2021年北京海淀区理工大学附属中学八年级上期末数学试卷

这是一份2021年北京海淀区理工大学附属中学八年级上期末数学试卷，共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共10小题；共50分）
1. 下列运算正确的是
A. 3a+2b=5abB. 5a−2a=3a
C. b2⋅b3=b6D. x+y2=x2+y2

2. 已知一个等腰三角形两边长分别为 3，7，那么它的周长是
A. 17B. 13C. 13 或 17D. 10 或 13

3. 如图，AB∥CD，BC∥AD，AB=CD，BE=DF，图中全等的三角形的对数是 对．
A. 3B. 4C. 5D. 6

4. 下列式子为最简二次根式的是
A. 1xB. 3C. 8D. 12

5. 若分式 x2−9x−3 的值为 0，则 x 的值等于
A. 0B. ±3C. 3D. −3

6. 如图，DE 是 △ABC 中 AC 边的垂直平分线，若 BC=8，AB=10，则 △EBC 的周长是
A. 13B. 16C. 18D. 20

7. 下列计算结果正确的有
① 3xx2⋅x3x=1x；
② 8a2b2⋅−3a4b2=−6a3；
③ aa2−1÷a2a2+a=1a−1；
④ a÷b⋅1b=a．
A. 1 个B. 2 个C. 3 个D. 4 个

8. 如图，正方形 ABCD 的面积为 12，△ABE 是等边三角形，点 E 在正方形 ABCD 内，在对角线 AC 上有一点 P，使 PD+PE 最小，则这个最小值为
A. 6B. 26C. 3D. 23

9. 2017 年 6 月北京国际设计周面向社会公开征集“二十四节气”标识系统设计，以期通过现代设计的手段，尝试推动我国非物质文化遗产创新传承与发展．下面四幅作品分别代表“立春”、“芒种”、“白露”、“大雪”，其中是轴对称图形的是
A. B.
C. D.

10. 小石将 2020x+20212 展开后得到多项式 a1x2+b1x+c1，小明将 2021x−20202 展开后得到多项式 a2x2+b2x+c2，若两人计算过程无误，则 a1−a2 的值为
A. −1B. −4041C. 4041D. 1

二、填空题（共6小题；共30分）
11. 如图，在 △ABC 中，AB=AD=DC，∠BAD=20∘，则 ∠C= ．

12. 2002 年国际数学家大会在中国北京举行，这是 21 世纪全世界数学家的第一次大聚会．这次大会的会徽就是下图，选定的是我国古代数学家赵爽用来证明勾股定理的弦图，可以说是充分肯定了我国数学的成就，也弘扬了我国古代的数学文化．弦图是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形的面积是 13，小正方形的面积是 1，直角三角形的较短直角边长为 a，较长直角边长为 b，那么 a+b2 的值是 ．

13. 如图，在 △ABA1 中，∠B=20∘，AB=A1B，在 A1B 上取一点 C，延长 AA1 到 A2，使得 A1A2=A1C，在 A2C 上取一点 D，延长 A1A2 到 A3，使得 A2A3=A2D，按此做法进行下去，∠EA3A2 的度数为 ，∠A 的度数为 ．

14. 小明设计了一个关于实数的运算程序如下，当输入 x 的值为 2 时，输出的数值为 ．

15. 当 x 时，x+5 是二次根式．

16. 如图所示，已知 ∠1=∠2，请你添加一个条件，使 △ABC≌△BAD，你的添加条件是 （填一个即可）．

三、解答题（共13小题；共169分）
17. 计算：∣−5∣+38+−12−1．

18. 先化简 a2a−2−1a−2÷a2−2a+1a−2，然后从 1，2，3 中选取一个你认为合适的数作为 a 的值代入求值．

19. 用尺规作图（不写作法，保留作图痕迹，标注结果）．
（1）作线段 AB 的中垂线 EF．
（2）作 ∠AOB 的角平分线 OC．

20. 阅读下面的解答过程，然后作答：
有这样一类题目：将 a+2b 化简，若你能找到两个数 m 和 n，使 m2+n2=a 且 mn=b，则 a+2b 可变为 m2+n2+2mn，即变成 m+n2，从而使得 a+2b 化简．
例如：∵ 5+26=3+2+26=32+22+26=3+22，
∴ 5+26=3+22=3+2．
请你仿照上例解下面问题：
（1）4+23；
（2）7−210．

21. 如图 1，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90∘，E 是边 AC 上任意一点（点 E 与点 A，C 不重合），以 CE 为一直角边作 Rt△ECD，∠ECD=90∘，连接 BE，AD．若 Rt△ABC 和 Rt△ECD 是等腰直角三角形．
（1）猜想线段 BE，AD 之间的数量关系及所在直线的位置关系，直接写出结论；
（2）现将图 1 中的 Rt△ECD 绕着点 C 顺时针旋转 n∘，得到图 2，请判断①中的结论是否仍然成立，若成立，请证明；若不成立，请说明理由．

22. 如图，△ADB，△BCD 都是等边三角形，点 E，F 分别是 AB，AD 上两个动点，满足 AE=DF．连接 BF 与 DE 相交于点 G，CH⊥BF，垂足为 H，连接 CG．已知 DG=a，BG=b，CG=2GH 且 a，b 满足下列关系：a2+b2=5，ab=2．
（1）求证：△ADE≌△DBF；
（2）延长 FB 到点 M，使得 BM=DG，连接 CM．先补全图，然后求出 GH 的长．

23. 已知：如图，AC⊥BC 于点 C，AD⊥BD 于点 D，AD=BC，AD 与 BC 相交于点 O．求证：CO=DO．

24. 计算：62−3×3827−−15+∣43−4∣．

25. 解方程：x+1x−1−4x2−1=1．

26. 请回答下列问题：
（1）分解下列因式，将结果直接写在横线上：x2+4x+4= ；16x2+8x+1= ；9x2−12x+4= ．
（2）观察以上三个多项式的系数，有 42=4×1×4，82=4×16×1，−122=4×9×4，于是小明猜测：若多项式 ax2+bx+c（a>0）是完全平方式，则实数系数 a，b，c 一定存在某种类系：
①请你用数学式子表示 a，b，c 之间的关系： ．
②解决问题：若多项式 x2−2m−3x+10−6m 是一个完全平方式，求 m 的值．

27. 如图，方格纸上画有 AB，CD 两条线段，按下列要求作图（不保留作图痕迹，不要求写出作法）．
（1）请你在图（1）中画出线段 AB 关于 CD 所在的直线成轴对称的图形；
（2）请你在图（2）中添上一条线段，使图中的 3 条线段组成一个轴对称图形，请画出所有情形．

28. 为了提高产品的附加值，某公司计划将研发生产的 1200 件新产品进行精加工后再投放市场．现有甲、乙两个工厂都具备加工能力，公司派出相关人员分别到这两个工厂了解情况，获得如下信息：
信息一：甲工厂单独加工完成这批产品比乙工厂单独加工完成这批产品多用 10 天；
信息二：乙工厂每天加工产品的数量是甲工厂每天加工产品数量的 1.5 倍．
根据以上信息，求甲、乙两个工厂每天分别能加工多少件新产品?

29. 如图，若 E 在 BC 的延长线上，其他条件不变，试探究 AE 与 EF 的数量关系．
答案
第一部分
1. B【解析】A、 3a 和 2b 不能合并，故本选项不符合题意；
B、 5a−2a=3a，故本选项符合题意；
C、结果是 b5，故选项不符合题意；
D、结果是 x2+2xy+y2，故本选项不符合题意．
2. A【解析】（1）若 3 为腰长，7 为底边长，由于 3+3<7，则三角形不存在；
（2）若 7 为腰长，则符合三角形的两边之和大于第三边．所以这个三角形的周长为 7+7+3=17．
3. A【解析】∵AB∥CD，BC∥AD，
∴∠ABD=∠CDB，∠ADB=∠CBD．
在 △ABD 和 △CDB 中，
∠ABD=∠CDB,BD=DB,∠ADB=∠CBD,
∴△ABD≌△CDB，
∴AD=BC，AB=CD．
在 △ABE 和 △CDF 中，
AB=CD,∠ABE=∠CDF,BE=DF,
∴△ABE≌△CDF，
∴AE=CF．
∵BE=DF，
∴BE+EF=DF+EF，
∴BF=DE，
在 △ADE 和 △CBF 中，
AD=CB,DE=BF,AE=CF,
∴△ADE≌△CBF．即 3 对全等三角形．
4. B【解析】1x 被开方数含分母，不是最简二次根式，A 不正确；
3 是最简二次根式，B正确；
8 被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，C不正确；
12 被开方数含分母，不是最简二次根式，D不正确．
5. D
【解析】因为分式 x2−9x−3 的值为 0，
所以 x2−9=0 且 x−3≠0，
解得：x=−3．
6. C【解析】∵DE 是 △ABC 中 AC 边的垂直平分线，
∴EA=EC，
∴△EBC 的周长 =BC+BE+EC=BC+BE+EA=BC+BA=18．
7. C【解析】① 3xx2⋅x3x=1x；正确；
② 8a2b2⋅−3a4b2=−6a3；正确；
③ aa2−1÷a2a2+a=1a−1；正确；
④ a÷b⋅1b=ab2，所以原式错误．
8. D【解析】连接 BP，
因为点 B 与 D 关于 AC 对称，
所以 PD=PB，
所以 PD+PE=PB+PE．
所以由两点之间线段最短可知当点 P 在点 Pʹ 处时，PD+PE 有最小值，最小值为 BE．
因为正方形 ABCD 的面积为 12，
所以 AB=23．
又因为 △ABE 是等边三角形，
所以 BE=AB=23．
所以 PD+PE 的最小值为 23．
9. D
10. B
【解析】∵2020x+20212 展开后得到 a1x2+b1x+c1；
∴a1=20202，
∵2021x−20202 展开后得到 a2x2+b2x+c2，
∴a2=20212，
∴a1−a2=20202−20212=2020+20212020−2021=−4041，
故选：B．
第二部分
11. 40∘
【解析】∵AB=AD，∠BAD=20∘，
∴∠B=12180∘−∠BAD=12180∘−20∘=80∘．
∵∠ADC 是 △ABD 的外角，
∴∠ADC=∠B+∠BAD=80∘+20∘=100∘．
∵AD=DC．
∴∠C=12180∘−∠ADC=12180∘−100∘=40∘．
12. 25
【解析】根据勾股定理可得 a2+b2=13，
四个直角三角形的面积是：12ab×4=13−1=12，即 2ab=12，
则 a+b2=a2+2ab+b2=13+12=25．
13. 20∘，80∘
【解析】∵ 在 △ABA1 中，∠B=20∘，AB=A1B，
∴∠A=∠BA1A=180∘−∠B2=180∘−20∘2=80∘，
∵A1A2=A1C，∠BA1A 是 △A1A2C 的外角，
∴∠CA2A1=∠BA1A2=80∘2=40∘；
同理可得，∠EA3A2=20∘．
14. 1
15. ≥−5
16. BC=AD 或 ∠C=∠D 或 ∠ABD=∠BAC
第三部分
17. 原式=5+2−2=5.
18. 原式=a2−1a−2×a−2a−12=a+1a−1a−12=a+1a−1.
∵ 原式中分母有 a−2，a−1，
∴a=3，
当 a=3 时，
原式=3+13−1=2.
19. （1） 如图所示．
（2） 如图所示．
20. （1） ∵ 4+23=1+3+23=12+32+23=1+32．
∴ 4+23=1+32=1+3．
（2） 7−210=52+22−2×5×2=5−22=5−2.
21. （1） BE=AD，BE⊥AD．
【解析】如图，延长 BE 交 AD 于点 H，
在 △BCE 和 △ACD 中，
∵BC=AC,∠BCE=∠ACD=90∘,CE=CD,
∴△BCE≌△ACD，
∴BE=AD，∠BEC=∠ADC，
∵∠EBC+∠BEC=90∘，
∴∠EBC+∠ADC=90∘，
∴∠BHD=90∘，
∴BH⊥AD，
∴BE⊥AD．
（2） BE=AD，BE⊥AD 仍然成立；
设 BE 与 AC 的交点为点 F，BE 与 AD 的交点为点 G，如图，
∵∠ACB=∠ECD=90∘，
∴∠ACD=∠BCE．
在 △ACD 和 △BCE 中，
∵AC=BC,∠ACD=∠BCE,CD=CE,
∴△ACD≌△BCE．
∴AD=BE，∠CAD=∠CBE．
∵∠BFC=∠AFG，∠BFC+∠CBE=90∘，
∴∠AFG+∠CAD=90∘，
∴∠AGF=90∘，
∴BE⊥AD．
22. （1） ∵ △ADB 和 △BCD 是等边三角形，
∴ ∠DAE=∠BDF=60∘，AD=BD，
在 △DAE 和 △BDF 中，
AD=DB,∠DAE=∠BDF,AE=DF,
∴ △ADE≌△DBF．
（2） 如图，延长 FB 到点 M，使得 BM=DG，连接 CM．
∵ a2+b2=5，ab=2，
∴ a+b2=a2+2ab+b2=5+4=9，
∵ a+b>0，
∴ a+b=3，
由作图知，GM=GB+BM=GB+DG=a+b=3，
∠ADB+∠BDC=120∘，
∠DBF+∠CBM=120∘，
由（1）得，∠ADE=∠DBF，
∴ ∠CDG=∠CBM，
∴ 在 △CDG 和 △CBM 中，
CD=CB,∠CDG=∠CBM,DG=BM,
∴ △CDG≌△CBM，
∴ CG=CM，∠DCG=∠BCM，
∵ ∠DCB=60∘，
∴ ∠GCM=60∘，
∴ CG=CM=GM=3，
又 CG=2GH，
∴ GH=32．
23. 因为 AC⊥BC，AD⊥BD，
所以 ∠C=∠D=90∘，
在 Rt△ACB 和 Rt△BDA 中，
AB=BA,BC=AD,
所以 Rt△ACB≌Rt△BDA，
所以 ∠CBA=∠DAB，
所以 BO=AO，
所以 AD−AO=BC−BO，
所以 CO=DO．
24. 原式=62−3×23+15+43−4=42−3+15+43−4=8−43+15+43−4=415.
25. 去分母，得
x+12−4=x2−1.
去括号，得
x2+2x+1−4=x2−1.
移项合并，得
2x=2.
解得
x=1.
检验：当 x=1 时，x2−1=0，
∴ x=1 是增根，应舍去．
∴ 原分式方程无解．
26. （1） x+22；4x+12；3x−22
（2） ① b2=4ac
② ∵ 多项式 x2−2m−3x+10−6m 是一个完全平方式，
∴−2m−32=4×1×10−6m，
解得 m=±1．
27. （1） 所作图形如下图（1）所示．
（2） 添上的线段为 AE，HI，GK，如图（2）所示．
28. 设甲工厂每天加工 x 件新产品，则乙工厂每天加工 1.5x 件新产品．依题意，得
1200x−12001.5x=10.
解得
x=40.
经检验，x=40 是所列方程的解，且符合实际问题的意义．
当 x=40 时，1.5x=60．
答：甲、乙两个工厂每天分别能加工新产品 40 件、 60 件．
29. AE=EF，
在 BA 的延长线上截取 AG=CE，
证 △AGE≌△ECF．