2021年北京大兴区垡上中学八年级下期末数学试卷

这是一份2021年北京大兴区垡上中学八年级下期末数学试卷，共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共10小题；共50分）
1. 在平面直角坐标系的第二象限内有一点 M，点 M 到 x 轴的距离为 3，到 y 轴的距离为 4，则点 M 的坐标是
A. 3,−4B. 4,−3C. −4,3D. −3,4

2. 图中阴影部分是由 4 个完全相同的正方形拼接而成，若要在①，②，③，④四个区域中的某个区域处添加一个同样的正方形，使它与阴影部分组成的新图形是中心对称图形，则这个正方形应该添加在
A. 区域①处B. 区域②处C. 区域③处D. 区域④处

3. 若 3a=2b，则 a−ba 的值为
A. −12B. 12C. −13D. 13

4. 一个多边形剪去一个角后（剪痕不过任何一个其它顶点），内角和为 1980∘，则原多边形的边数为
A. 11B. 12C. 13D. 11 或 12

5. 在平行四边形 ABCD 中，如果 ∠A+∠C=140∘，那么 ∠C 等于
A. 70∘B. 60∘C. 40∘D. 20∘

6. 一组数据 −1，−2，3，4，5，则该组数据的极差是
A. 10B. 4C. 7D. 2

7. 如图，菱形 ABCD 中，∠D=150∘，则 ∠1=
A. 30∘B. 25∘C. 20∘D. 15∘

8. 如图，在河两岸分别有 A，B 两村，现测得 A，B，D 在一条直线上，A，C，E 在一条直线上，BC∥DE，DE=90 米，BC=70 米，BD=20 米，则 A，B 两村间的距离为
A. 50 米B. 80 米C. 60 米D. 70 米

9. 《九章算术》是中国古代的数学专著．书中有下列问题：“今有邑方不知大小，各中开门．出北门八十步有木，出西门二百四十五步见木．问邑方有几何?”大致意思：如图，点 M 、点 N 分别是正方形 ABCD 的边 AD，AB 的中点，ME⊥AD，NF⊥AB，EF 过点 A，且 ME=80 步，NF=245 步，则正方形的边长为
A. 280 步B. 140 步C. 300 步D. 150 步

10. 在龙舟比赛中，甲、乙两支龙舟队在比赛时的路程 ym 与时间 xmin 之间的函数关系的图象如图所示，则下列说法中错误的是
A. 1.7 min 时，甲龙舟队处于领先位置
B. 这次龙舟赛中，乙龙舟队先到达终点
C. 2 min 后，乙龙舟队的速度比甲龙舟队快 90 m/min
D. 自 2 min 开始，甲龙舟队若要与乙龙舟队同时到达终点，其速度需要提高到 255 m/min

二、填空题（共6小题；共30分）
11. 函数 y=13x−1 的定义域是 ．

12. 要使菱形成为正方形，需增加的条件是 （只需填出一种情况）．

13. 已知一次函数 y=kx+b（k，b 为常数且 k≠0）的图象经过点 A0,−2 和点 B1,0，则 k= ，b= ．

14. 如图，点 D 为 △ABC 的边 AB 上一点，AD=2，DB=3．若 ∠B=∠ACD，则 AC= ．

15. 如图，小强告诉小华图中A，B两点的坐标分别为−3，5，3，5，小华一下就说出了C在同一坐标系下的坐标 ．

16. 阅读下面材料：
在数学课上，老师提出如下问题：
尺规作图：作直线外一点关于直线的对称点．
已知：如图，直线 l 与直线 l 外一点 A．
求作：直线外一点 A 关于直线 l 的对称点 B．
小颖的作法如下：
（1）如图，在直线 l 上任取点 C；
（2）以点 A 为圆心，AC 长为半径作弧，交直线 l 于点 D；
（3）分别以点 C，点 D 为圆心，AC 长为半径作弧，处于直线 l 异侧的两弧交点为 B．
所以点 B 为所求．
老师说：“小颖的作法正确．”
请回答：小颖的作图依据是 ．

三、解答题（共13小题；共169分）
17. 如果 x 能与 2，3，4 这三个数组成比例，求 x 的值．

18. 如图，已知 AD⋅AC=AB⋅AE，∠DAE=∠BAC．求证：△DAB∽△EAC．

19. 如图，直线 y=2x+3 与 x 轴相交于点 A，与 y 轴相交于点 B．
（1）求 A，B 两点的坐标；
（2）过点 B 作直线 BP 与 x 轴相交于点 P，且使 OP=2OA，求 △ABP 的面积．

20. （1）如图，平行四边形 ABCD 的对角线 AC，BD 交于点 O．直线 EF 过点 O，分别交 AD，BC 于点 E，F．求证：AE=CF．
（2）如图，将平行四边形 ABCD（纸片）沿过对角线交点 O 的直线 EF 折叠，点 A 落在点 A1 处，点 B 落在点 B1 处．设 FB1 交 CD 于点 G，A1B1 分别交 CD，DE 于点 H，I．求证：EI=FG．

21. 如图，E 为平行四边形 ABCD 的边 BC 延长线上一点，连接 AE，交边 CD 于点 F．在不添加辅助线的情况下，请写出图中所有的相似三角形．

22. 为弘扬中华传统文化，了解学生整体听写能力，某校组织全校 1000 名学生进行一次汉字听写大赛初赛，从中抽取部分学生的成绩进行统计分析，根据测试成绩绘制出了频数分布表和频数分布直方图：
分组/分频数频率50≤x<6060.1260≤x<70a0.2870≤x<80160.3280≤x<90100.2090≤x<100cb合计501.00
（1）表中的 a= ，b= ，c= ；
（2）把上面的频数分布直方图补充完整，并画出频数分布折线图；
（3）如果成绩达到 90 及 90 分以上者为优秀，可推荐参加进入决赛，那么请你估计该校进入决赛的学生大约有多少人．

23. 某游泳馆普通票价 20 元/张，暑期为了促销，新推出两种优惠卡：
①金卡售价 600 元/张，每次凭卡不再收费；
②银卡售价 150 元/张，每次凭卡另收 10 元．
暑期普通票正常出售，两种优惠卡仅限暑期使用，不限次数．设游泳 x 次时，所需总费用为 y 元．
（1）分别写出选择银卡、普通票消费时，y 与 x 之间的函数关系式；
（2）在同一个坐标系中，若三种消费方式对应的函数图象如图所示，请求出点 A，B，C 的坐标；
（3）请根据函数图象，直接写出选择哪种消费方式更合算．

24. 已知直线 l1:y1=kx+b 经过点 −1,−3，且与直线 l2:y2=12x 的图象相交于点 4,a．
（1）直接写出 a 的值；
（2）求直线 l1 的表达式；
（3）过动点 Pn,0 且垂直于 x 轴的直线与 l1，l2 的交点分别为 C，D．当点 C 总在点 D 上方时，直接写出 n 的取值范围．

25. 已知一次函数 y=kx+b（k 为常数，k≠0）的图象经过点 A2,2，B0,1．
（1）求该一次函数的解析式，并作出其图象；
（2）当 0≤y≤2 时，求 x 的取值范围．

26. 在平面直角坐标系中，O 为原点，已知直线 y=12x+3 与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 B，点 C 与点 A 关于 y 轴对称．
（1）点 A 的坐标为 ，点 B 的坐标为 ，点 C 的坐标为 ，直线 BC 的解析式为 ．
（2）点 M 是 x 轴上的一个动点（点 M 不与点 O 重合），过点 M 作 x 轴的垂线，交直线 AB 于点 P，交直线 BC 于点 Q．
① 如图 ①，当点 M 在 x 轴的正半轴上时，若 △PQB 的面积为 94，求点 M 的坐标；
② 连接 BM，若 ∠BMP=∠BAC，求点 P 的坐标．

27. 如图，在矩形 ABCD 中，DE∥CA，AE∥BD．
（1）求证：四边形 AODE 是菱形；
（2）若将题设中“矩形 ABCD”这一条件改为“菱形 ABCD”，其余条件不变，则四边形 AODE 是 ，请证明．

28. 在学习了正方形后，数学小组的同学对正方形进行了探究，发现：
（1）如图 1，在正方形 ABCD 中，点 E 为 BC 边上任意一点（点 E 不与 B，C 重合），点 F 在线段 AE 上，过点 F 的直线 MN⊥AE，分别交 AB，CD 于点 M，N．此时，有结论 AE=MN，请进行证明；
（2）如图 2：当点 F 为 AE 中点时，其他条件不变，连接正方形的对角线 BD，MN 与 BD 交于点 G，连接 BF，此时有结论：BF=FG，请利用图 2 做出证明．
（3）如图 3：当点 E 为直线 BC 上的动点时，如果（2）中的其他条件不变，直线 MN 分别交直线 AB，CD 于点 M，N，请你直接写出线段 AE 与 MN 之间的数量关系、线段 BF 与 FG 之间的数量关系．

29. 如图，一次函数的图象经过点 P1,3，Q0,4．
（1）求该函数的表达式；
（2）该图象怎样平移后经过原点?
答案
第一部分
1. C
2. B【解析】增加一个正方形，使得图形为中心对称图形，可得区域②满足题意．
故选B．
3. A
4. B
5. A
6. C
7. D
8. D
9. A【解析】设正方形的边长为 x 步，
∵ 点 M 、点 N 分别是正方形 ABCD 的边 AD，AB 的中点，
∴AM=12AD，AN=12AB，
∴AM=AN，
由题意，得 Rt△AEM∽Rt△FAN，
∴MENA=AMFN，
∴AM2=80×245=19600，
∴AM=140 步，
∴AD=2AM=280 步．
10. D
【解析】由题中图象可知当 0甲龙舟队用时 5 min，乙龙舟队用时 4.5 min，乙龙舟队先到，故选项B正确；
甲龙舟队的速度为 10505=210m/min，乙龙舟队在 2 min 后的速度为 1050−3004.5−2=300m/min，300−210=90m/min，故选项C正确；
当 x=2 min 时，y甲=210×2=420m，若与乙龙舟队同时到达终点，则速度应为 1050−4204.5−2=252m/min，故选项D错误．
第二部分
11. x≠13
12. 有一个角是直角，或对角线相等
13. 2，−2
14. 10
【解析】∵∠B=∠ACD，∠A=∠A，
∴△ACD∽△ABC，
∴ACAB=ADAC，
即 AC2+3=2AC，
∴AC=10．
15. −1，7
【解析】【分析】根据已知两点坐标确定坐标系，然后确定其它点的位置．
【解析】解：由A，B两点的坐标分别为−3，5，3，5，可知，坐标原点不在图中出现，是以线段AB的中垂线为y轴，且向上为正方向，最下的水平线的纵坐标是2，以水平线为x轴，且向右为正方向，
∴C点的坐标为−1，7．
故答案为：−1，7．
【点评】解题的关键是确定坐标原点和x，y轴的位置及方向，或者直接利用坐标系中的移动法则右加左减，上加下减来确定坐标．
16. 1）四条边相等的四边形是菱形；
2）菱形的对角线互相垂直平分
第三部分
17. 32 或 83 或 6
18. ∵AD⋅AC=AB⋅AE，
∴ADAE=ABAC．
∵∠DAE=∠BAC，
∴∠DAE−∠BAE=∠BAC−∠BAE，即 ∠DAB=∠EAC．
∴△DAB∽△EAC．
19. （1） 当 y=0 时，x=−32，
∴ 点 A 的坐标为 −32,0；
当 x=0 时，y=3，
∴ 点 B 的坐标为 0,3．
（2） 当 P3,0 时，△ABP 的面积为 274；
当 P−3,0 时，△ABP 的面积为 94．
20. （1）
在平行四边形 ABCD 中，AD∥BC，
∴∠1=∠2，∠3=∠4．
∵OA=OC，
∴△AOE≌△COF．
∴AE=CF．
（2） 由（1）得 AE=CF．
∵AE=A1E，
∴A1E=CF．
又 ∠A1=∠A=∠C，∠B1=∠B=∠D，∠IHD=∠GHB1，
∴∠DIH=∠B1GH．
∴∠A1IE=∠CGF．
在 △A1IE 与 △CGF 中，
∠A1=∠C,∠A1IE=∠CGF,A1E=CF,
∴△A1IE≌△CGF．
∴EI=FG．
21. 在平行四边形 ABCD 中，AB∥CD，BC∥AD，
所以 △ECF∽△EBA，△ADF∽△ECF，
[平行于三角形一边的直线和其他两边（或其延长线）相交，所构成的三角形和原三角形相似]．
还可以得到 △EAB∽△AFD．
22. （1） 14 ； 0.08 ； 4．
（2） 频数分布直方图、折线图如图：
（3） 1000×4÷50=80 （人）．
23. （1） 银卡：y=10x+150；
普通票：y=20x．
（2） 把 x=0 代入 y=10x+150，得 y=150．
∴A0,150．
由题意知 y=20x,y=10x+150.
∴x=15,y=300.
∴B15,300．
把 y=600 代入 y=10x+150，得 x=45．
∴C45,600．
（3） 当 0当 x=15 时，选择购买银卡、普通票的总费用相同，均比金卡合算；
当 15当 x=45 时，选择购买金卡、银卡的总费用相同，均比普通票合算；
当 x>45 时，选择购买金卡更合算．
24. （1） 2
（2） 将 4,2，−1,−3 代入 y1=kx+b 中，4k+b=2,−k+b=−3.
解得 k=1，b=−2，
所以一次函数的表达式为 y1=x−2．
（3） n>4
25. （1） ∵ 点 A2,2，点 B0,1 在一次函数 y=kx+b（k 为常数，k≠0）的图象上，
∴2k+b=2,b=1 解得 k=12,b=1,
∴ 一次函数的解析式为：y=12x+1．
其图象如下图所示：
（2） ∵k=12>0，
∴ 一次函数 y=12x+1 的函数值 y 随 x 的增大而增大．
当 y=0 时，x=−2；当 y=2 时，x=2．
即：当 0≤y≤2 时，x 的取值范围是：−2≤x≤2．
26. （1） −6,0；0,3；6,0；y=−12x+3
【解析】对于 y=12x+3，由 x=0 得：y=3，
∴B0,3，
由 y=0 得：0=12x+3，解得 x=−6，
∴A−6,0，
∵ 点 C 与点 A 关于 y 轴对称，
∴C6,0，
设直线 BC 的函数解析式为 y=kx+b，
根据题意得：b=3,6k+b=0, 解得 k=−12,b=3,
∴ 直线 BC 的函数解析式为 y=−12x+3．
（2） ① 如图 1 所示：过点 B 作 BD⊥PQ，垂足为 D，
设 Mx,0，则 Px,12x+3，Qx,−12x+3，则 PQ=x，DB=x，
∵△PQB 的面积为 94，
∴12BD⋅QP12x⋅x=94，解得 x=322（负值舍去）．
∴M322,0．
② 如图 2 所示：当点 M 在 x 轴的正半轴上时，
∴OB∥QP，
∴∠BMP=∠OBM，
又 ∵∠BMP=∠BAC，
∴∠BAO=∠OBM，
∴OBOA=OMOB，即 36=OM3，解得 OM=32，
将 x=32 代入 y=12x+3 得：y=154，
∴P32,154．
如图 3 所示：当点 M 在 x 轴的负半轴上时，
∵OB∥OP，
∴∠BMP=∠OBM，
又 ∵∠BMP=∠BAC，
∴∠BAO=∠OBM，
∴OBOA=OMOB，即 36=OM3，解得 OM=32，
将 x=−32 代入 y=12x+3 得：y=94，
∴P−32,94，
∴ 点 P 的坐标为 −32,94 或 32,154．
27. （1） ∵ 四边形 ABCD 为矩形，
∴ OA=OC，OD=OB，AC=BD，
∴ OA=OD．
∵ DE∥CA，AE∥BD，
∴ 四边形 AODE 是平行四边形，
∴ 四边形 AODE 是菱形．
（2） 矩形；证明：
∵ DE∥CA，AE∥BD，
∴ 四边形 AODE 是平行四边形．
∵ 四边形 ABCD 是菱形，
∴ AC⊥BD，
∴ ∠AOD=90∘，
∴ 平行四边形 AODE 是矩形．
28. （1） 在图 1 中，过点 D 作 PD∥MN 交 AB 于 P，则 ∠APD=∠AMN，
因为 ABCD 是正方形，
所以 AB=AD，AB∥DC，∠DAB=∠B=90∘．
所以四边形 PMND 是平行四边形且 PD=MN．
因为 ∠B=90∘，
所以 ∠BAE+∠BEA=90∘．
因为 MN⊥AE 于 F，
所以 ∠BAE+∠AMN=90∘．
所以 ∠BEA=∠AMN=∠APD．
又 AB=AD，∠B=∠DAP=90∘，
所以 △ABE≌△DAP．
所以 AE=PD=MN．
（2） 在图 2 中连接 AG，EG，CG．
由正方形的轴对称性 △ABG≌△CBG．
所以 AG=CG，∠GAB=∠GCB．
因为 MN⊥AE 于 F，F 为 AE 中点，
所以 AG=EG．
所以 EG=CG，∠GEC=∠GCE．
所以 ∠GAB=∠GEC．
由图可知 ∠GEB+∠GEC=180∘，
所以 ∠GEB+∠GAB=180∘．
又四边形 ABEG 的内角和为 360∘，∠ABE=90∘，
所以 ∠AGE=90∘．
在 Rt△ABE 和 Rt△AGE 中，AE 为斜边，F 为 AE 的中点，
所以 BF=12AE，FG=12AE．
所以 BF=FG．
（3） AE 与 MN 的数量关系是 AE=MN．
BF 与 FG 的数量关系是 BF=FG．
29. （1） 设 y=kx+bk≠0，
∵ 图象经过点 P1,3，Q0,4，
∴b=4,3=k+b, 解得 k=−1,,b=4
∴ 函数表达式为 y=−x+4．
（2） 向下平移 4 个单位长度；
或向左平移 4 个单位长度；
或先向左平移 1 个单位长度，再向下平移 3 个单位长度；
或先向下平移 3 个单位长度，再向左平移 1 个单位长度．（答案不唯一）