2020-2021学年北京市海淀区首都师范大学第二附属中学八下期中数学试卷

这是一份2020-2021学年北京市海淀区首都师范大学第二附属中学八下期中数学试卷，共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共10小题；共50分）
1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是
A. 12B. 3C. 8D. 12

2. 下列各式中，计算正确的是
A. 2+3=5B. −22=−2
C. −32=3D. 23×33=63

3. 若一次函数 y=kx+b 的图象如图所示，则 k，b 的取值范围是
A. k>0，b>0B. k>0，b<0C. k<0，b>0D. k<0，b<0

4. 若点 3,y1 和 −1,y2 都在一次函数 y=−2x+5 的图象上，则 y1 与 y2 的大小关系是
A. y1y2D. 无法确定

5. 下列各曲线表示的 y 与 x 的关系中，y 不是 x 的函数的是
A. B.
C. D.

6. 如图，在 △ABC 中，∠C=90∘，AB=13，AC=5，D，E 分别是 AC，AB 的中点，则 DE 的长是
A. 6.5B. 6C. 5.5D. 1192

7. 在数学活动课上，老师和同学们判断一个四边形门框是否为矩形，下面是某合作学习小组的 4 位同学拟定的方案，其中正确的是
A. 测量对角线是否相互平分
B. 测量两组对边是否分别相等
C. 测量一组对角是否都为直角
D. 测量其中四边形的三个角都为直角

8. 有理数 a 和 b 在数轴上的位置如图所示，则 b2−∣a−b∣ 等于
A. aB. −aC. 2b+aD. 2b−a

9. 如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90∘，BC=3，AB=5，点 D 是边 BC 上一动点，连接 AD，在 AD 上取一点 E，使 ∠DAC=∠DCE，连接 BE，则 BE 的最小值为
A. 13−2B. 52C. 25−3D. 95

10. 为了锻炼学生身体素质，训练定向越野技能，某校在一公园内举行定向越野挑战赛．路线图如图 1 所示，点 E 为矩形 ABCD 边 AD 的中点，在矩形 ABCD 的四个顶点处都有定位仪，可监测运动员的越野进程，其中一位运动员 P 从点 B 出发，沿着 B−E−D 的路线匀速行进，到达点 D．设运动员 P 的运动时间为 t，到监测点的距离为 y，现有 y 与 t 的函数关系的图象大致如图 2 所示，则这一信息的来源是
A. 监测点 AB. 监测点 BC. 监测点 CD. 监测点 D

二、填空题（共8小题；共40分）
11. 若 x+1 在实数范围内有意义，则 x 的取值范围 ．

12. 将直线 y=3x 沿 y 轴向下平移 4 个单位长度后得到的直线解析式为 ．

13. 如图，在数轴上点 A 表示的实数是 ．

14. 《九章算术》中有一个“折竹抵地”问题：“今有竹高九尺，末折抵地，去本三尺，问折者高几何?”意思是：现有竹子高 9 尺，折后竹尖抵地与竹子底部的距离为 3 尺，问折处高几尺?即：如图，AB+AC=9 尺，BC=3 尺，则 AC= 尺．

15. 某果园随机从甲、乙、丙、丁四个品种的苹果树中各采摘了 15 棵，产量的平均数 x（单位：千克）及方差 s2 如表所示：
甲乙丙丁
若准备从四个品种中选出一种产量高又稳定的苹果树进行种植，应选的品种是 ．

16. 如图，已知菱形 ABCD 的一个内角 ∠BAD=80∘，对角线 AC，BD 相交于点 O，点 E 在 AB 上，且 BE=BO，则 ∠EOA= ∘．

17. 如图，直线 y=x+3 与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 D，将线段 AD 沿 x 轴向右平移 4 个单位长度得到线段 BC，若直线 y=kx−4 与四边形 ABCD 有两个交点，则 k 的取值范围是 ．

18. 边长为 a 的菱形是由边长为 a 的正方形“形变”得到的，若这个菱形一组对边之间的距离为 h，则称 ah 为这个菱形的“形变度”．
（1）一个“形变度”为 2 的菱形与其“形变”前的正方形的面积之比为 ；
（2）如图，A，B，C 为菱形网格（每个小菱形的边长为 1，“形变度”为 32）中的格点则 △ABC 的面积为 ．

三、解答题（共7小题；共91分）
19. 计算：24−6÷3．

20. 如图，一次函数 l1:y=2x−2 的图象与 x 轴交于点 D，一次函数 l2:y=kx+b 的图象与 x 轴交于点 A，且经过点 B3,1，两函数图象交于点 Cm,2．
（1）求 m 的值和一次函数 l2:y=kx+b 的解析式；
（2）根据图象，直接写出 kx+b<2x−2 的解集．

21. 如图，已知在 △ADE 中，∠ADE=90∘，点 B 是 AE 的中点，过点 D 作 DC∥AE，DC=AB，连接 BD，CE．
（1）求证：四边形 BDCE 是菱形；
（2）若 AD=6，BD=5，求菱形 BDCE 的面积．

22. 现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的商速发展．小明计划给朋友快递一部分物品，经了解，甲、乙两家快递公司比较合适，甲公司表示：快递物品不超过 1 千克的，按 22 元收费：超过 1 千克，超过的部分按每千克 15 元收费；乙公司表示：按每千克 16 元收费，另加包装费 3 元．设小明快递物品 x 千克．
（1）当 x>0 时，直接写出甲、乙两家快递公司快递该物品的费用 y（元）与 x（千克）之间的函数关系式；
（2）当小明快递的物品超过 1 千克时，选择哪家快递公司更省钱?

23. 某年级共有 150 名女生，为了解该年级女生实心球成绩（单位：米）和一分钟仰卧起坐成绩（单位：个）的情况，从中随机抽取 30 名女生进行测试，获得了她们的相关成绩，并对数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息．
a．实心球成绩的频数分布如表所示：
分组6.2≤x<6.66.6≤x<7.07.0≤x<7.47.4≤x<7.87.8≤x<8.28.2≤x<8.6频数210621
b．实心球成绩在 7.0≤x<7.4 这一组的是：
7.0，7.0，7.0，7.1，7.1，7.1，7.2，7.2，7.3，7.3
c．一分钟仰卧起坐成绩如图所示：
根据以上信息，回答下列问题：
（1）表中 m 的值为 ；
（2）一分钟仰卧起坐成绩的中位数为 ，众数为 ；
（3）若实心球成绩达到 7.2 米及以上时，成绩记为优秀，请估计全年级女生实心球成绩达到优秀的人数为 ．

24. 如图，正方形 ABCD 中，点 M 在 CD 边上，在正方形 ABCD 外部做一个等腰直角三角形 CMN，且满足 ∠CMN=90∘．连接 AN，CN，取 AN 的中点 E，连接 BE，AC，交于 F 点．
（1）①依题意补全图形；
②求证：F 是 AC 中点；
（2）请探究线段 CD，CN，BE 所满足的等量关系，并证明你的结论；
（3）设 AB=2，若点 M 沿着线段 CD 从点 C 运动到点 D，则在该运动过程中，线段 EN 所扫过的面积为 （直接写出答案）．

25. 对于正数 x，用符号 x 表示 x 的整数部分，例如：0.1=0，2.5=2，3=3．点 Aa,b 在第一象限内，以 A 为对角线的交点画一个矩形，使它的边分别与两坐标轴垂直，其中垂直于 y 轴的边长为 a，垂直于 x 轴的边长为 b+1，那么，把这个矩形覆盖的区域叫做点 A 的伴随域．例如，点 3,32 的伴随域是一个以 3,32 为对角线交点，长为 3，宽为 2 的矩形所覆盖的区域，如图 1 所示，它的面积是 6．
根据上面的定义，回答下列问题：
（1）在图 2 所示的坐标系中画出点 4,72 的伴随域，该伴随域的面积是 ；
（2）点 P4,72，Qa,72a>0 的伴随域重叠部分面积为 2，求 a 的值；
（3）已知点 Bm,nm>0 在直线 y=x+1 上，且点 B 的伴随域的面积 S 满足 5答案
第一部分
1. B
2. C
3. B
4. A
5. C
6. B
7. D
8. B
9. A
10. C
第二部分
11. x≥−1
12. y=3x−4
13. 5
14. 4
15. 丙
16. 25
17. k>74 或 k<−43
18. 1:2，9
第三部分
19. 原式=24÷3−6÷3=22−2=2.
20. （1） ∵ 点 C 在直线 l1:y=2x−2 上，
∴2=2m−2，
解得 m=2；
∵ 点 C2,2，B3,1 在直线 l2 上，
∴2=2k+b,1=3k+b,
解得：k=−1,b=4;
l2:y=−x+4．
（2） 由图象可得，不等式组 kx+b<2x−2 的解集为 x>2．
21. （1） 在 Rt△ADB 中，
∵∠ADB=90∘，AB=BE，
∴DB=12AE=AB=BE，
∵DC∥BE，DC=AB=BE，
∴ 四边形 BECD 是平行四边形，
∵BD=BE，
∴ 四边形 BECD 是菱形．
（2） 连接 BC 交 DE 于 O．
∵ 四边形 DBEC 是菱形，
∴BC⊥DE，
∴BO∥AD，
∵AB=BE，
∴DO=OE，
∴OB=12AD=3，OD=BD2−OB2=4，
∴BC=6，DE=8，
∴S菱形BDCE=12⋅BC⋅DE=24．
22. （1） y乙=16x+3x>0．
【解析】由题意可得，
当 x>1 时，
y甲=22+15x−1=15x+7，
当 0 y甲=22；
y乙=16x+3x>0．
（2） x>1 时，令 y甲即 15x+7<16x+3，
解得：x>4，
令 y甲=y乙，
即 15x+7=16x+3，
解得：x=4，
令 y甲>y乙，
即 15x+7>16x+3，
解得：x<4，
综上可知：当 14 时，选甲快递公司省钱．
23. （1） 9
【解析】m=30−2−10−6−2−1=9．
（2） 45；43
【解析】由条形统计图可得，
一分钟仰卧起坐成绩的中位数为 45．
（3） 65
【解析】因为实心球成绩在 7.0≤x<7.4 这一组的是：7.0，7.0，7.0，7.1，7.1，7.1，7.2，7.2，7.3，7.3，
所以实心球成绩在 7.0≤x<7.4 这一组优秀的有 4 人，
所以全年级女生实心球成绩达到优秀的人数是：150×4+6+2+130=65，
答：全年级女生实心球成绩达到优秀的有 65 人．
24. （1） ①依题意补全图形，如图 1 所示．
②连接 CE，如图 2 所示．
∵ 四边形 ABCD 是正方形，
∴∠BCD=90∘，AB=BC，
∴∠ACB=∠ACD=12∠BCD=45∘，
∵∠CMN=90∘，CM=MN，
∴∠MCN=45∘，
∴∠ACN=∠ACD+∠MCN=90∘，
∵ 在 Rt△ACN 中，点 E 是 AN 中点，
∴AE=CE=12AN．
∵AE=CE，AB=CB，
∴ 点 B，E 在 AC 的垂直平分线上，
∴F 是 AC 中点；
（2） 由②可得，BE 是线段 AC 的垂直平分线，∠ACN=90∘，
∴EF⊥AC，F 是 AC 中点，∠FBC=∠FBA=12×90∘=45∘，
∴EF∥CN，且 F 是 AC 中点，
∴EF 是 △ANC 的中位线，
∴EF=12CN，
∵BF=22BC=22CD，
∴BE=BF+EF=22CD+12CN，
即 2BE=2CD+CN；
（3） 32
【解析】在点 M 沿着线段 CD 从点 C 运动到点 D 的过程中，线段 EN 所扫过的图形为四边形 DFCN．
∵∠BDC=45∘，∠DCN=45∘，
∴BD∥CN，
∴ 四边形 DFCN 为梯形．
∵AB=CD=2，
∴CF=DF=1，CN=2，
∴S梯形DFCN=12DF+CN⋅CF=121+2×1=32．
25. （1） 点 4,72 的矩形域如图所示：
16
（2） ∵ 点 P4,72，Qa,72a>0 的矩形域重叠部分面积为 2，且平行于 y 轴的边长均为 4，
∴ 点 P4,72，Qa,72a>0 的矩形域重叠部分也是一个矩形，且平行于 y 轴的边长为 4，平行于 x 轴的边长为 12．
①当 04 时，2+a2−12=a−4，解得 a=11．
∴a 的值为 53 或 11．
（3） 53【解析】当 m=1 时，S=3，
当 m=2 时，S=8，
∵5 ∴1 ∴ 平行于 y 轴的矩形的边长为 3，
∴ 平行于 x 轴的矩形的边长 m 的范围为 53 ∵1故答案为 53