全书综合测评-2022版数学选择性必修第一册 苏教版（2019） 同步练习 （Word含解析）

这是一份全书综合测评-2022版数学选择性必修第一册 苏教版（2019） 同步练习 （Word含解析），共16页。

全书综合测评
(满分:150分;时间:120分钟)
一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.直线x-3y-3=0的倾斜角为 (　　)
A.π6　　　　B.π3　　　　C.2π3　　　　D.5π6
2.函数f(x)=1+1x的图象在点12, f12处的切线的斜率为 (　　)
A.2　　　　B.-2　　　　C.4　　　　D.-4
3.已知F1,F2为定点,F1F2=4,在同一平面内的动点M满足MF1+MF2=t(t为常数),且t≥4,则动点M的轨迹是 (　　)
A.椭圆　　　　B.线段　　　　C.圆　　　　D.线段或椭圆
4.在等比数列{an}中,a2+a3=1,a4+a5=2,则 a6+a7= (　　)
A.2　　　　B.22　　　　C.4　　　　D.42
5.已知两圆的方程分别是C1:(x-3)2+(y+2)2=1,C2:(x-7)2+(y-1)2=36,则这两圆的位置关系是 (　　)
A.内含　　　　B.内切　　　　C.相交　　　　D.外切
6.我国古代数学名著《增删算法统宗》中有如下问题:“一个公公有九个儿,若问生年总不知,知长排来争三岁,其年二百七岁期,借问长儿多少岁,各儿岁数要详推.”其大致意思是:一个公公有九个儿子,若问他们的生年是不知道的,但从老大的生年开始排列,后面每个儿子都比前面一个儿子小3岁,九个儿子共207岁,则老大的岁数是 (　　)
A.38　　　　B.35　　　　C.32　　　　D.29
7.已知在平面直角坐标系xOy中,双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左焦点为F,点M,N在双曲线C上,若四边形OFMN为菱形,则双曲线C的离心率为 (　　)
A.3-1　　　　B.5-1　　　　C.3+1　　　　D.5+1
8.已知函数f(x)=ln x+ax2+(2+a)x(a<0),g(x)=xex-2,对任意的x0∈(0,2],关于x的方程f(x)=g(x0)在(0,e]上都有实数根,则实数a的取值范围为 (　　)
(其中e=2.718 28…为自然对数的底数)
A.-1e,0　　　　B.-∞,-1e
C.[-e,0)　　　　D.(-∞,-e]
二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多个选项符合题目要求,全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分)
9.已知方程mx2+ny2=1(m,n∈R),则 (　　)
A.当mn>0时,方程表示椭圆
B.当mn<0时,方程表示双曲线
C.当m=0时,方程表示两条直线
D.此方程表示的曲线不可能为抛物线
10.设等差数列{an}的首项为a1,公差为d,其前n项和为Sn,已知S16>0,S17<0,则下列结论正确的是 (　　)
　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.a1>0,d<0　　　　B.a8+a9>0
C.S8与S9均为Sn的最大值　　　　D.a9<0
11.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F到其准线的距离为2,过点F的直线与抛物线交于P,Q两点,M为线段PQ的中点,O为坐标原点,则 (　　)
A.抛物线C的准线方程为y=-1
B.线段PQ的长度的最小值为4
C.S△OPQ≥2
D.OP·OQ=-3
12.已知f(x)=ex·x3,则下列结论正确的是 (　　)
A. f(x)在R上单调递增
B. f(log52)< f(e-12) C.方程f(x)=-1有实数根
D.存在实数k,使得方程f(x)=kx有4个实数根
三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.将答案填在题中横线上)
13.在平面直角坐标系xOy中,已知直线l1:x+ay=0和直线l2:2x-(a-3)y-4=0,a∈R,若l1与l2平行,则l1与l2之间的距离为　　　　. 
14.已知数列{an}的前n项和为Sn,若a1=1,an+1=3Sn(n∈N*),则a6=　　　　. 
15.已知函数f(x)=x3+ax2+x+1在区间-23,-13内是减函数,则实数a的取值范围是　　　　. 
16.已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的短轴长为2,上顶点为A,左顶点为B,左、右焦点分别是F1、F2,且△F1AB的面积为2-32,则椭圆的标准方程为　　　　　　;若点P为椭圆上的任意一点,则1PF1+1PF2的取值范围是　　　　.(第一个空2分,第二个空3分) 
四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分10分)在① S4-a3=a6;②S3是a1与a9的等差中项;
③a1+a3+a5+a7+a9=5S3这三个条件中任选一个,补充在下面的问题中,并解答.
记Sn 为等差数列{an}的前n项和,已知a3=5,且　　　　　. 
(1)求{an}的通项公式;
(2)在(1)的条件下,记bn=1an·an+1,求数列{bn}的前n项和Tn.
注:选择多个条件分别解答时,按第一个解答计分.








18.(本小题满分12分)已知某曲线C:x2+y2+2x-4y+a=0.
(1)若此曲线是圆,求a的取值范围,并求出其圆心和半径;
(2)若a=1,且此曲线与直线l:x-y+1=0相交于M,N两点,求弦长MN.












19.(本小题满分12分)设数列{an}的前n项和为Sn,已知S2=4,an+1=2Sn+1(n∈N*).数列{bn}是首项为a1,公差不为零的等差数列,且b1,b2,b7成等比数列.
(1)求数列{an}和{bn}的通项公式;
(2)若cn=bnan,数列{cn}的前n项和为Tn,且Tn















20.(本小题满分12分)新冠肺炎疫情发生后,某地政府为了支持企业复工复产,决定向当地企业发放补助款,其中对纳税额x(万元)在[4,8]之间的小微企业做统一方案,方案要求同时具备下列两个条件:①补助款f(x)(万元)随企业原纳税额x(万元)的增加而增加;②补助款不低于原纳税额的50%.经测算,政府决定采用f(x)=x4-mx+4(其中m为参数)作为补助款发放的函数模型.
(1)当参数m=13时是否满足条件,并说明理由;
(2)求同时满足条件①②的参数m的取值范围.














21.(本小题满分12分)已知抛物线C:x2=2py(p>0)的准线方程为y=-1,直线l过点P(0,-1),且与抛物线C交于A,B两点.点A关于y轴的对称点为A',连接A'B.
(1)求抛物线C的标准方程;
(2)问直线A'B是否过定点?若是,求出定点坐标;若不是,请说明理由.













22.(本小题满分12分)已知函数f(x)=ex-1-x-ax2,g(x)=bx-bln x,其中e为自然对数的底数.
(1)若当x≥0时,不等式f(x)≥0恒成立,求实数a的取值范围;
(2)若x>0,证明:(ex-1)ln(x+1)>x2.
















答案全解全析
一、单项选择题
1.A　直线x-3y-3=0可化为y=33x-3,斜率k=tan α=33,又α∈[0,π),∴α=π6.故选A.
2.D　因为f(x)=1+1x,所以f '(x)=-1x2, 所以 f '12=-4.故选D.
3.D　当t=4时,点M的轨迹是线段F1F2;当t>4时,点M的轨迹是椭圆.故选D.
4.C　设等比数列{an}的公比为q,则a4+a5a2+a3=a2q2+a3q2a2+a3=q2=2,
∴a6+a7=a4q2+a5q2=(a4+a5)q2=2×2=4.故选C.
5.B　根据两圆的方程得到两圆的圆心间的距离d=(7-3)2+(1+2)2=5,又圆C1的半径r1=1,圆C2的半径r2=6,且d,r1,r2满足r2-r1=d,所以两圆内切.
6.B　由题意可知,九个儿子的年龄可以看成以老大的年龄为首项,公差为-3的等差数列,记此等差数列为{an},则9a1+9×82×(-3)=207,解得a1=35,故选B.
7.C　由题意可知OF=c,由四边形OFMN为菱形,可得MN=OF=c,设点M在F的上方,可知M、N关于y轴对称,可设M-c2,3c2,代入双曲线方程可得
-c22a2-3c22b2=1,结合a2+b2=c2,可得c4+4a4-8a2c2=0,两边同除以a4,可得e4+4-8e2=0,解得e2=4+23或e2=4-23,因为e>1,所以e=4+23=(1+3)2=3+1,故选C.
8.C　由题意,g(x)=xex-2,x∈(0,2],g'(x)=ex-xex(ex)2=1-xex,
令g'(x)=0,得x=1,当00;
当1 且g(0)=-2,g(2)=2e2-2>-2,
设g(x)=xex-2,x∈(0,2]的值域为A,则A=-2,1e-2.
设f(x)=ln x+ax2+(2+a)x,x∈(0,e]的值域为B,
因为对任意的x0∈(0,2],关于x的方程f(x)=g(x0)在(0,e]上都有实数根,
所以A⊆B.因为当x→0+, f(x)→-∞,所以只需f(x)max≥1e-2.
易得f'(x)=1x+2ax+2+a=(2x+1)(ax+1)x,
令f'(x)=0,得x=-1a或x=-12(舍去),
当-1a≥e,即-1e≤a<0时, f(x)在(0,e]上是增函数,
则f(x)max=f(e)=1+ae2+2e+ae≥1e-2,
解得a≥-2e+e-1e3+e2,∴-1e≤a<0.
当-1a 在-1a,e上单调递减,则f(x)max=f-1a=ln -1a+1a-2a-1≥1e-2,
即ln -1a-1a≥1e-1,令h(x)=ln x+x,易知h(x)在(0,+∞)上单调递增,
而h1e=1e-1, 于是-1a≥1e,解得-e≤a<-1e.
综上,实数a的取值范围为-e≤a<0.
二、多项选择题
9.BD　当mn>0时,将原方程整理,得x21m+y21n=1,若m,n同负或1m=1n,则方程不表示椭圆,A错误;当mn<0时,1m与1n异号,方程表示双曲线,B正确;当m=0时,方程为ny2=1,当n≤0时,方程无解,故C错误;无论m、n为何值,此方程都不可能表示抛物线,D正确.故选BD.
10.ABD　∵S16=16(a1+a16)2>0,
∴a8+a9=a1+a16>0,∴B正确.
又S17=17(a1+a17)2=17a9<0,∴a9<0,
∴a8>0,∴d=a9-a8<0,∴a1>0,∴A、D正确.
易知S8是Sn的最大值,S9不是Sn的最大值,∴C错误.故选ABD.
11.BCD　因为抛物线的焦点F到其准线的距离为2,所以p=2,所以抛物线C的焦点为F(1,0),准线方程为x=-1,故选项A错误;
当直线PQ垂直于x轴时,线段PQ的长度最小,此时不妨设P(1,2),Q(1,-2),所以PQmin=4,故选项B正确;
设P(x1,y1),Q(x2,y2),直线PQ的方程为x=my+1,联立x=my+1,y2=2px,消去x,将p=2代入可得y2-4my-4=0,所以y1+y2=4m,y1y2=-4,S△OPQ=12×OF×|y1-y2|=12×1×(y1+y2)2-4y1y2=12×16m2+16≥2,当且仅当m=0时“=”成立,故选项C正确;
x1x2=(my1+1)(my2+1)=m(y1+y2)+m2y1y2+1=1,y1y2=-4,所以OP·OQ=x1x2+y1y2=-3,故选项D正确.故选BCD.
12.BCD　∵f(x)=ex·x3,
∴f '(x)=ex(x3+3x2).
令f '(x)=0,得x=0或x=-3.
当x<-3时, f '(x)<0, f(x)单调递减,
当x>-3时, f '(x)≥0, f(x)单调递增,A错误.
又0 ∴f(log52)< f(e-12)< f(ln π),B正确.
∵f(0)=0, f(-3)=e-3·(-3)3=-3e3<-1,
∴f(x)=-1有实数根,C正确.
显然x=0是方程f(x)=kx的根,
当x≠0时,k=f(x)x=ex·x2,设g(x)=ex·x2(x≠0),则g'(x)=x(x+2)ex,
令g'(x)=0,得x=0或x=-2.当x发生变化时,g'(x),g(x)的变化情况如下表:
x
(-∞,-2)
-2
(-2,0)
0
(0,+∞)
g'(x)
+
0
-
0
+
g(x)
↗
4e2
↘
0
↗
画出函数g(x)的大致图象,如图所示,

∴当0 三、填空题
13.答案　2
解析　由于直线l1与l2平行,则2a=-(a-3)且0≠-4a,解得a=1,所以直线l1的方程为x+y=0,直线l2的方程为x+y-2=0,因此,直线l1与l2之间的距离为212+12=2.
14.答案　768
解析　由an+1=3Sn,得Sn+1-Sn=3Sn,即Sn+1=4Sn,又S1=a1=1,所以数列{Sn}是首项为1,公比为4的等比数列,所以Sn=4n-1,所以a6=S6-S5=45-44=3×44=768.
15.答案　[2,+∞)
解析　∵f(x)=x3+ax2+x+1,∴f '(x)=3x2+2ax+1,∵函数f(x)在区间-23,-13内是减函数,
∴f '(x)≤0在区间-23,-13内恒成立,即a≥-3x2-12x在区间-23,-13内恒成立,令g(x)=-3x2-12x-230,g(x)单调递增,
又g-23=74,g-13=2,∴g(x)<2,∴a≥2.
16.答案　x24+y2=1;[1,4]
解析　由题意可知2b=2,则b=1,S△F1AB=12(a-c)b=a-c2=2-32,
故有a-c=2-3,b2=a2-c2=1,a>0,b>0,解得a=2,c=3,所以椭圆的标准方程为x24+y2=1.由题意可得2-3≤PF1≤2+3,PF1+PF2=2a=4,
所以1PF1+1PF2=PF1+PF2PF1·PF2=4PF1·(4-PF1),因为PF1·(4-PF1)=-(PF1-2)2+4∈[1,4],所以1PF1+1PF2=4PF1·(4-PF1)∈[1,4].
四、解答题
17.解析　(1)选择条件①:
设等差数列{an}的公差为d,
则a1+2d=5,4a1+4×32d-a1-2d=a1+5d, (2分)
解得a1=1,d=2, (4分)
∴an=2n-1. (5分)
选择条件②:
设等差数列{an}的公差为d,
则a1+2d=5,23a1+3×22d=a1+a1+8d, (2分)
解得a1=1,d=2, (4分)
∴an=2n-1. (5分)
选择条件③:
设等差数列{an}的公差为d,
则a1+2d=5,5a5=5(a1+4d)=53a1+3×22d, (2分)
解得a1=1,d=2, (4分)
∴an=2n-1. (5分)
(2)由(1)可得bn=1an·an+1=1(2n-1)(2n+1)=1212n-1-12n+1, (7分)
∴Tn=b1+b2+…+bn
=1211-13+13-15+…+12n-1-12n+1
=121-12n+1=n2n+1. (10分)
18.解析　(1)方程x2+y2+2x-4y+a=0可化为(x+1)2+(y-2)2=5-a. (2分)
若其曲线是圆,则5-a>0,得a<5. (4分)
其圆心坐标为C(-1,2),半径r=5-a. (6分)
(2)当a=1时,曲线的方程为(x+1)2+(y-2)2=4, (7分)
它表示的是圆,圆心为C(-1,2),半径r=2. (8分)
圆心到直线l的距离d=|-1-2+1|2=2. (10分)
∴弦长MN=2r2-d2=24-2=22. (12分)
19.解析　(1)∵an+1=2Sn+1(n∈N*),①
∴当n≥2时,an=2Sn-1+1,②
①-②,化简可得an+1=3an, (1分)
即数列{an}是以3为公比的等比数列, (2分)
又∵S2=4,
∴a1+3a1=4,
解得a1=1,即an=3n-1. (3分)
设数列{bn}的公差为d(d≠0),b1=a1=1,
∵b1,b2,b7成等比数列,
∴1×(1+6d)=(1+d)2, (4分)
解得d=4或d=0(舍去),
即bn=4n-3,
∴数列{an}和{bn}的通项公式分别为an=3n-1,bn=4n-3. (6分)
(2)由(1)得cn=bnan=4n-33n-1, (7分)
∴Tn=130+5×131+9×132+…+(4n-3)13n-1,③
13Tn=131+5×132+9×133+…+(4n-7)×13n-1+(4n-3)13n,④
③-④,得23Tn=1+4×131+4×132+…+4×13n-1-(4n-3)13n
=3-(4n+3)13n. (10分)
∴Tn=92-3(4n+3)213n,即有Tn<92恒成立,
由Tn 可得m≥92,
即m的取值范围是92,+∞. (12分)
易错警示　(1)利用an=Sn-Sn-1(n≥2)求an时,要注意n≥2这一限制条件;(2)当数列{an}、{bn}分别为等差数列、等比数列时,数列{an·bn}或anbn的前n项和一般用错位相减法求解,但在求和时要特别注意两式相减后抵消了哪些项、各项的符号有没有发生变化等.
20.解析　(1)当m=13时,函数f(x)=x4-13x+4(x∈[4,8]),可得f '(x)=14+13x2>0,
所以f(x)在区间[4,8]上为增函数,满足条件①; (2分)
又因为f(4)=74<2=12×4,所以当m=13时不满足条件②. (3分)
综上可得,当参数m=13时不满足条件.　　 (5分)
(2)由函数f(x)=x4-mx+4,可得f '(x)=14+mx2=x2+4m4x2,x∈[4,8], (6分)
所以当m≥0时,f '(x)≥0,满足条件①; (8分)
当m<0时,令f '(x)=0,可得x=2-m(负值舍去),
当x∈[2-m,+∞)时, f '(x)≥0,f(x)单调递增,
所以此时若要满足条件①,应有2-m≤4,解得-4≤m<0.
综上可得,m≥-4. (10分)
由条件②可知,f(x)≥x2,即不等式x4+mx≤4在[4,8]上恒成立,
等价于m≤-14x2+4x=-14(x-8)2+16在[4,8]上恒成立.
当x=4时,y=-14(x-8)2+16取得最小值,最小值为12,
所以m≤12. (11分)
综上,参数m的取值范围是[-4,12]. (12分)
21.解析　(1)因为抛物线C:x2=2py(p>0)的准线方程为y=-1,
所以p2=1,即p=2, (3分)
所以抛物线C的标准方程为x2=4y. (4分)
(2)由题意知直线l的斜率存在,故可设直线l的方程为y=kx-1,A(x1,y1),B(x2,y2),则A'(-x1,y1),
联立x2=4y,y=kx-1,得x2-4kx+4=0.
则Δ=16k2-16>0,x1x2=4,x1+x2=4k, (6分)
所以kA'B=y2-y1x2+x1=x224-x124x1+x2=x2-x14. (7分)
于是直线A'B的方程为y-x224=x2-x14(x-x2),
所以y=x2-x14x+x224-(x2-x1)x24,即y=x2-x14x+1, (10分)
当x=0时,y=1.
即直线A'B过定点(0,1). (12分)
22.解析　(1)由已知得f '(x)=ex-1-2ax, (1分)
令h(x)=ex-1-2ax,则h'(x)=ex-2a,
当x≥0时,ex≥1.
故当2a≤1时,h'(x)=ex-2a≥0恒成立,
∴h(x)在[0,+∞)上单调递增,
∴h(x)≥h(0)=0,即f '(x)≥0,∴f(x)在[0,+∞)上为增函数,
∴f(x)≥f(0)=0恒成立,∴a≤12时满足条件. (3分)
当2a>1时,令h'(x)=0,解得x=ln 2a,在[0,ln 2a)上,h'(x)<0,h(x)在[0,ln 2a)上单调递减,
∴当x∈[0,ln 2a)时,有h(x)≤h(0)=0,即f '(x)≤0,当且仅当x=0时,f '(x)=0,故f(x)在[0,ln 2a)上为减函数,
∴f(x) 综上,实数a的取值范围为-∞,12. (6分)
(2)证明:由(1)得,当a=12,x>0时,ex>1+x+x22成立,
即ex-1>x+x22=x2+2x2成立, (7分)
∵x>0,
∴ln(x+1)>0,
要证不等式(ex-1)ln(x+1)>x2,
只需证ex-1>x2ln(x+1), (8分)
只需证x2+2x2>x2ln(x+1),
只需证ln(x+1)>2x2+x成立, (9分)
设F(x)=ln(x+1)-2xx+2(x>0), (10分)
则F'(x)=1x+1-4(x+2)2=x2(x+1)(x+2)2,
∴当x>0时,F'(x)>0恒成立,故F(x)在(0,+∞)上单调递增,
又F(0)=0,
∴F(x)>0恒成立,
∴原不等式成立. (12分)