∴tan α=199,
∴若轮船不被风暴影响,则角α的正切值的最大值为199.
(2)若轮船航行方向为北偏西45°,则直线方程为x+y=200,
则圆心O到该直线的距离d=|-200|2=1002,
弦长为2r2-d2=21802-(1002)2=4031,
则轮船被风暴影响持续的时间为403140=31 h.
15.解析 如图,建立平面直角坐标系,使A,B,O三点的坐标分别为A(4,0),B(0,3),O(0,0).
设△AOB的内切圆的半径为r,点P的坐标为(x,y).
则2r+|AB|=|OA|+|OB|,∴r=1,∴内切圆的方程为(x-1)2+(y-1)2=1,
整理得x2+y2-2y=2x-1.①
又|PA|2+|PB|2+|PO|2=(x-4)2+y2+x2+(y-3)2+x2+y2=3x2+3y2-8x-6y+25,②
∴将①代入②,得|PA|2+|PB|2+|PO|2=3(2x-1)-8x+25=-2x+22.
∵P(x,y)是内切圆上的点,∴0≤x≤2,
∴|PA|2+|PB|2+|PO|2的最大值为22,最小值为18.
又以|PA|,|PB|,|PO|为直径的三个圆的面积之和为π|PA|22+π|PB|22+π|PO|22=π4(|PA|2+|PB|2+|PO|2),
∴以|PA|,|PB|,|PO|为直径的三个圆的面积之和的最大值为112π,最小值为92π.
16.解析 (1)根据题意,可得圆心C(2,0),半径r=5,
①若直线l的斜率不存在,即l:x=-1,代入圆的方程(x-2)2+y2=25,可得y=±4,此时|AB|=8,符合题意;
②若直线l的斜率存在,设直线l的方程为y-32=k(x+1),即2kx-2y+3+2k=0.
设圆心C到直线l的距离为d,
因为|AB|=8,所以2r2-d2=225-d2=8,解得d=3,
所以d=|4k-0+3+2k|4+4k2=3,解得k=34,
所以直线l的方程为y-32=34(x+1),即3x-4y+9=0.
综上所述,直线l的方程为x=-1或3x-4y+9=0.
(2)由点P是直线x+y+6=0上的点,设点P(m,-m-6),
根据切线的性质,可得DC⊥PD,
所以经过D,P,C三点的圆为以PC为直径的圆,
则圆的方程为(x-2)(x-m)+y(y+m+6)=0,
整理得(x2+y2-2x+6y)+m(y-x+2)=0,
令x2+y2-2x+6y=0,y-x+2=0,
解得x=2,y=0或x=-2,y=-4,
即经过D,P,C三点的圆必经过定点(2,0),(-2,-4).