2021年北京朝阳区劲松六中九年级上期末数学试卷

这是一份2021年北京朝阳区劲松六中九年级上期末数学试卷，共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（共8小题；共40分）
1. 下列关于 y=x2 和 y=−x2 的关系的说法错误的是
A. 它们有共同的顶点和对称轴B. 它们的形状相同，开口方向相反
C. 它们都关于 y 轴对称D. 它们都经过点 −2,4

2. 如图，四个边长为 1 的小正方形拼成一个大正方形，A 、 B 、 O 是小正方形顶点，⊙O 的半径为 1，P 是 ⊙O 上的点，且位于右上方的小正方形内，则 ∠APB 等于
A. 30∘B. 45∘C. 60∘D. 90∘

3. 甲盒子中有编号为 1，2，3 的 3 个白色乒乓球，乙盒子中有编号为 4，5，6 的 3 个黄色乒乓球．现分别从每个盒子中随机地取出 1 个乒乓球，则取出乒乓球的编号之和大于 6 的概率为
A. 49B. 59C. 23D. 79

4. 下列函数中有最小值的是
A. y=2x−1B. y=−3xC. y=−x2+1D. y=2x2+3x

5. 如图，热气球的探测器显示，从热气球 A 看一栋楼顶部 B 的仰角为 30∘，看这栋楼底部 C 的俯角为 60∘，热气球 A 与楼的水平距离为 120 米，这栋楼的高度 BC 为
A. 160 米B. 60+1603 米
C. 1603 米D. 360 米

6. 二次函数 y=x2 的图象平移后经过点 2,0，则下列平移方法正确的是
A. 向左平移 2 个单位，向下平移 2 个单位
B. 向左平移 1 个单位，向上平移 2 个单位
C. 向右平移 1 个单位，向下平移 1 个单位
D. 向右平移 2 个单位，向上平移 1 个单位

7. 如图，D 是 △ABC 的边 BC 上一点，已知 AB=4，AD=2．∠DAC=∠B，若 △ABD 的面积为 a，则 △ACD 的面积为 ．
A. aB. 12aC. 13aD. 23a

8. 在同一时刻，身高 1.6m 的小强的影长是 1.2m ，旗杆的影长是 15m ，则旗杆高为
A. 16mB. 18mC. 20mD. 22m

二、填空题（共8小题；共40分）
9. 如图，AB 和 DE 是直立在地面上的两根立柱，AB=5 米，某一时刻 AB 在阳光下的投影 BC=3 米，在测量 AB 的投影时，同时测量出 DE 在阳光下的投影长为 6 米，则 DE 的长为 米．

10. tan60∘= ．

11. 在＂石头、剪子、布＂的游戏中，两人做同样手势的概率是 ．

12. 如图，这是圆桌正上方的灯泡发出的光线照射桌面后，在地面上形成阴影（圆形）的示意图，已知桌面的直径为 1.2 米，桌面距离地面 1 米，若灯泡距离地面 3 米，则地面上阴影部分的面积为 平方米．

13. 在平面直角坐标系中，点 A−2,1，B3,2，C−6,m 分别在三个不同的象限．若反比例函数 y=kxk≠0 的图象经过其中两点，则 m 的值为 ．

14. 如图，扇形 CAB 的圆心角 ∠ACB=90∘，半径 CA=8 cm，D 为弧 AB 的中点，以 CD 为直径的 ⊙O 与 CA，CB 分别相交于点 E，F，则弧 AB 的长为 cm，图中阴影部分的面积是 cm2．

15. 如图，在等腰 Rt△ABC 中，∠C=90∘，D 是 AC 边上的一点，且 tan∠ABD=15，则 ADDC 的值为 ．

16. 如图，抛物线 y=x2 在第一象限内经过的整数点（横坐标、纵坐标都为整数的点）依次为 A1，A2，A3，⋯，An，⋯．将抛物线 y=x2 沿直线 L:y=x 向上平移，得一系列抛物线，且满足下列条件：
①抛物线的顶点 M1，M2，M3，⋯，Mn，⋯ 都在直线 L:y=x 上；
②抛物线依次经过点 A1，A2，A3，⋯，An，⋯．
则顶点 M2014 的坐标为 ．

三、解答题（共6小题；共78分）
17. 已知关于 x 的二次函数 y=ax2+bx+c 的图象的对称轴是直线 x=2，图象在 x 轴上截得的线段长为 6，与 y 轴交点的纵坐标为 5，求这个二次函数的解析式．

18. 如图，正方形 ABCD 的边长为 1，AB 边上有一动点 P，连接 PD，线段 PD 绕点 P 顺时针旋转 90∘ 后，得到线段 PE，且 PE 交 BC 于 F，连接 DF，过点 E 作 EQ⊥AB 的延长线于点 Q．
（1）求线段 PQ 的长；
（2）问：点 P 在何处时，△PFD∽△BFP，并说明理由．

19. 如图，AC 为 ⊙O 的直径，AC=4，B，D 分别在 AC 两侧的圆上，∠BAD=60∘，BD 与 AC 的交点为 E．
（1）求点 O 到 BD 的距离及 ∠OBD 的度数；
（2）若 DE=2BE，求 cs∠OED 的值和 CD 的长．

20. 如图所示（左图为实景侧视图，右图为安装示意图），在屋顶的斜坡面上安装太阳能热水器：先安装支架 AB 和 CD（均与水平面垂直），再将集热板安装在 AD 上．为使集热板吸热率更高，公司规定：AD 与水平线夹角为 θ1，且在水平线上的射影 AF 为 1.4 m．现已测量出屋顶斜面与水平面夹角为 θ2，并已知 tanθ1=1.082，tanθ2=0.412．如果安装工人已确定支架 AB 高为 25 cm，求支架 CD 的高（结果精确到 1 cm）?

21. 如图，在 5×5 的正方形方格中，△ABC 的顶点都在边长为 1 的小正方形的格点上，画一个与 △ABC 相似的 △DEF，使它的三个顶点都在小正方形的格点上，且 △DEF 的面积最大，并直接写出 △DEF 的面积．

22. 图（1）、图（2）是某公共汽车双开门的俯视示意图，ME，EF，FN 是门轴的滑动轨道，∠E=∠F=90∘，两门 AB，CD 的门轴 A，B，C，D 都在滑动轨道上．两门关闭时（图（1）），A，D 分别在 E，F 处，门缝忽略不计（即 B，C 重合）；两门同时开启，A，D 分别沿 E→M，F→N 的方向斗匀速滑动，带动 B，C 滑动；B 到达 E 时，C 恰好到达 F，此时两门完全开启．已知 AB=50 cm，CD=40 cm．
（1）如图（2），当 ∠ABE=30∘ 时，BC= cm；
（2）在（1）的基础上，当 A 向 M 方向继续滑动 15 cm 时，四边形 ABCD 的面积为 cm2．
答案
第一部分
1. D
2. B
3. C【解析】
共 9 种等可能结果，编号之和大于 6 的结果有 6 种，
∴P=69=23．
4. D【解析】A、函数 y=2x−1 的图象是一直线，没有最值，故本选项错误；
B、函数 y=−3x 是双曲线，没有最值，故本选项错误；
C、函数 y=−x2+1 是开口向下的抛物线，有最大值，故本选项错误；
D、函数 y=2x2+3x 是开口向上的抛物线，有最小值，故本选项正确；
故选：D．
5. C
【解析】如图，过点 A 作 AD⊥BC 于点 D，
则 ∠BAD=30∘，∠CAD=60∘，AD=120（米），
在 Rt△ABD 中，BD=AD⋅tan30∘=120×33=403（米），
在 Rt△ACD 中，CD=AD⋅tan60∘=120×3=1203（米），
∴BC=BD+CD=1603（米）．
6. C【解析】A．平移后的解析式为 y=x+22−2，当 x=2 时，y=14，本选项不符合题意．
B．平移后的解析式为 y=x+12+2，当 x=2 时，y=11，本选项不符合题意．
C．平移后的解析式为 y=x−12−1，当 x=2 时，y=0，函数图象经过 2,0，本选项符合题意．
D．平移后的解析式为 y=x−22+1，当 x=2 时，y=1，本选项不符合题意．
7. C
8. C
第二部分
9. 10
10. 3
11. 13
12. 0.81π
13. −1
14. 4π，16π−32
15. 12
16. 4027,4027
【解析】M1a1,a1 是抛物线 y1=x−a12+a1 的顶点，抛物线 y=x2 与抛物线 y1=x−a12+a1 相交于点 A1，得 x2=x−a12+a1，即 2a1x=a12+a1，x=12a1+1，因为 x 为整数点，所以 a1=1,M11,1．
M2a2,a2 是抛物线 y2=x−a22+a2 的顶点，抛物线 y=x2 与 y2 相交于点 A2，所以得 x=12a2+1，因为 x 为整数点，a2=3，M23,3．
同理 M35,5 ⋯
所以 M20144027,4027．
第三部分
17. y=−x2+4x+5．
18. （1） 根据题意得 PD=PE，∠DPE=90∘，
∴∠APD+∠QPE=90∘．
∵ 四边形 ABCD 是正方形，
∴∠A=90∘．
∴∠ADP+∠APD=90∘．
∴∠ADP=∠QPE．
∵EQ⊥AB，
∴∠A=∠Q=90∘．
在 △ADP 和 △QPE 中，
∠A=∠Q,∠ADP=∠QPE,PD=PE,
∴△ADP≌△QPE AAS．
∴PQ=AD=1．
（2） ∵∠ADP=∠EPB，∠CBP=∠A，
∴△DAP∽△PBF．
∴ADPD=PBPF．
∵△PFD∽△BFP，
∴△PFD∽△APD．
∴PDAD=PFAP=FDPD．
∴PBPF=PAPF．
∴PA=PB．
∴PA=12AB=12．
∴ 当 PA=12 时，△PFD∽△BFP．
19. （1） 作 OF⊥BD 于点 F，连接 OD（如图）．
∵∠BAD=60∘，
∴∠BOD=2∠BAD=120∘．
∵OB=OD，
∴∠OBD=30∘．
∵AC 为 ⊙O 的直径，AC=4，
∴OB=OD=2．
在 Rt△BOF 中，
∵∠OFB=90∘，OB=2，∠OBF=30∘，
∴OF=OB⋅sin∠OBF=2sin30∘=1，
即点 O 到 BD 的距离等于 1．
（2） ∵OB=OD，OF⊥BD 于点 F．
∴BF=DF．
由 DE=2BE，设 BE=2x，则 DE=4x，BD=6x，EF=x，BF=3x．
∵BF=OB⋅cs30∘=3，
∴x=33，EF=33．
在 Rt△OEF 中，∠OFE=90∘，
∵tan∠OED=OFEF=3，
∴∠OED=60∘，cs∠OED=12．
∴∠BOE=∠OED−∠OBD=30∘．
∴∠DOC=∠DOB−∠BOE=90∘．
∴∠C=45∘．
∴CD=2OC=22．
20. 如图所示，过 A 作 AE∥BC，则 ∠EAF=∠CBG=θ2，且 EC=AB=25 cm．
Rt△DAF 中，∠DAF=θ1，DF=AFtanθ1，Rt△EAF 中，∠EAF=θ2，EF=AFtanθ2，
∴DE=DF−EF=AFtanθ1−tanθ2．
∵AF=140 cm，tanθ1=1.082，tanθ2=0.412，
∴DE=140×1.082−0.412=93.8，
∴DC=DE+EC=93.8+25=118.8≈119 cm．
答：支架 DC 的高应为 119 cm．
21. 从图中可以看出 △ABC 的三边分别是 2，2，10 ，
要让 △ABC 的相似三角形最大，就要让 DF 为网格最大的对角线，即是
52+52=52，
所以这两相似三角形的相似比是 10:52=5:5，
△ABC 的面积为 2×1÷2=1，
所以 △DEF 的最大面积是：1÷552=5．
22. （1） 90−453
【解析】∵AB=50 cm，CD=40 cm，
∴EF=AD=AB+CD=50+40=90cm．
∵∠ABE=∠DCF=30∘，
∴ 在 Rt△ABE 中，BE=AB⋅cs30∘=253 cm．
同理可得 CF=203 cm．
∴BC=EF−BE−CF=90−253−203=90−453cm．
（2） 2256
【解析】连接 AD，
依题意得 AE=25+15=40cm，
∵AB=50 cm，
∴BE=30 cm．
∴sin∠ABE=45，cs∠ABE=35．
∵∠DCF=∠ABE，
∴sin∠DCF=DFCD=45，cs∠DCF=CFCD=35．
又 CD=40 cm，
∴DF=32 cm，CF=24 cm．
∴S四边形ABCD=S梯形AEFD−S△AEB−S△CFD=1240+32×90−12×30×40−12×24×32=2256cm2.