2021年北京密云区古北口中学八年级下期末数学试卷

这是一份2021年北京密云区古北口中学八年级下期末数学试卷，共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共8小题；共40分）
1. 如图为一次函数 y=kx+bk≠0 的图象，则下列正确的是
A. k>0，b>0B. k>0，b<0C. k<0，b>0D. k<0，b<0

2. 下列图形中，可以看作是中心对称图形的是
A. B.
C. D.

3. 平面直角坐标系中，在第三象限的点是
A. −3,5B. 1,−2C. −2,−3D. 1,1

4. 下列性质中，矩形具有但平行四边形不一定具有的是
A. 对边相等B. 对角相等C. 对角线相等D. 对边平行

5. 用配方法解方程 x2+4x+1=0，经过配方，得到
A. x+22=5B. x−22=5C. x−22=3D. x+22=3

6. 若一个多边形的每一个内角都是 140∘，则这个多边形是
A. 七边形B. 八边形C. 九边形D. 十边形

7. 如图，假设篱笆（虚线部分）的长度 16 m，则所围成矩形 ABCD 的最大面积是
A. 60 m2B. 63 m2C. 64 m2D. 66 m2

8. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，菱形 ABCD 的顶点 D 在 x 轴上，边 BC 在 y 轴上，若点 A 的坐标为 12,13，则点 C 的坐标是
A. 0,−5B. 0,−6C. 0,−7D. 0,−8

二、填空题（共8小题；共40分）
9. 如图，在矩形 ABCD 中，E，F 分别是边 AD 和 CD 的中点，EF=3，则 BD 的长为 ．

10. 正比例函数 y=kx 经过点 2,−4，则 k= ．

11. 在平面直线坐标系中，若点 Pm,m−n 与点 Q−2,3 关于原点对称，则 m+n= ．

12. 如图，在平行四边形 ABCD 中，∠D=120∘，则 ∠A= ．

13. 当自变量 x= 时，函数 y=52x+1 与 y=5x+17 的值相等，这个函数值是 ．

14. 如图是甲、乙两公司近几年销售收入情况的折线统计图，销售收入增长速度较快的是 ．

15. 已知一个一元二次方程的一个根为 2，且常数项为 0，则这个一元二次方程可以是 ．（只需写出一个方程即可）

16. 如果菱形边长为 13，一条对角线长为 10，那么它的面积为 ．

三、解答题（共9小题；共117分）
17. 解下列方程．
（1）3x2+6x−4=0．
（2）3x2x+1=4x+2．

18. 一次函数 y=−43x+b 的图象经过第二、三、四象限，且分别与 x 轴、 y 轴交于点 A，B，已知图象与两坐标轴所围成的三角形面积是 6．
（1）求 b 的值；
（2）已知点 C2,0，点 D 在 y 轴上，如果 AD∥BC，求四边形 ABCD 的面积．

19. 如图，已知矩形 ABCD 中，AB=4 cm，AD=10 cm，点 P 在边 BC 上移动，点 E，F，G，H 分别是 AB，AP，DP，DC 的中点．
（1）求证：EF+GH=5 cm；
（2）求当 ∠APD=90∘ 时，EFGH 的值．

20. 关于 x 的一元二次方程 x2−2m+1x+m2=0 有两个实数根．
（1）求 m 的取值范围；
（2）写出一个满足条件的 m 的值，并求此时方程的根．

21. 学校组织暑期夏令营，学校联系了报价均为每人 200 元的两家旅行社，经协商，甲旅行社的优惠条件是：全部师生 7.5 折优惠；乙旅行社的优惠条件是：可免去一位老师的费用，其余师生 8 折优惠．
（1）分别写出两家旅行社所需的费用 y（元）与师生人数 x（人）的函数关系式；
（2）学校选择哪家旅行社更节约?

22. 下面是小红设计的“在矩形内作正方形”的尺规作图过程．
已知：四边形 ABCD 为矩形．
求作：正方形 ABEF（E 在 BC 上，点 F 在 AD 上）．
作法：①以 A 为圆心，AB 为半径作弧，交 AD 于点 F；
②以 B 为圆心，AB 为半径作弧，交 BC 于点 E；
③连接 EF．
∴ 四边形 ABEF 为所求的正方形．
（1）根据小红设计的尺规作图过程，使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面证明．
证明：∵AF=AB，BE=AB，
∴ = ．
在矩形 ABCD 中，AD∥BC，
即 AF∥BE，
∴ 四边形 ABEF 为平行四边形．
∵∠A=90∘，
∴ 平行四边形 ABEF 为矩形（ ）．
∵AF=AB，
∴ 四边形 ABEF 为正方形（ ）．

23. 为了传承中华优秀传统文化，某校学生会组织了一次全校 1200 名学生参加的“汉字听写”大赛，并设成绩优胜奖．
赛后发现所有参赛学生的成绩均不低于 50 分．为了更好地了解本次大赛的成绩分布情况，随机抽取了其中 100 名学生的成绩（成绩 x 取整数，总分 100 分）作为样本进行整理，得到下列不完整的统计图表：
成绩x/分频数频率50≤x<60100.1060≤x<70250.2570≤x<8030b80≤x<90a0.2090≤x≤100150.15
成绩在 70≤x<80 这一组的是：
70，70，71，71，71，72，72，73，73，73，73，75，75，75，75，76，76，76，76，76，76，76，76，77，77，78，78，78，79，79
请根据所给信息，解答下列问题：
（1）a= ，b= ；
（2）请补全频数分布直方图；
（3）这次比赛成绩的中位数是 ；
（4）若这次比赛成绩在 78 分以上（含 78 分）的学生获得优胜奖，则该校参加这次比赛的 1200 名学生中获优胜奖的约有多少人?

24. 如图，在正方形 ABCD 中，E 是边 AB 上的一动点（不与点 A，B 重合），连接 DE，将线段 ED 绕点 E 顺时针旋转 90∘ 得到线段 EF，连接 BF．
（1）按已知补全图形；
（2）用等式表示线段 BF 与 AE 的数量关系并证明．
（提示：可以通过旋转的特征构造全等三角形，从而可以得到线段间的数量关系，再去发现生成的特殊的三角形，问题得以解决）

25. 如图①，在 △ABC 中，∠ACB=90∘，AC=BC，过点 C 在 △ABC 外作直线 MN，过点 A 作 AM⊥MN 于点 M，过点 B 作 BN⊥MN 于点 N．
（1）求证：MN=AM+BN．
（2）若直线 MN 的位置如图②所示，（1）中的结论是否仍然成立?若成立，请说明理由；若不成立，请给出正确的结论并证明．
答案
第一部分
1. C
2. D
3. C
4. C
5. D
6. C
7. C
8. A【解析】∵ 点 A 的坐标为 12,13，
∴CD=AD=13，OD=12，
∴OC=CD2−DO2=132−122=5，
∴C0,−5．
第二部分
9. 6
【解析】如图所示，连接 AC．
∵E，F 分别为 AD，CD 的中点，EF=3，

∴AC=2EF=6，
∵ 四边形 ABCD 为矩形，
∴BD=AC=6．
10. −2
【解析】把点 2,−4 代入 y=kx 得 2k=−4，解得：k=−2．
11. 7
【解析】∵ 点 Pm,m−n 与点 Q−2,3 关于原点对称，
∴m=2,m−n=−3, 解得 m=2,n=5,
∴m+n=2+5=7．
12. 60∘
13. −6.4，−15
14. 甲公司
【解析】从折线统计图中可以看出：
甲公司 2013 年的销售收入约为 50 万元，2017 年约为 90 万元，则从 2013∼2017 年甲公司增长了 90−50=40（万元）；
乙公司 2013 年的销售收入约为 50 万元，2017 年约为 70 万元，则从 2013∼2017 年乙公司增长了 70−50=20（万元）；
则甲公司近年的销售收入增长速度比乙公司快．
15. xx−2=0
16. 120
第三部分
17. （1） 3x2+6x−4=0，
∴a=3，b=6，c=−4，
Δ=b2−4ac=36+48=84，
由求根公式可得
x=−b±Δ2a=−6±846，
∴x1=−1+213，x2=−1−213．
（2） 3x2x+1=4x+2．
去括号得
6x2+3x=4x+2.
移项得
6x2+3x−4x−2=0.
合并同类项得
6x2−x−2=0.
因式分解得
2x+13x−2=0.∴2x+1=0
或 3x−2=0，
∴x1=−12，x2=23．
18. （1） 由题意，得 A3b4,0，B0.b，
又由题意，得 12⋅3b4⋅∣b∣=6，
解得 b=±4，
∵ 直线 y=−43x+b 经过第二、三、四象限，
∴b=−4．
（2） 由（1）得 A−3,0，B0,−4，
又 C2,0，
∴yBC=2x−4，
∵AD∥BC，
∴ 设 yAD=2x+n，可得 2×−3+n=0，
解得 n=6，
∴yAD=2x+6，
∴D0,6，
∴SABCD=S△ADC+S△ABC=12×5×6+12×5×4=25．
19. （1） 因为矩形 ABCD 中，AD=10 cm，
所以 BC=AD=10 cm．
因为 E，F，G，H 分别是 AB，AP，DP，DC 的中点，
所以 EF+GH=12BP+12PC=12BC．
所以 EF+GH=5 cm．
（2） 因为四边形 ABCD 为矩形，
所以 ∠B=∠C=90∘，
因为 ∠APD=90∘，
所以在 Rt△APD 中，AD2=AP2+DP2，
同理可得，AP2=AB2+BP2，PD2=PC2+CD2=PC2+AB2，
所以
AD2=AP2+DP2=AB2+BP2+PC2+DC2=BP2+BC−BP2+2AB2=BP2+10−BP2+32,
即 100=2BP2−20BP+100+32，
解得 BP=2 或 BP=8，
当 BP=2 时，PC=8，EF=1，GH=4，这时 EFGH=14，
当 BP=8 时，PC=2，EF=4，GH=1，这时 EFGH=4，
所以 EFGH 的值为 14 或 4．
20. （1） 依题意，得 Δ=−2m+12−4×1×m2=4m+1≥0，
解得 m≥−14．
（2） 答案不唯一，如：m=0，
此时方程为 x2−x=0，
解得 x1=0，x2=1．
21. （1） 甲：y=200x⋅0.75=150x，
乙：y=200x−1⋅0.8=160x−160．
（2） ① 当 150x<160x−160 时，解得 x>16；
② 当 150x>160x−160 时，解得 x<16；
③ 当 150x=160x−160 时，解得 x=16．
所以当师生人数超过 16 人时，选择甲旅行社；当师生人数等于 16 人时，甲、乙都一样；当师生人数不足 16 人时，选择乙旅行社．
22. （1） 如图所示．
（2） AF；BE；有一个角为 90∘ 的平行四边形为矩形；有一组邻边相等的矩形为正方形
23. （1） 20；0.3
（2） 补全的频数分布直方图如图．
（3） 75.5
【解析】共有 100 个成绩，则中位数为排序后第 50，51 个数的平均数，分数在 50∼69 分的共有 35 名学生，那么第 50，51 名学生的分数为 75，76，
所以中位数为 75.5．
（4） 样本中成绩在 78 分以上（含 78 分）的人数为 40，占样本人数的 40%，
获优胜奖的人数约为 1200×40%=480．
24. （1） 图形如图所示．
（2） 结论：BF=2AE．
理由：过点 F 作 FH⊥AB，交 AB 的延长线于 H．
∵ 四边形 ABCD 是正方形，
∴AD=AB，∠A=90∘，
∵∠DEF=∠H=90∘，
∴∠A=∠H=90∘，
∵∠AED+∠FEH=90∘，∠FEH+∠EFH=90∘，
∴∠AED=∠AFH，
∵DE=EF，
∴△DAE≌△EHFAAS，
∴AE=FH，AD=EH，
∴AB=EH，
∴AE=BH=FH，
∴BF=2FH=2AE．
25. （1） ∵∠ACB=90∘，
∴∠ACM+∠BCN=90∘．
又 AM⊥MN，BN⊥MN，
∴∠AMC=∠CNB=90∘．
∴∠BCN+∠CBN=90∘．
∴∠ACM=∠CBN．
在 △ACM 和 △CBN 中，∠ACM=∠CBN,∠AMC=∠CNB,AC=CB,
∴△ACM≌△CBNAAS．
∴CM=BN，AM=CN．
∴MN=CN+CM=AM+BN．
（2） 不成立，MN=AM−BN．理由如下：
同（1）可证 △ACM≌△CBN，
∴CM=BN，AM=CN．
∴MN=CN−CM=AM−BN．