2021年北京海淀区首都师范大学附属育新学校八年级下期末数学试卷

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2021年北京海淀区首都师范大学附属育新学校八年级下期末数学试卷 一、选择题（共10小题；共50分）1. 下列事件属于必然事件的是    A. 打开电视，正在播放新闻 B. 我们班的同学将会有人成为航天员 C. 实数 a<0, 则 2a<0 D. 新疆的冬天不下雪 2. 在下列图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是    A. B. C. D. 3. 对分式 y2x ， x3y2 ， 14xy 通分时，最简公分母是    A. 24x2y2 B. 12x2y2 C. 24xy2 D. 12xy2 4. 已知点 P2m+4,m−1，点 Q2,5，直线 PQ∥y 轴，点 P 的坐标是    A. 2,2 B. 16,5 C. −2,5 D. 2,−2 5. 一个多边形剪去一个角后（剪痕不过任何一个其它顶点），内角和为 1980∘，则原多边形的边数为    A. 11 B. 12 C. 13 D. 11 或 12 6. 如图，在点 M，N，P，Q 中，一次函数 y=kx+2k<0 的图象不可能经过的点是    A. M B. N C. P D. Q 7. 下列是关于某个四边形的三个结论：①它的对角线相等；②它是一个正方形；③它是一个矩形．下列推理过程正确的是    A. 由②推出③，由③推出① B. 由①推出②，由②推出③ C. 由③推出①，由①推出② D. 由①推出③，由③推出② 8. 某村庄在进行如何避免“新型冠状病毒”感染的宣传活动中，将以下几种注意事项分别写在条幅上进行张贴，内容分别是：① 注意防寒保暖、室内通风和个人卫生；②加强体育锻炼；③保持清淡饮食；④避免到人群密集场所活动；⑤用肥皂和清水或含有酒精的洗手液洗手；⑥出门戴口罩．小明从以上 6 条宣传条幅中随机抽取一条进行张贴，恰好抽到⑤或⑥的概率是    A. 16 B. 14 C. 13 D. 12 9. 如图，点 D 在 △ABC 的边 AC 上，要判断 △ADB 与 △ABC 相似，添加一个条件，不正确的是    A. ∠ABD=∠ACB B. ∠ADB=∠ABC C. ADAB=ABAC D. ABBD=CBCD 10. 小苏和小林在如图①所示的跑道上进行 4×50 米折返跑．在整个过程中，跑步者距起跑线的距离 y（单位：m）与跑步时间 t（单位：s）的对应关系如图②所示．下列叙述正确的是    A. 两人从起跑线同时出发，同时到达终点 B. 小苏跑全程的平均速度大于小林跑全程的平均速度 C. 小苏前 15 s 跑过的路程大于小林前 15 s 跑过的路程 D. 小林在跑最后 100 m 的过程中，与小苏相遇 2 次 二、填空题（共8小题；共40分）11. 函数 y=13x−1 的定义域是  ． 12. 在平面直角坐标系中，点 −2,−3 位于第  象限． 13. 六（1）班有男生 22 人，女生 18 人，老师随机叫 1 位同学，被叫到的同学是女生的可能性是  ． 14. 如图，△ABC 中，点 D，E 分别在边 AB，BC 上，DE∥AC．若 BD=4，DA=2，BE=3，则 EC=  ． 15. 小天想要计算一组数据 92，90，94，86，99，85 的方差 s02，在计算平均数的过程中，将这组数据中的每一个数都减去 90，得到一组新数据 2，0，4，−4，9，−5，记这组新数据的方差为 s12，则 s12   s02（填“>”，“=”或”<”）． 16. 如图，小明同学站在离墙 BC5 m 的 A 处，发现小强同学在离墙 BC20 m 远且与墙平行的一条公路 l 上骑车，已知墙 BC 长为 24 m，则小明看不见小强的距离为   m． 17. 某学校为了了解八年级学生的体能情况，随机选取 30 名学生测试一分钟仰卧起坐次数，并绘制了如图的直方图，学生仰卧起坐次数在 25∼30 之间的频率为  ． 18. 若一次函数 y=kx+b，当 −3≤x≤1 时，对应的 y 值为 1≤y≤9，则一次函数的解析式为  ． 三、解答题（共11小题；共143分）19. 如图是一次函数 y=kx+b 的图象． （1）根据图象，求直线 y=kx+b 的表达式．（2）在图中画出 y=−2x+2 的图象．（3）当 y=kx+b 的函数值大于 y=−2x+2 的函数值时，直接写出 x 的取值范围． 20. 如图，直线 l1：y=2x 与直线 l2：y=kx+3 在同一平面直角坐标系内交于点 P，且直线 l2 与 x 轴交于点 A．求直线 l2 的解析式及 △OAP 的面积． 21. （1）如图，平行四边形 ABCD 的对角线 AC，BD 交于点 O．直线 EF 过点 O，分别交 AD，BC 于点 E，F．求证：AE=CF． （2）如图，将平行四边形 ABCD（纸片）沿过对角线交点 O 的直线 EF 折叠，点 A 落在点 A1 处，点 B 落在点 B1 处．设 FB1 交 CD 于点 G，A1B1 分别交 CD，DE 于点 H，I．求证：EI=FG． 22. 如图，在平行四边形 ABCD 中，EF∥AB． （1）写出图中所有相似三角形；（2）若 DEEA=23，EF=4，求 CD 的长． 23. 如图，正方形 ABCD，动点 E 在 AC 上，AF⊥AC，垂足为 A，AF=AE． （1）求证：BF=DE；（2）当点 E 运动到 AC 中点时（其他条件都保持不变），问四边形 AFBE 是什么特殊四边形?说明理由． 24. 如图，在 △ABC 和 △GMN 中，AD 和 GQ 分别是 BC 和 MN 边上的中线，ABGM=ADGQ=BCMN．求证： （1）∠BAC=∠MGN；（2）NGCA=QGDA． 25. 某校为更好地开展“传统文化进校园”活动，随机抽查了部分学生，了解他们最喜爱的传统文化项目类型（分为书法、围棋、戏剧、国画共 4 类），并将统计结果绘制成如图不完整的频数分布表及频数分布直方图． 最喜爱的传统文化项目类型频数分布表 项目类型频数频率书法类18a围棋类140.28喜剧类80.16国画类b0.20 根据以上信息完成下列问题： （1）直接写出频数分布表中 a 的值；（2）补全频数分布直方图；（3）若全校共有学生 1500 名，估计该校最喜爱围棋的学生大约有多少人? 26. 因南方旱情严重，乙水库的蓄水量以每天相同的速度持续减少．为缓解旱情，北方甲水库立即以管道运输的方式给予以支援．下图是两水库的蓄水量 y（万米3）与时间 x（天）之间的函数图象．在单位时间内，甲水库的放水量与乙水库的进水量相同（水在排放、接收以及输送过程中的损耗不计）．通过分析图象回答下列问题： （1）甲水库每天的放水量是多少万立方米?（2）在第几天时甲水库输出的水开始注入乙水库?此时乙水库的蓄水量为多少万立方米?（3）求直线 AD 的解析式． 27. 如图，矩形 ABCD 的对角线相交于点 O，DE∥AC，CE∥BD． （1）求证：四边形 OCED 是菱形．（2）若 ∠ACB=30∘，BC 的长为 43，求四边形 OCED 的周长． 28. 如图，在 △ABC 中，AB=AC，D 为 BC 中点，AE∥BD，且 AE=BD． （1）求证：四边形 AEBD 是矩形．（2）连接 CE 交 AB 于点 F，若 ∠ABE=30∘，AE=2，求 EF 的长． 29. 在平面直角坐标系 xOy 中，对于 P，Q 两点给出如下定义：若点 P 到 x，y 轴的距离中的最大值等于点 Q 到 x，y 轴的距离中的最大值，则称 P，Q 两点为“等距点”．如图中的 P，Q 两点即为“等距点”． （1）已知点 A 的坐标为 −3,1， ①在点 E0,3，F3,−3，G2,−5 中，为点 A 的“等距点”的是  ； ②若点 B 在直线 y=x+6 上，且 A，B 两点为“等距点”，则点 B 的坐标为  ；（2）直线 l:y=kx−3k>0 与 x 轴交于点 C，与 y 轴交于点 D． ①若 T1−1,t1，T24,t2 是直线 l 上的两点，且 T1 与 T2 为“等距点”，求 k 的值； ②当 k=1 时，半径为 r 的 ⊙O 上存在一点 M，线段 CD 上存在一点 N，使得 M，N 两点为“等距点”，直接写出 r 的取值范围．答案第一部分1. C 2. A 3. D 4. D 5. B 6. D 7. A 8. C 【解析】从中随机抽取一条，共 6 种等可能的结果，恰好抽到⑤或⑥的结果数为 2，所以恰好抽到⑤或⑥的概率是 26=13．9. D 10. D 【解析】由题图②可知，小林和小苏两人从起跑线同时出发，小林先到达终点，因此小林跑全程的平均速度大于小苏跑全程的平均速度，故选项A、B错误；当 t=15 时，两人在往回跑，所以函数值越小表示跑的路程越多，故选项C错误；两人相遇即实线与虚线相交的地点，小林在跑最后 100 m 的过程中，由图象可知，与小苏相遇 2 次，故选项D正确，故选D．第二部分11. x≠1312. 三13. 92014. 3215. =【解析】∵ 一组数据中的每一个数据都加上（或都减去）同一个常数后，它的平均数都加上（或都减去）这一个常数，两数进行相减，方差不变， ∴ 则 s12=s02．16. 12017. 0.418. y=2x+7 或 y=−2x+3第三部分19. （1） 由图得：点 A−2,0，点 B0,2， ∵ 直线 y=kx+b 经过点 A，B， ∴−2k+b=0,b=2, 解得 k=1,b=2, ∴ 所求直线表达式为 y=x+2．      （2） 如图．      （3） 当 x>0 时，kx+b>−2x+2．20. 把 x=1 代入 y=2x，得 y=2． ∴ 点 P1,2． ∵ 点 P 在直线 y=kx+3 上， ∴2=k+3．解得 k=−1， ∴y=−x+3．当 y=0 时，由 0=−x+3，得 x=3． ∴ 点 A3,0． ∴S△OAP=12×3×2=3．21. （1） 在平行四边形 ABCD 中，AD∥BC， ∴∠1=∠2，∠3=∠4． ∵OA=OC， ∴△AOE≌△COF． ∴AE=CF．      （2） 由（1）得 AE=CF． ∵AE=A1E， ∴A1E=CF．又 ∠A1=∠A=∠C，∠B1=∠B=∠D，∠IHD=∠GHB1， ∴∠DIH=∠B1GH． ∴∠A1IE=∠CGF．在 △A1IE 与 △CGF 中， ∠A1=∠C,∠A1IE=∠CGF,A1E=CF, ∴△A1IE≌△CGF． ∴EI=FG．22. （1） △ABD∽△CDB，△DEF∽△DAB，△DEF∽△BCD．      （2） 10．23. （1） ∵ 正方形 ABCD， ∴AB=AD，∠BAD=90∘． ∵AF⊥AC， ∴∠EAF=90∘． ∴∠BAF=∠EAD． ∵AF=AE， ∴△ADE≌△ABF． ∴BF=DE．      （2） 当点 E 运动到 AC 的中点时四边形 AFBE 是正方形． ∵BE=AF=AE， ∵BE⊥AC，∠FAE=∠BEC=90∘， ∴BE∥AF． ∵BE=AF， ∴ 得平行四边形 AFBE． ∵∠FAE=90∘，AF=AE， ∴ 四边形 AFBE 是正方形．24. （1） 提示：证 △ABD∽△GMQ．      （2） 提示：证 △ADC∽△GQN．25. （1） 14÷0.28=50（人）， a=18÷50=0.36．      （2） b=50×0.20=10，如图，      （3） 1500×0.28=420（人），答：若全校共有学生 1500 名，估计该校最喜爱围棋的学生大约有 420 人．26. （1） 甲水库每天的放水量为 3000−1000÷5=400（万米3/天）．      （2） 甲水库输出的水第 10 天时开始注入乙水库．设直线 AB 的解析式为 y=kx+b． ∵B0,800，C5,550 ∴b=800,5k+b=550. 解得 k=−50，b=800． ∴ 直线 AB 的解析式为 yAB=−50x+800．当 x=10 时，y=300，即此时乙水库的蓄水量为 300（万米3）．      （3） ∵ 甲水库单位时间的放水量与乙水库单位时间的进水量相同且损耗不计， ∴ 乙水库的进水时间为 5 天． ∵ 乙水库 15 天后的蓄水量为 300+3000−1000−50×5=2050（万米3）， ∴D15,2050． ∵A10,300，D15,2050．设直线 AD 的解析式为 y=k1x+b1． ∴10k1+b1=300,15k1+b1=2050. 解得 k1=350，b1=−3200． ∴ 直线 AD 的解析式为 yAD=350x−3200．27. （1） ∵DE∥OC，CE∥OD， ∴ 四边形 OCED 是平行四边形． ∵ 四边形 ABCD 是矩形， ∴AO=OC=BO=OD， ∴ 四边形 OCED 是菱形．      （2） ∵ 四边形 ABCD 是矩形， ∴∠ABC=90∘． ∵∠ACB=30∘， ∴AB=12AC，设 AB=x，则 AC=2x， ∴BC=3x=43． ∴x=4． ∴OC=12AC=4．由（1）可知四边形 OCED 是菱形，故它的周长为 16．28. （1） ∵AE∥BD，AE=BD， ∴ 四边形 AEBD 是平行四边形， ∵AB=AC，D 为 BC 中点， ∴AD⊥BC， ∴∠ADB=90∘， ∴ 四边形 AEBD 是矩形．      （2） ∵ 四边形 AEBD 是矩形， ∴∠AEB=90∘， ∴∠ABE=30∘，AE=2， ∴BE=23，BC=4， ∴EC=27， ∵AE∥BC， ∴△AEF∽△BCF， ∴EFCF=AEBC=12， ∴BF=13EC=273．29. （1） E，F；−3,3      （2） ① ∵T1−1,t1，T24,t2 是直线 l 上的两点， ∴t1=−k−3，t2=4k−3． ∵k>0， ∴∣−k−3∣=k+3>1，4k−3>−3．依题意可得：当 −3<4k−3<4 时，k+3=4，解得 k=1；当 4k−3≥4 时，k+3=4k−3，解得 k=2．综上所述，k 的值为 1 或 2．② 32≤r≤32．【解析】线段 CD 上点 1.5,−1.5 距离 x，y 轴的最大距离最小，故 r 的最小值为 1.5；当点 3,−3 在 ⊙O 上时，r 可取得最大值 32．