2021年北京通州区首都师范大学附属中学九年级上期末数学试卷

这是一份2021年北京通州区首都师范大学附属中学九年级上期末数学试卷，共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（共8小题；共40分）
1. 如图，射线 l甲，l乙 分别表示甲、乙两名运动员在自行车比赛中所走路程 s 与时间 t 之间的函数关系，则他们行进的速度关系是
A. 甲比乙快B. 乙比甲快C. 甲、乙同速D. 不能确定

2. 已知反比例函数 y=kxk≠0 的图象经过点 M−2,2，则 k 的值是
A. −4B. −1C. 1D. 4

3. 若一个扇形的半径是 18 cm，且它的弧长是 12π cm，则此扇形的圆心角等于
A. 30∘B. 60∘C. 90∘D. 120∘

4. 如图，一个三角尺 ABC 的斜边 AB 与量角器的直径恰好重合，点 D 对应的刻度是 46∘，则 ∠ACD 的度数为
A. 46∘B. 23∘C. 44∘D. 67∘

5. 已知二次函数 y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，并且关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+c−m=0 有两个不相等的实数根，下列结论：① b2−4ac0；③ a−b+c−2．其中正确的个数有
A. 1 个B. 2 个C. 3 个D. 4 个

6. 在小孔成像问题中，如图所示，若为 O 到 AB 的距离是 18 cm，O 到 CD 的距离是 6 cm，则像 CD 的长是物体 AB 长的
A. 13B. 12C. 2 倍D. 3 倍

7. 某校科技实践社团制作实践设备，小明的操作过程如下：
①小明取出老师提供的圆形细铁环，先通过在圆一章中学到的知识找到圆心 O，再任意找出圆 O 的一条直径标记为 AB（如图 1），测量出 AB=4 分米；
②将圆环进行翻折使点 B 落在圆心 O 的位置，翻折部分的圆环和未翻折的圆环产生交点分别标记为 C，D（如图 2）；
③用一细橡胶棒连接 C，D 两点（如图 3）；
④计算出橡胶棒 CD 的长度．
小明计算橡胶棒 CD 的长度为
A. 22 分米B. 23 分米C. 32 分米D. 33 分米

8. 如图，△ABC 的顶点是正方形网格的格点，则 cs∠ABC 的值为
A. 23B. 22C. 43D. 223

二、填空题（共8小题；共40分）
9. 如图，已知二次函数 y=ax2+bx+c 的图象与 x 轴交于 A1,0，B3,0 两点，与 y 轴交于点 C0,3，则二次函数的图象的顶点坐标是 ．

10. 老师给出了一个函数，甲、乙、丙三位同学分别指出了这个函数的一个性质，甲：第一象限内有它的图象；乙：第三象限内有它的图象；丙：在每个象限内，y 随 x 的增大而减小．请你写一个满足上述性质的函数解析式 ．

11. 如图，在平面直角坐标系中，P 的坐标为 3,4，则 tanα= ．

12. 如图，在 △ABC 中，AB=12，AC=9，D 是 AC 上一点，AD=6，在 AB 上取一点 E，使 A，D，E 三点组成的三角形与 △ABC 相似，则 AE= ．

13. 如图，抛物线 y=ax2+c 经过 A−4,3，B 两点，点 A 与点 B 关于抛物线的对称轴对称，则当 ax2+c≤3 时，x 的取值范围是 ．

14. 如图，小量角器的 0∘ 刻度线在大量角器的 0∘ 刻度线上，且小量角器的中心在大量角器的外缘边上．如果它们外缘边上的公共点 P 在大量角器上对应的度数为 40∘，那么在小量角器上对应的度数为 ．（只考虑小于 90∘ 的角度）

15. 已知等腰梯形上、下底长分别为 5 和 11，高为 4，则这个等腰梯形的周长是 ．

16. 在 ⊙O 中，若弦 BC 垂直平分半径 OA，则弦 BC 所对的圆周角等于 ∘．

三、解答题（共9小题；共117分）
17. 计算：3tan30∘+cs230∘−2sin60∘．

18. 在数学活动课上，老师带领学生测量校园中一棵树的高度．如图，在树前的平地上选择一点 C，测得树的顶端 A 的仰角为 30∘，在 C，B 间选择一点 D（C，D，B 三点在同一直线上），测得树的顶端 A 的仰角为 75∘，CD 间距离为 20 m，求这棵树 AB 的高度（结果保留根号）．

19. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l1:y=2x 与直线 l2 相交于点 B2,m 且直线 l2 过点 A−2,0．
（1）求 m 的值和直线 l2 的表达式．
（2）过动点 Pn,0 且垂直于 x 轴的直线，与 l1，l2 的交点分别为 C，D，当点 C 位于点 D 上方时，直接写出 n 的取值范围．

20. 如图，在 △ABC 中，∠C=60∘，AB=14，AC=10．求 BC 的长．

21. 某同学要利用长为 24 m 的篱笆围成一个长方形花圃，形状如图，一边靠墙（墙的最大可用长度为 9 m ），中间隔有一道篱笆，设 AB 长为 x 米，围成的花圃面积为 S 平方米．
（1）求 S 关于 x 的函数解析式；并写出自变量 x 的取值范围．
（2）当 AB 多长时，围成的花圃有最大面积?最大面积是多少?

22. 如图，AB 是 ⊙O 的直径，点 C，D 在圆上，BC=CD，过点 C 作 CE⊥AD 延长线于点 E．
（1）求证：CE 是 ⊙O 的切线；
（2）若 BC=3，AC=4，求 CE 和 AD 的长．

23. 已知抛物线 y=x2−4x+c 经过点 −1,8．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求抛物线与 x 轴交点的坐标．

24. 如图，在 △ABC 中，矩形 DEFG 的一边 DE 在 BC 上，点 G，F 分别在 AB，AC 上，AH 是 BC 边上的高，AH 与 GF 相交于 K，已知 S△AGF:S△ABC=9:64，EF=10，求 AH 的长．

25. 点 P 是平面直角坐标系中的一点且不在坐标轴上，过点 P 向 x 轴，y 轴作垂线段，若垂线段的长度的和为 4，则点 P 叫做“垂距点”，例如：如图中的 P1,3 是“垂距点”．
（1）在点 A2,2，B32,−52，C−1,5 是“垂距点”的为 ．
（2）若 D32m,12m 为“垂距点”，求 m 的值．
（3）若过点 2,3 的一次函数 y=kx+bk≠0 的图象上存在“垂距点”，则 k 的取值范围是 ．
答案
第一部分
1. A
2. A【解析】把点 −2,2 代入反比例函数 y=kxk≠0 中得 2=k−2
所以，k=xy=−4，
故选：A．
3. D
4. D【解析】如图，连接 OD，
∵ 三角尺 ABC 的斜边 AB 与量角器的直径恰好重合，
∴A，B，C，D 四点共圆，
∵ 点 D 对应的刻度是 46∘，
∴∠BOD=46∘，
∴∠BCD=12∠BOD=23∘，
∴∠ACD=90∘−∠BCD=67∘．
5. C
【解析】①由图可知：Δ>0，
∴b2−4ac>0，故①错误；
②由图可知：a>0，c0，
∴b0，故②正确；
③由图可知：x=−1，y>0，
∴y=a−b+c>0，故③正确；
④由图可知：对于全体实数 x，都有 y≥−2，
∴ 关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+c−m=0 有两个不相等的实数根，即直线 y=m 与抛物线有两个交点，
∴m>−2 即可，故④正确．
6. A【解析】如图，作 OE⊥AB 于 E，EO 的延长线交 CD 于 F．
∵AB∥CD，
∴FO⊥CD，△AOB∽△DOC，
∴CDAB=OFOE=618=13（相似三角形的对应高的比等于相似比），
∴CD=13AB，
故选：A．
7. B【解析】方法一：
如图，补全图形，连接 BO 交 CD 于点 F，
由折叠知 OF=12OB=1 分米，OB⊥CD，
由垂径定理可知：CD=2CF，
∴CF=OC2−OF2=3 分米，
∴DC=2CF=23 分米．
故选B．
方法二：
连接 OC，作 OE⊥CD，如图 3，
∵AB=4 分米，
∴OC=2 分米，
∵ 将圆环进行翻折使点 B 落在圆心 O 的位置，
∴OE=12OC=1 分米，
在 Rt△OCE 中，CE=OC2−OE2=3 分米，
∴CD=23 分米．
故选B．
8. B【解析】法一：如图，
在 Rt△ABD 中，∠ADB=90∘，AD=BD=3，
∴AB=AD2+BD2=32+32=32，
∴cs∠ABC=BDAB=332=22，
法二：在 Rt△ABD 中，∠ADB=90∘，AD=BD=3，
∴∠ABD=∠BAD=45∘，
∴cs∠ABC=cs45∘=22．
第二部分
9. 2,−1
【解析】设解析式为：y=ax−x1x−x2a≠0，即 y=ax−1x−3
把点 C0,3，代入得 a=1．则 y=x−1x−3=x2−4x+3．
∴ 图象的顶点坐标是 2,−1．
10. y=1x
11. 43
【解析】提示：过 P 作 PA⊥x 轴，垂足为 A．
12. 8 或 4.5
13. −4≤x≤4
14. 70∘
【解析】设大量角器的左端点是 A，大量角器的圆心是 O，小量角器的圆心是 B，连接 AP，BP，
则 ∠APB=90∘，∠POB=40∘，
所以 ∠PAB=12∠POB=20∘，
所以 ∠PBA=90∘−20∘=70∘，
所以 P 在小量角器上对应的度数为 70∘．
故答案为 70∘．
15. 26
16. 120 或 60
第三部分
17. 原式=3×33+322−2×32=3+34−3=34.
18. 作 DE⊥AC，垂足为 E，
在 Rt△CED 中，sinC=EDCD，
∵∠C=30∘，CD=20 米，
∴DE=10 米，
∵csC=CECD，
∴32=CE20，
∴CE=103 米，
∵∠ADB 是 △ACD 的外角，
∠ADB=75∘，∠C=30∘，
∴∠CAD=45∘，
∴ 在 Rt△ADE 中，tan∠EAD=EDAE=1，
∴AE=10 米．
∴AC=AE+CE=10+103 米，
∴ 在 Rt△ABC 中，sin∠C=ABAC，
∴AB=5+53 米，
答：这棵树 AB 的高度是 5+53 米．
19. （1） ∵ 直线 l1:y=2x 与直线 l2 相交于点 B2,m，
∴m=4．
设 l2 的表达式为 y=kx+bk≠0．
由点 A，B 的坐标分别为 −2,0，2,4，
可知 2k+b=4,−2k+b=0 解得 k=1,b=2
∴ 直线 AB 的表达式为 y=x+2．
（2） n>2．
【解析】当点 C 位于点 D 上方，即直线 l1 在直线 l2 上方．
由函数图象可知，点 B 的右侧直线 l1 在直线 l2 上方．
∴n>2．
故 n 的取值范围是 n>2．
20. 过点 A 作 AD⊥BC 于点 D，
∴∠ADC=∠ADB=90∘，
又 ∵∠C=60∘，
∴∠CAD=90∘−∠C=30∘，
∴CD=12AC=5．
在 Rt△ACD 中，AD=AC2−CD2=102−52=53．
在 Rt△ABD 中，BD=AB2−AD2=11．
∴BC=BD+CD=11+5=16．
21. （1） 由题意可知：BC=24−3x，0