2021年北京朝阳区北京工业大学劲松分校八年级上期末数学试卷

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2021年北京朝阳区北京工业大学劲松分校八年级上期末数学试卷 一、选择题（共8小题；共40分）1. 下列说法中正确的是    A. 两个无理数的差一定是无理数 B. 两个无理数的商一定是无理数 C. 两个无理数的积一定是无理数 D. 有理数和无理数的和一定是无理数 2. 如果把分式 2xx+y 中的 x 和 y 时扩大 3 倍，则分式的值    A. 扩大 3 倍 B. 扩大 9 倍 C. 缩小 9 倍 D. 不变 3. 如图，△AOB≌△COD，OA=OC，则下列结论中，错误的是    A. OB=OD B. AB=CD C. ∠A=∠D D. ∠AOB=∠COD 4. 已知分式 x−1x+2x2−1 的值为 0，那么 x 的值是    A. −1 B. −2 C. 1 D. 1 或 −2 5. 下列图形中轴对称图形有    A. 4 个 B. 3 个 C. 2 个 D. 1 个 6. 等腰三角形两边长分别是 5 cm 和 12 cm，则这个三角形的周长为    A. 17 cm B. 22 cm 或 29 cm C. 22 cm D. 29 cm 7. 如图，点 D，E 在 △ABC 边上，沿 DE 将 △ADE 翻折，点 A 的对应点为点 Aʹ，∠AʹEC=40∘，∠AʹDB=110∘，则 ∠A 等于    A. 30∘ B. 35∘ C. 60∘ D. 70∘ 8. 如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90∘，∠CAB 的平分线交 BC 于 D，DE 是 AB 的垂直平分线，垂足为 E，若 BC=3，则 DE 的长为    A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（共8小题；共40分）9. 化简：4xy220x2y=  ． 10. 一个 n 边形的内角和是 720∘，那么 n=   11. 如果 a 的平方根是 ±3，那么 a=  ． 12. （1）当 x  时，式子 x−2 有意义； （2）当 x  时，式子 2x−4 有意义； （3）当 x  时，式子 −2x 意义． 13. 比较大小：（1）3   10；（2）23   32；（3）−211   −35． 14. 六（1）班有男生 22 人，女生 18 人，老师随机叫 1 位同学，被叫到的同学是女生的可能性是  ． 15. 两根木条的长度分别为 4 cm 和 7 cm，再添加一根木条，钉成一个直角三角形木架，则所添加木条的长度可以是  ． 16. 如图，已知 O 为直线 BC 上一定点，点 A 在直线外一定点．在直线 BC 上取点 P，使得以 O，A，P 为顶点的三角形为等腰三角形． （1）当 ∠AOC=30∘ 时，如果我们通过分类讨论、画图尝试可以找到满足条件的点 P 共有  个． （2）若在直线 BC 上有两个满足条件的点 P，则 ∠AOC=  ． 三、解答题（共12小题；共156分）17. 如图，在 △ABC 中，∠BAD=∠CAD．（1）如图①，若 DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为 E，F，请你说明 DE=DF； （2）如图②，若 G 是 AD 上一点（A，D 除外），GE⊥AB，GF⊥AC，垂足分别为 E，F，请问：GE=GF 成立吗?并说明理由； （3）如图③，若（2）中 GE，GF 不垂直于 AB，AC，要使 GE=GF，需添加什么条件?并在你添加的条件下说明 GE=GF． 18. 计算：12−3−412+48−24÷6． 19. 先化简，再求值： xx−3−13−x÷x+1x2−9，其 x=2−3． 20. 解分式方程：1x=x2−x． 21. 如图，已知 ∠C=∠D=90∘，BC 与 AD 交于点 E，AC=BD，求证：AE=BE． 22. 已知：如图，在 △ABC 中，AB=AC，点 D，E 在 BC 上，且 BD=CE．求证：∠ADE=∠AED． 23. 如图，在 △ABC 中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为 D，E，已知 AB=6，AD=5，BC=4，求 CE 的长． 24. 某工厂计划加工生产 800 件产品，当完成 200 件产品后，改进了技术，提高了效率，改进后每小时生产的产品数是原来的 1.2 倍，因此提前了 25 小时完工．求原来每小时加工生产的产品数． 25. 如图，点 A，F，C，D 在同一直线上，点 B 和点 E 分别在直线 AD 的两侧，且 AB=DE，BC∥EF，∠A=∠D．求证：AF=DC． 26. 如图，C 是 AB 的中点，∠1=∠2，求证：AE=BD． 27. 两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图 1 所示放置，图 2 是由它抽象出的几何图形，B，C，E 在同一条直线上，连接 DC． （1）请找出图 2 中与 △ABE 全等的三角形，并给予证明．（2）求证：DC⊥BE． 28. 如图，△ABC 中，AB=AC，∠A=108∘，BD 平分 ∠ABC 交 AC 于 D 点．求证：BC=AC+CD． 答案第一部分1. D 2. D 【解析】x，y 都扩大 3 倍，故 原式=2×3x3x+3y=6x3x+y=2xx+y，故分式的值不变．3. C 4. B 5. C 【解析】由题图可得，第一个、第三个均为轴对称图形，第二个是中心对称图形不是轴对称图形，第四个既不是中心对称图形也不是轴对称图形，所以轴对称图形有 2 个．6. D 7. B 【解析】∵∠AʹEC=40∘，∠AʹDB=110∘，沿 DE 将 △ADE 翻折，点 A 的对应点为点 Aʹ， ∴∠ADE=∠AʹDE=12180∘−∠AʹDB=90∘−12∠AʹDB=35∘，∠AED=∠AʹED， ∴180∘−∠DEC=∠AʹEC+∠DEC，即 ∠DEC=90∘−12∠AʹEC=90∘−20∘=70∘， ∴∠A=∠DEC−∠ADE=70∘−35∘=35∘．8. A 【解析】∵DE 垂直平分 AB， ∴DA=DB， ∴∠B=∠DAB， ∵AD 平分 ∠CAB， ∴∠CAD=∠DAB， ∵∠C=90∘， ∴3∠CAD=90∘， ∴∠CAD=30∘， ∵AD 平分 ∠CAB，DE⊥AB，CD⊥AC， ∴CD=DE=12BD， ∵BC=3， ∴CD=DE=1．第二部分9. y5x【解析】原式=4xy⋅y4xy⋅5x=y5x．故答案为：y5x．10. 611. 312. ≥2，≥2，≥013. <，<，>14. 92015. 33 cm 或 65 cm16. 4，60∘，120∘ 或 90∘【解析】（1）如图所示，若 OA 为腰时，点 P4，P1，P2 即为所求；若 OA 为等腰三角形的底，点 P3 即为所求；故答案为 4．（2）若在直线 BC 上有两个满足条件的点 P，则 ∠AOC=60∘或120∘或90∘，故答案为 60∘，120∘ 或 90∘．第三部分17. （1） ∵DE⊥AB，DF⊥AC， ∴∠AED=∠AFD，在 △AED 和 △AFD 中， ∠DAE=∠DAF,∠AED=∠AFD,AD=AD, ∴△AED≌△AFD， ∴DE=DF．      （2） GE=GF 成立．理由如下： ∵GE⊥AB，GF⊥AC， ∴∠AEG=∠AFG，在 △AEG 和 △AFG 中， ∠EAG=∠FAG,∠AEG=∠AFG,AG=AG, ∴△AEG≌△AFG， ∴GE=GF．      （3） （答案不唯一）添加 AE=AF，理由如下：在 △AEG 和 △AFG 中， AE=AF,∠EAG=∠FAG,AG=AG, ∴△AEG≌△AFG， ∴GE=GF．18. 原式=2+3−22+48÷6−24÷6=2+3−22+22−2=3.19. 原式=xx−3+1x−3÷x+1x+3x−3=x+1x−3⋅x+3x−3x+1=x+3, 将 x=2−3 代入，得 原式=2−3+3=2．20. 两边乘以 x2−x，得 2−x=x2．整理，得 x2+x−2=0．解得 x1=1，x2=−2．把 x1=1 代入 x2−x=1≠0，把 x2=−2 代入 x2−x=−8≠0．所以原方程的解是 x1=1，x2=−2．21. ∵∠C=∠D=90∘， ∴△ACB 和 △BDA 都是直角三角形，在 Rt△ACB 和 Rt△BDA 中，AB=BA,AC=BD, ∴Rt△ACB≌Rt△BDA（HL）， ∴∠ABC=∠BAD， ∴AE=BE．22. ∵AB=AC， ∴∠B=∠C，在 △ABD 和 △ACE 中， AB=AC,∠B=∠C,BD=CE, ∴△ABD≌△ACESAS， ∴AD=AE， ∴∠ADE=∠AED．23. ∵AD⊥BC，CE⊥AB， ∴S△ABC=12BC⋅AD=12AB⋅CE，即 12×4×5=12×6⋅CE，解得 CE=103．24. 设原来每小时加工生产的产品数为 x 件．根据题意，得800x−200x+6001.2x=25.整理，得24x−241.2x=1.解得x=4.经检验：x=4 是原方程的解且符合题意．答：原来每小时加工生产的产品数为 4 件．25. ∵BC∥EF， ∴∠ACB=∠DFE，在 △ABC 和 △DEF 中， AB=DE,∠A=∠D,∠ACB=∠DFE, △ABC≌△DEF． ∴AC=DF， ∴AF=DC．26. 延长 EC 到 F，使 CF=CE，连接 BF，易证 △ACE≌△BCF，所以 ∠1=∠F，AE=BF，因为 ∠1=∠2，可得 ∠2=∠F，所以 BF=BD，因此 AE=BD．27. （1） 图 2 中 △ACD≌△ABE， ∵△ABC 与 △AED 均为等腰直角三角形， ∴AB=AC，AE=AD，∠BAC=∠EAD=90∘， ∴∠BAC+∠CAE=∠EAD+∠CAE，即 ∠BAE=∠CAD． ∵ 在 △ABE 与 △ACD 中， AB=AC,∠BAE=∠CAD,AE=AD, ∴△ABE≌△ACDSAS．      （2） 由（1）△ABE≌△ACD，可得 ∠ACD=∠ABE=45∘，又 ∵∠ACB=45∘， ∴∠BCD=∠ACB+∠ACD=90∘， ∴DC⊥BE．28. 答案：在 BC 上截取 E 点使 BE=BA，连接 DE． ∵BD 平分 ∠ABC，∴ ∠ABD=∠EBD．在 △ABD 与 △EBD 中 AB=EB,∠ABD=∠EBD,BD=BD, ∴△ABD≌△EBD . ∴∠A=∠DEB=108∘ . ∴∠DEC=72∘． ∵AB=AC，∠A=108∘， ∴∠ABC=∠C=36∘ . ∴∠CDE=72∘ . ∴∠CDE=∠DEC . ∴CD=CE . ∵BC=BE+EC， ∴BC=AC+CD .