初中人教版16.1 二次根式教案

课题

第1课时　二次根式的概念

授课人

教

学

目

标

知识技能

　　使学生理解并掌握二次根式的概念，掌握二次根式中被开方数的取值范围和二次根式的取值范围.

数学思考

　　使学生理解二次根式被开方数的取值范围的重要性.

问题解决

　　培养学生解决问题的能力及分类讨论的数学思想.

情感态度

　　培养学生的辩证唯物主义观点.

教学

重点

　　二次根式中被开方数的取值范围.

教学

难点

　　二次根式的取值范围.

授课

类型

新授课

课时

教具

多媒体、PPT课件、电子白板

教学活动

教学

步骤

师生活动

设计意图

回顾

【回顾与思考】

   1、表示7的__算术平方根__，读作“__根号7__”， 

     7叫做__被开方数__，的根指数是__2__．

   2、填空：＝___；＝____；

   ＝___；＝___；

   ＝___．

 3、正数的平方根有__两__个，它们互为相反数；0的平方根是__0__；在实数范围内，__负数__没有平方根．

　　使学生回忆平方根和算术平方根的内容，为突破本节难点做准备.

活动

一：

创设

情境

导入

新课

【教材导学】

用带有根号的式子填空，看看写出的结果有什么特点：

（1）圆的面积是，则圆的半径r为____．

（2）已知圆柱的高是底面半径的2倍，且侧面积是，则它的底面半径为____．

（3）正方形的面积为b－3，则其边长为___．

     在上面每个问题的结果中，分别用含有根号的式子来表示3，a，b－3的____根，则3，a，b－3都是____数．

 二次根式的定义：一般地，我们把形如(a≥0) 的式子叫做二次根式，“”称为二次根号.

　　利用开方开不尽的式子引出二次根式的定义.

活动

二：

实践

探究

交流

新知

【探究1】 请同学们思考：为什么一定要加上a≥0这一条件？

师生活动：前面我们学过，符号“”叫做二次根号，二次根号下面的数叫被开方数．因为在实数范围内，负数无平方根，所以被开方数只能是非负数．

例1　在式子，－，，，，(y>0)，(x<0)，和a2－1中，是二次根式的有(　　)

A  3个  B  4个

C  5个  D  6个

[解析] C　a2－1不含根号，的根指数不是2，所以它们都不是二次根式；的被开方数是负数，所以它不是二次根式；的被开方数a＋1不能确定为非负数，所以它也不一定是二次根式；其余5个式子含有二次根号“”，且被开方数均是正数，所以它们都是二次根式．故选C.

[归纳总结] 二次根式的定义是“形式定义”，与化简后的结果无关．判定一个式子是二次根式，需满足两个条件：第一，形式上为“”的形式；第二，被开方数必须是非负数．第二点是很容易被忽略的，尤其要重视．

练习：想一想下列各式是否为二次根式？

(1)；(2)；(3)；(4)；(5).

解：(1)∵m2≥0，∴m2＋1>0，∴是二次根式．

    (2)∵a2≥0，∴是二次根式．

    (3)∵n2≥0，∴－n2≤0，∴当n＝0时才是二次根式．

    (4)当a－2≥0时是二次根式，当a－2<0时不是二次根式，

即当a≥2时是二次根式，当a<2时不是二次根式.

　    　(5)当x－y≥0时是二次根式，当x－y<0时不是二次根式，

    即当x≥y时是二次根式，当x<y时不是二次根式．

师生活动设计：(1)小题与学生一起分析；

              (2)小题请学生分析；

              (3)小题请学生认真思考后回答；

          (4)(5)两小题需要分情况讨论

【探究2】　确定二次根式中被开方数所含字母的取值范围

例2　当x取何值时，下列各式在实数范围内有意义？

(1)；(2)；

(3)；(4)＋.

[解析] 利用二次根式有意义的条件，可把问题转化为解相应的不等式或不等式组．

解： (1)由题意，得10－3x≥0，所以x≤，

即当x≤时，式子在实数范围内有意义．

(2)由题意，得－(x－2)2≥0，即(x－2)2≤0.

又因为(x－2)2≥0，所以x＝2

即当x＝2时，式子在实数范围内有意义．

(3) 由题意，得≥0，且x－2≠0，所以x＞2

即当x＞2时，式子在实数范围内有意义．

(4) 由题意，得所以－3≤x≤3，

即当－3≤x≤3时，式子＋在实数范围内有意义．

[归纳总结] 确定二次根式中被开方数所含字母的取值范围是根据二次根式中被开方数的取值范围列不等式(或不等式组)求解的．

二次根式中被开方数的条件限制：二次根式中的被开方数、分式的分母、零指数幂、负整数指数幂的条件限制．

实际问题中二次根式的条件限制：在实际问题中求字母的取值范围要从两个方面来思考，一是求字母所在的式子有意义时字母必须满足的条件，二是求字母所在的实际问题有意义时字母必须满足的条件．

1.引导学生说出只有正数和零才有平方根，负数没有平方根，进一步强调被开方数一定要大于或等于零这一条件．

2.对于(a≥0)请学生讨论应注意的问题，引导学生总结式子只有在条件≥0时才叫二次根式.

活动

二：

实践

探究

交流

新知

【探究3】 的双重非负性．请同学们想一想有没有可能小于零？为什么？

    由此可得≥0(a≥0)，“的双重非负性”即被开方数a≥0，a的算术平方根≥0.

例3　若y＝－2，则(x＋y)y＝________．

[解析] 先根据二次根式与有意义求得x的值，再代入原式求得y的值，最后把x，y的值代入(x＋y)y求解即可．

由题意，得x－4≥0且4－x≥0，解得x≥4且x≤4，所以x＝4.将x＝4代入原式，求得y＝－2，所以(x＋y)y＝(4－2)－2＝.故答案为.

[归纳总结] 二次根式有意义的条件是被开方数大于或等于0；如果两个二次根式的被开方数互为相反数，那么这两个数都是0，即＋中有所以a＝0.二次根式有意义是进行二次根式计算的隐含条件，在解题过程中要养成自觉挖掘隐含条件的习惯．

例4已知|x＋3|＋＝0，求xy的值．

解：∵|x＋3|＋＝0，∴|x＋3|≥0且≥0，∴|x＋3|＝0且＝0，即x＋3＝0且y－5＝0，

解得x＝－3，y＝5∴xy＝－15.

学生思考并解答，不完善的地方教师补充，并找学生来讲解做法．

学生独自思考解题，然后全班同学集体进行交流．

总结：二次根式有意义的条件是被开方数(式)是非负数.

活动

三：

开放

训练

体现

应用

【应用举例】

例1　当x为何值时，下列各式在实数范围内有意义？

(1)；(2)；(3)；(4).

解：(1)由－4x≥0，得x≤.

当x≤时，在实数范围内有意义．

(2)由－5x≥0，得x≤0.

当x≤0时，在实数范围内有意义．

(3)∵|x|≥0，∴|x|＋1>0.

∴x为任意实数都有意义．

(4)由题意知

∴3－2x＞0，∴x＜.

∴当x＜时，在实数范围内有意义．

(1)小题学生自己能够解决；

(2)小题注意符号问题；

(3)(4)小题请学生思考后解答.

1.应用迁移、巩固提高,培养学生解决问题的能力．

2.通过学生相互讨论设置的问题，巩固对二次根式意义的理解，提高学生分析问题的能力．

3.设计一些有一定综合性的题目，考查学生的灵活运用能力，开阔学生的视野，训练学生的思维.

【拓展提升】

例2　已知＋＝0，求a－b的值．

解：∵≥0，≥0且＋＝0

∴a＝1，b＝－7，∴a－b＝8.

学生思考并解答，不完善的地方教师补充，并找学生来讲解做法.

进一步巩固二次根式的非负性.

活动

四：

课堂

总结

反思

【当堂训练】

1一个矩形的面积是18 cm2，它的长与宽之比为3∶2，则它的长与宽分别为多少？

2下列各式是否为二次根式？

；；－；.

3当a是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？

(1)；(2)；(3)；

(4)；(5).

4已知y＝－，求x＋y的值．

小结与作业：

小结：教师和学生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题．

(1)本节课你学到了哪一类新的式子？

(2)二次根式有意义的条件是什么？二次根式的值的范围是什么？

(3)二次根式与算术平方根有什么关系？

作业：教材第5页习题16.1第1，3，5，6，7，10题.

1.当堂检测，及时反馈学习效果．

2.在练习设计上，遵循由浅入深、循序渐进的原则，让学生带着问题走出课堂，使不同的人在数学上得到不同的发展，使学生发现问题、解决问题的能力得到进一步提升．

3.学生共同总结，互相取长补短，再次突出本节课的学习重点，掌握解题方法.

【知识网络】

回顾本节课的知识，使学生形成知识网络.

【教学反思】

①     [授课流程反思]

通过实例，由学生熟悉的知识出发，结合平方根的定义，引导学生写出结果，再由各结果的统一特征，共同讨论、分析、归纳，得出二次根式的概念．采用这种“由特殊到一般”的教学方法，培养了学生独立思考、合作交流、归纳总结的思维能力．

②     [讲授效果反思]

本节课的难点是“二次根式的被开方数的非负性”，为了让学生熟练掌握，教师要注意精讲多练，练习题由浅入深，引导学生回顾平方根成立的条件，启发学生总结出二次根式有意义的条件，从而判断出字母或因式的取值范围．这种教学方法能让学生温故知新，更快掌握所学知识.

③     [师生互动反思]

在题目的设计中，教师要照顾到不同层次的学生，有基础题，保证绝大部分学生掌握；有拔高题，让学有余力的好同学有向上探究的机会，培养他们的学习探索能力和综合运用知识的能力．

回顾反思，找出差距与不足，形成知识及教学体系，更进一步提升教师教学的能力.