2021年北京大兴区北京市大兴区永华实验学校八年级下期末数学试卷

这是一份2021年北京大兴区北京市大兴区永华实验学校八年级下期末数学试卷，共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共10小题；共50分）
1. 在平面直角坐标系中，已知点 P2,−3，则点 P 在
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限

2. 如图，紫荆花图案绕中心至少旋转 x∘ 后能与原来的图案互相重合，则 x 的值为
A. 36B. 45C. 60D. 72

3. 一个多边形剪去一个角后（剪痕不过任何一个其它顶点），内角和为 1980∘，则原多边形的边数为
A. 11B. 12C. 13D. 11 或 12

4. 下列条件中，能判断四边形是菱形的是
A. 对角线互相垂直且相等的四边形B. 对角线互相垂直的四边形
C. 对角线相等的平行四边形D. 对角线互相平分且垂直的四边形

5. 把方程 x2+8x+7=0 变形为 x+h2=k 的形式应为
A. x+42=−7B. x−42=−7
C. x+42=9D. x−42=9

6. 如图①，在长方形 ABCD 中，动点 P 从点 B 出发，沿 BC，CD，DA 运动至点 A 停止，设点 P 运动的路程为 x，△ABP 的面积为 y，如果 y 与 x 之间的图象如图②所示，则长方形 ABCD 的面积是
A. 10B. 16C. 20D. 36

7. 已知平行四边形 ABCD 的周长为 32，AB=4，则 BC 的长为
A. 4B. 12C. 24D. 28

8. 小明家位于公园的正东 200 m 处，从小明家出发向北走 300 m 就到小华家，若选取小华家为原点，分别以正东，正北方向为 x 轴，y 轴正方向建立平面直角坐标系，规定一个单位长度代表 1 m 长，则公园的坐标是
A. −300,−200B. 200,300
C. −200,−300D. 300,200

9. 在矩形纸片 ABCD 中，AB=6，AD=10．如图所示，折叠纸片，使点 A 落在 BC 边上的 Aʹ 处，折痕为 PQ．当点 Aʹ 在 BC 边上移动时，折痕的端点 P，Q 也随之移动．若限定点 P，Q 分别在 AB，AD 边上移动，则点 Aʹ 在 BC 边上可移动的最大距离为
A. 2B. 4C. 6D. 8

10. 已知某校女子田径队 23 人年龄的平均数和中位数都是 13 岁，但是后来发现其中有一位同学的年龄登记错误，将 14 岁写成 15 岁.经重新计算后，正确的平均数为 a 岁，中位数为 b 岁，则下列结论中正确的是
A. a<13，b=13B. a<13，b<13C. a>13，b<13D. a>13，b=13

二、填空题（共6小题；共30分）
11. 随机从甲、乙两块试验田中各抽取 100 株麦苗测量高度，计算平均数和方差的结果为： x甲=13 ， x乙=13 ， S甲2=7.5 ， S乙2=21.6 ，则小麦长势比较整齐的试验田是 （填“甲”或“乙”）．

12. 一元二次方程 4xx−2=x−2 的解为 ．

13. 已知一次函数 y=kx+b（k，b 为常数且 k≠0）的图象经过点 A0,−2 和点 B1,0，则 k= ，b= ．

14. 矩形的性质定理．
（1）矩形的四个角都是 ．
（2）矩形的对角线 ．

15. 同一温度的华氏度数 y∘F 与摄氏度数 x∘C 之间的函数表达式是 y=95x+32．若某一温度的摄氏度数值与华氏度数值恰好相等，则此温度的摄氏度数为 ∘C．

16. 下面是“以线段 AB 为直径作圆”的尺规作图过程．
已知：线段 AB．
求作：以 AB 为直径的 ⊙O．
作法：如图，
（1）分别以 A，B 为圆心，大于 12AB 的长为半径作弧，两弧分别相交于点 C 和点 D；
（2）作直线 CD 交 AB 于点 O；
（3）以 O 为圆心，OA 长为半径作圆，则 ⊙O 即为所要求作的图形．
请回答：该作图的依据是 ．

三、解答题（共10小题；共130分）
17. 解方程：x2−4x−3=0．

18. （1）如图1，在正方形 ABCD 中，E 是 AB 上一点，F 是 AD 延长线上一点，且 DF=BE．求证：CE=CF．
（2）如图2，在正方形 ABCD 中，E 是 AB 上一点，G 是 AD 上一点，如果 ∠GCE=45∘，请你利用（1）的结论证明：GE=BE+GD．

19. 如图，直线 y=2x+3 与 x 轴相交于点 A，与 y 轴相交于点 B．
（1）求 A，B 两点的坐标；
（2）过 B 点作直线 BP 与 x 轴相交于 P，且使 AP=2OA，求 △BOP 的面积．

20. 在平面直角坐标系 xOy 中，已知一次函数 y1=mxm≠0 与 y2=kx+bk≠0 相交于点 A1,2，且 y2=kx+bk≠0 与 y 轴交于点 B0,3．
（1）求一次函数 y1 和 y2 的解析式；
（2）当 y1>y2>0 时，求出 x 的取值范围．

21. 思思家有一块长 8 m，宽 6 m 的矩形空地，妈妈准备在该空地上建造一个花园，并使花园面积为空地面积的一半，思思设计了如下的四种方案供妈妈挑选，请你选择其中一种方案帮思思求出图中的 x 值．

22. 如图，在平行四边形 ABCD 中，AB=5，AD=10，csB=35，过 BC 的中点 E 作 EF⊥AB，垂足为点 F，连接 DF，求 DF 的长．

23. 已知关于 x 的一元二次方程 x2+bx+c=0．
（1）当 c=b−2 时，利用根的判别式判断方程根的情况；
（2）若方程有两个相等的非零实数根，写出一组满足条件的 b，c 的值，并求此时方程的根．

24. 王大伯几年前承包了甲，乙两片荒山，各栽 100 棵杨梅树，成活 98%，现已挂果，经济效益初步显现．为了分析收成情况，他分别从两山上随意各采摘了 4 棵树上的杨梅，每棵的产量如折线统计图所示．
（1）分别计算甲，乙两山样本的平均数；
（2）估算出甲，乙两山杨梅的产量总和．

25. 如图 1，已知正方形 ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，E 是 AC 上一点，连接 EB，过点 A 作 AM⊥BE，垂足为 M，AM 交 BD 于点 F．
（1）试说明 OE=OF；
（2）如图 2，若点 E 在 AC 的延长线上，AM⊥BE 交 EB 的延长线于点 M，交 DB 的延长线于点 F，其它条件不变，则结论“OE=OF”还成立吗?如果成立，请给出说明理由；如果不成立，请说明理由．

26. 如图，平面直角坐标系中，直线 y=−3x+3 与 x 轴、 y 轴分别相交于点 B，C．点 A 在第一象限，且 AC⊥y 轴于点 C，AC=3，连接 OA 交 BC 于点 H，连接 AB，点 P 从点 C 出发以每秒 1 个单位长度的速度沿射线 CB 匀速运动，设运动时间为 t 秒．
（1）填空：OB= ，OP+AP 的最小值是 ．
（2）当点 P 运动到 BC 中点时，求 OP+AP 的值；
（3）当 OP+AP=4 时，直接写出 t 的值．
答案
第一部分
1. D
2. D
3. B
4. D【解析】A、对角线互相垂直相等的四边形不一定是菱形，此选项错误；
B、对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，此选项错误；
C、对角线相等的平行四边形也可能是矩形，此选项错误；
D、对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，此选项正确；
故选：D．
5. C
【解析】∵x2+8x+7=0，
∴x2+8x+16=9，
∴x+42=9．
6. C【解析】∵ 动点 P 从点 B 出发，沿 BC，CD，DA 运动至点 A 停止，而当点 P 运动到点 C，D 之间时，△ABP 的面积不变，函数图象上横轴表示点 P 运动的路程，x=4 时，y 开始不变，说明 BC=4，x=9 时，接着变化，说明 CD=9−4=5，
∵ 四边形 ABCD 是矩形，
∴AB=5，BC=4，
∴ 长方形 ABCD 的面积是：4×5=20．
故选C．
7. B
8. C【解析】以小华家为原点，分别以正东，正北方向为 x 轴，y 轴正方向建立平面直角坐标系，
小明家位于小华家正南方 300 m，小明家的坐标为 0,−300，
公园位于小明家正西方 200 m，公园的坐标是 −200,−300．
9. B
10. A
第二部分
11. 甲
12. x1=2，x2=14
【解析】4xx−2=x−2，
4xx−2−x−2=0，
x−24x−1=0，
x−2=0 或 4x−1=0．
解得 x1=2，x2=14．
13. 2，−2
14. 直角，相等
15. −40
【解析】根据题意得 95x+32=x，
解得 x=−40．
16. 到线段两端距离相等的点在线段垂直平分线上；两点确定一条直线；同圆半径相等，且圆心到圆周上点的距离相等
第三部分
17. 移项得
x2−4x=3.
配方得
x2−4x+4=3+4.
即
x−22=7.
开方得
x−2=±7.
∴x1=2+7,x2=2−7.
18. （1） 如图，在正方形 ABCD 中，
∵BC=CD，∠B=∠CDF，BE=DF，
∴△CBE≌△CDF．
∴CE=CF．
（2） 如图，延长 AD 至 F，使 DF=BE，连接 CF．
由（1）知 △CBE≌△CDF．
∴∠BCE=∠DCF．
∴∠BCE+∠ECD=∠DCF+∠ECD，即 ∠ECF=∠BCD=90∘．
又 ∠GCE=45∘，
∴∠GCF=∠GCE=45∘．
∵CE=CF，∠GCE=∠GCF，GC=GC，
∴△ECG≌△FCG．
∴GE=GF．
∴GE=DF+GD=BE+GD．
19. （1） 当 y=0 时，2x+3=0，
解得 x=−32，
则 A 点坐标为 −32,0；
当 x=0 时，y=2x+3=3，
则 B 点坐标为 0,3．
（2） 当点 P 在 x 轴的正半轴上，如图1，
因为 AP=2OA，
所以 OA=OP，
所以 P 点坐标为 32,0，
所以 △BOP 的面积 =12×32×3=94；
当点 P 在 x 轴的负半轴上，如图2，
因为 AP=2OA，
所以 OP=3OA=3×32=92，
所以 P 点坐标为 −92,0，
所以 △BOP 的面积 =12×92×3=274，
综上所述，△BOP 的面积为 94 或 274．
20. （1） ∵ 一次函数 y1=mxm≠0 过点 A1,2，
∴2=m，
∴y1=2x，
又 ∵ 一次函数 y2=kx+bk≠0 经过点 A1,2，B0,3，
∴2=k+b,3=b.
解得：k=−1,b=3.
∴y2=−x+3．
（2） 121. 选择方案一；
方案一：根据题意，得 8−x6−x=12×8×6，
解得 x1=12，x2=2．x1 不合题意，舍去．
所以 x=2．
【解析】方案二：根据题意，得 8−2x6−2x=12×8×6，
解得 x1=6，x2=1．
∵x1=6 不合题意，
∴ 舍去．
∴x=1．
方案三：根据题意，得 8×6−12×8−x6−x×2=12×8×6，
解得 x1=12，x2=2．
∵x1=12 不合题意，
∴ 舍去，
∴x=2．
方案四：根据题意，得 128−2x+8×6−x=12×8×6，
解得 x1=12，x2=2．
∵x1=12 不合题意，
∴ 舍去，
∴x=2．
22. 延长 DC，FE 相交于点 H．

∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AB∥DC，AB=CD，AD=BC．
∴∠B=∠ECH，∠BFE=∠H．
∵AB=5，AD=10，
∴BC=10，CD=5．
∵E 是 BC 的中点，
∴BE=EC=12BC=5．
∴△BFE≌△CHE．
∴CH=BF，EF=EH．
∵EF⊥AB，
∴∠BFE=∠H=90∘．
在 Rt△BFE 中，
∵csB=BFBE=35，
∴BF=CH=3．
∴EF=BE2−BF2=4，DH=8．
在 Rt△FHD 中，∠H=90∘，
∴DF2=FH2+DH2=82+82=2×82．
∴DF=82．
23. （1） ∵c=b−2，
∴Δ=b2−4c=b2−4b−2=b−22+4，
∵b−22>0，
∴Δ=b−22+4>0．
∴Δ>0，
∴ 方程有两个不相等的实数根．
（2） ∵ 方程有两个相等的实数根，
∴Δ=b2−4c=0．
若 b=2，c=1，方程变形为 x2+2x+1=0，解得 x1=x2=−1．
24. （1） x甲=40 千克；x乙=40 千克．
（2） 7840 千克．
25. （1） ∵ 四边形 ABCD 是正方形，
∴ ∠BOE=∠AOF=90∘，OB=OA，
又 ∵ AM⊥BE，
∴ ∠MEA+∠MAE=90∘=∠AFO+∠MAE，
∴ ∠MEA=∠AFO，
在 △BOE 和 △AOF 中，
∠BOE=∠AOF,∠BEO=∠AFO,OB=OA,
∴ △BOE≌△AOF．
∴ OE=OF；
（2） OE=OF 成立；
理由：
∵ 四边形 ABCD 是正方形，
∴ ∠BOE=∠AOF=90∘，OB=OA，
又 ∵ AM⊥BE，
∴ ∠F+∠MBF=90∘=∠E+∠OBE，
又 ∵ ∠MBF=∠OBE，
∴ ∠F=∠E，
在 △BOE 和 △AOF 中，
∠BOE=∠AOF,∠BEO=∠AFO,OB=OA,
∴ △BOE≌△AOF，
∴ OE=OF．
26. （1） 1；23
【解析】因为直线 y=−3x+3 与 x 轴、 y 轴分别相交于点 B，C，
令 x=0，则 y=3，
所以 C0,3，
令 y=0，则 −3x+3=0，
所以 x=1，
所以 B1,0，
所以 OB=1，
因为 AC⊥y 轴于点 C，AC=3，
所以 A3,3，
当点 P 在直线 OA 上时，OP+AP 最小，最小值为 32+32=23．
（2） 如图，过点 P 作 PD⊥AC 于点 D，PE⊥OC 于 E，
因为点 P 是 BC 的中点，且 B1,0，C0,3，
所以 P12,32，
所以 D12,3，PE=12，PD=32，
所以 AD=52，OE=32．
所以 OP+AP=OE2+PE2+PD2+AD2=1+7．
（3） t=6±134．
【解析】因为点 P 是射线 CB 上的点，
设 Pm,−3m+3，
因为 C0,3，
所以 CP=2m=t，
所以 AP=m−22+3m2，OP=m2+3m−12，
因为 OP+AP=4，
所以 m2+3m−12+m−32+3m2=4，
所以 4m2−6m+3+4m2−6m+9=4，
所以 4m2−6m+3=4−4m2−6m+9．
两边平方得，4m2−6m+3=16+4m2−6m+9−84m2−6m+9，
化简得，44m2−6m+9=11，
两边平方整理得，64m2−96m+23=0，
所以 m1=6+138，m2=6−138．
所以 t=2m=6±134．