2022-2023学年北京市朝阳区陈经纶中学劲松分校八年级（下）月考数学试卷（3月份）（含解析）

2022-2023学年北京市朝阳区陈经纶中学劲松分校八年级（下）月考数学试卷（3月份）

一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列二次根式中，最简二次根式是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列计算正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  如图，矩形的对角线，相交于点，，，则矩形对角线的长等于(    )
 

A.  B.  C.  D.

4.  如图，在平行四边形中，，为上一动点，，分别为，的中点，则的长为(    )
 

A.  B.  C.  D. 不确定

5.  以下列长度的三条线段为边，能组成直角三角形的是(    )

A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，

6.  如果，那么的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

7.  如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地米，将它往前推米时，踏板离地米，此时秋千的绳索是拉直的，则秋千的长度是(    )
 

A. 米
B. 米
C. 米
D. 米

8.  如图，分别在四边形的各边上取中点，，，，连接，在上取一点，连接，过作，交于，将四边形中的四边形和移动后按图中方式摆放，得到四边形和，延长，相交于点，得到四边形下列说法中错误的是(    )
 

A.  B.
C. 四边形是平行四边形 D.

二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）

9.  若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是        ．

10.  如图，在平行四边形中，，，的平分线交于点，则平行四边形的周长为        ．

11.  已知直角三角形的两边长分别为和，则第三边的长为        ．

12.  已知中，，，，则边上的高等于______ ．

13.  如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，的坐标分别是，，点在轴上，则点的坐标是______．

14.  如图，在中，点，点分别是，的中点，点是上一点，且，若，，则的长为        ．

15.  如图，在矩形中，点在边上，平分交于点若，，则的长为______．

16.  用张全等的直角三角形纸片拼接成如图所示的图案，得到两个大小不同的正方形．若正方形的面积为，，则正方形的面积为______．

三、解答题（本大题共9小题，共52.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
计算：

18.  本小题分
已知，求代数式的值．

19.  本小题分
阅读下面材料：
在数学课上，老师提出如下问题：

小明的思考过程是：

小明的作法如下：

请你根据小明同学设计的尺规作图过程：
使用直尺和圆规，依作法在图中补全图形保留作图痕迹；
完成下面的证明：
证明：直线是的垂直平分线，
．
，
四边形是平行四边形______填推理的依据．
，
四边形是矩形______填推理的依据．
参考小明的作图思路，另外设计一种作法，利用直尺和圆规在图中完成．
温馨提示：保留作图痕迹，不用写作法和证明
 

20.  本小题分
绿都农场有一块菜地如图所示，现测得，，，，，求这块菜地的面积．

21.  本小题分
如图，在▱中，点，分别在边，上，且．
求证：．

22.  本小题分
如图，在的正方形网格中，每个小方格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形．
在图中，画一个直角三角形，使它的三边长都是有理数；
在图中，画一个直角三角形，使它的两边长是有理数，另外一边长是无理数；
在图中，画一个直角三角形，使它的一边长是有理数，另外两边长是无理数．
 

23.  本小题分
如图，在平行四边形中，过点作于点，点在边上，，连接，．
求证：四边形是矩形；
若平分，，，求长．

24.  本小题分
在数学课上，老师说统计学中常用的平均数不是只有算术平均数一种，好学的小聪通过网络搜索，又得到了两种平均数的定义，他把三种平均数的定义整理如下：
对于两个数，，称为，这两个数的算术平均数，称为，这两个数的几何平均数，称为，这两个数的平方平均数．
小聪根据上述定义，探究了一些问题，下面是他的探究过程，请你补充完整：
若，，则______，______，______；
小聪发现当，两数异号时，在实数范围内没有意义，所以决定只研究当，都是正数时这三种平均数的大小关系．结合乘法公式和勾股定理的学习经验，他选择构造几何图形，用面积法解决问题：
如图，画出边长为的正方形和它的两条对角线，则图中阴影部分的面积可以表示．

请分别在图，图中用阴影标出一个面积为，的图形；
借助图形可知当，都是正数时，，，的大小关系是______把，，从小到大排列，并用“”或“”号连接．

25.  本小题分
如图，在平行四边形中，对角线、相交于点，若、是上的两个动点，分别从、两点以相同的速度向、运动，其速度为．
当与不重合时，四边形是平行四边形吗？说明理由．
若，，当运动时间为何值时，以、、、为顶点的四边形是矩形？说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、，故A不符合题意；
B、是最简二次根式，故B符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、，故D不符合题意；
故选：．
根据最简二次根式的定义，逐一判断即可解答．
本题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查二次根式的运算，解题的关键是熟练运用二次根式的加减运算以及乘除运算法则，本题属于基础题型．根据二次根式的加减运算法则以及乘除运算法则即可求出答案．
【解答】
解：、与不是同类二次根式，不能合并，故A不符合题意；
B、原式，故B不符合题意；
C、原式，故C符合题意；
D、原式，故D不符合题意．
故选：．  

3.【答案】 

【解析】解：四边形是矩形，
，，，
，
，
是等边三角形，
，
，
故选：．
根据等边三角形的性质首先证明是等边三角形即可解决问题．
本题考查矩形的性质、等边三角形的判定等知识，解题的关键是发现是等边三角形，属于基础题．
 

4.【答案】 

【解析】解：在平行四边形中，．
，分别为，的中点，
是的中位线，
．
故选：．
首先由平行四边形的对边相等的性质求得；然后利用三角形中位线定理求得．
本题主要考查了平行四边形的性质和三角形中位线定理，解题过程中是利用平行四边形的性质结合三角形中位线定理来求有关线段的长度的．
 

5.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查的是勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形就是直角三角形是解答此题的关键．
由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
【解答】
解：、，
不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
B、，
不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
C、，
能构成直角三角形，故本选项符合题意；
D、，
不能构成直角三角形，故本选项不符合题意．
故选：．  

6.【答案】 

【解析】解：，
，
解得：．
故选；．
利用二次根式的性质，进而得出答案．
此题主要考查了二次根式的化简，正确把握二次根式的性质是解题关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：设米，
米，米，
米，米，
在中，米，米，米，
根据勾股定理得：，
解得：，
则秋千的长度是米．
故选：．
设米，用表示出的长，在直角三角形中，利用勾股定理列出关于的方程，求出方程的解即可得到结果．
此题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：如图，

四边形与四边形全等，四边形与四边形全等，
与，
四边形的面积四边形的面积，
故A正确；
顺次连接，连接交于点，得▱，于是，
可得≌，所以，
故B正确；
由对称性可得：，
，
，
四边形是平行四边形，
故C正确；
四边形是平行四边形，
，
不一定平行于，
不一定等于，
不一定等于，
故D不正确，
故答案为：．

证明与，从而A正确；根据对称或全等得出B正确；根据，，得出C正确；，得出D错误．
本题考查了平行四边形的判定和性质，图形的剪拼等知识，解决问题的关键是掌握有关知识．
 

9.【答案】 

【解析】解：由题意得：，
解得：，
故答案为：．
根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式，解不等式得到答案．
本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：四边形是平行四边形，
，，
，
平分，
，
，
，
平行四边形的周长为：，
故答案为：．
由平行四边形的性质可得，，由平行线的性质和角平分线的性质可得，即可求解．
本题考查了平行四边形的性质、角平分线的性质，找到并求出的长是解决本题的关键．
 

11.【答案】或 

【解析】解：直角三角形的两边长分别为和，
当是此直角三角形的斜边时，设另一直角边为，则；
当是此直角三角形的直角边时，设另一直角边为，则．
综上所述，第三边的长为或．
故答案为：或．
由于此题中直角三角形的斜边不能确定，故应分是直角三角形的斜边和直角边两种情况讨论．
本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：如图，
，，
，
，
，
．
故答案为．
根据勾股定理求出的长，再根据面积法求出的长．
本题考查了勾股定理、三角形的面积，熟悉面积法是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：连接，

点，点，
，
四边形是矩形，
，
点的坐标为，
故答案为：．
由两点距离公式可求的长，由矩形的性质可求，即可求解．
本题考查了矩形的性质，坐标与图形的性质，掌握矩形的对角线相等是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：点、分别是、的中点，
是的中线，
，
，
，
在中，，点是的中点，，
，
，
故答案为：．
根据三角形中线定理求出，再根据直角三角形的性质求出，再进行计算即可．
本题考查了三角形中线定理和直角三角形的性质，熟练掌握三角形的中线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：四边形是矩形，
，，
，
平分，
，
，
，
，，
，
，
，
，
故答案为．
由矩形的性质可得，，由平行线的性质和角平分线的性质可证，在中，由勾股定理可求的长，即可求解．
本题考查了矩形的性质，角平分线的性质，勾股定理，等腰三角形判定，求出的长是解题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：正方形的面积为，
，
，
≌，
，
，
正方形的面积，
故答案为：．
由正方形的面积公式可得，在中，由勾股定理可求，即可求解．
本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质，勾股定理，求出的长是解题的关键．
 

17.【答案】解：原式

． 

【解析】先化简，然后合并同类二次根式即可．
本题考查了二次根式的加减法，注意正数的绝对值等于它本身．
 

18.【答案】解：
方法一：当时，
．
方法二：，
当时，，
． 

【解析】利用完全平方公式，进行计算即可解答．
本题考查了二次根式的化简求值，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
 

19.【答案】对角线互相平分的四边形是平行四边形  有一个角是直角的平行四边形是矩形 

【解析】解：补全图形如图所示；
证明：直线是的垂直平分线，
，
，
四边形是平行四边形对角线互相平分的四边形是平行四边形，
，
四边形是矩形有一个角是直角的平行四边形是矩形，
故答案为：对角线互相平分的四边形是平行四边形；有一个角是直角的平行四边形是矩形；
如图，四边形为矩形，
依据：有三个角是直角的四边形是矩形．
根据线段垂直平分线的作法作出图形；
根据平行四边形的判定定理、矩形的判定定理解答；
根据线段垂直平分线的作法、有三个角是直角的四边形是矩形作图．
本题考查的是矩形的概念和判定，基本尺规作图，掌握矩形的判定定理、正确进行基本尺规作图是解题的关键．
 

20.【答案】解：连接，

，，，
，
，
在中，，，，
，，
，
为直角三角形，
，
，
菜地的面积，
这块菜地的面积为． 

【解析】连接，在中，利用勾股定理求出的长，再利用勾股定理的逆定理证明为直角三角形，然后根据菜地的面积进行计算即可解答．
本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理，以及勾股定理的逆定理是解题的关键．
 

21.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，
，
，
，，
四边形是平行四边形，
． 

【解析】由平行四边形的性质得出，，推出四边形是平行四边形，即可得出结论．
本题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
 

22.【答案】解：如图，即为所求答案不唯一．
如图，即为所求答案不唯一．
如图，即为所求答案不唯一．
 

【解析】根据要求作出三边为，，的三角形即可答案不唯一．
根据要求作出三边为，，的三角形即可答案不唯一．
根据要求作出三边为，，的三角形即可答案不唯一．
本题作图应用与设计作图，无理数，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．
 

23.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
四边形是矩形；

解：四边形是矩形，
，
，
在中，，，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
． 

【解析】先证明四边形是平行四边形，再根据矩形的判定即可得到证明；
根据勾股定理求出长，求出，即可得出答案．
本题考查了平行四边形的性质，矩形的性质和判定等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．
 

24.【答案】解：，，；
，
则用阴影标出一个面积为的图形如下所示：

，
则用阴影标出一个面积为的图形如下所示：
；
． 

【解析】

【分析】
本题考查了完全平方公式，新定义问题，较难的是题，正确利用完全平方公式进行变形运算是解题关键．
将，分别代入，，求值即可得；
分别求出，，再根据图形面积公式即可得；
根据中的所画的图形可得，由此即可得出结论．
【解答】
解：当，时，
，
，
，
故答案为：；；；
见答案；
由可知，，当且仅当，即时，等号成立，
，都是正数，
，，都是正数，
，
故答案为：．  

25.【答案】证明：当与不重合时，四边形是平行四边形，理由如下：
四边形是平行四边形，
，，
、两动点分别以、两点以相同的速度向、运动，
，
，即，
、互相平分，
四边形是平行四边形；

解：四边形是平行四边形，
当时四边形是矩形，
，
，
，
，
，
或，
、两边动点的速度都是，
 或，
当运动时间或时，以、、、为顶点的四边形是矩形． 

【解析】根据平行四边形的性质得出，，求出、互相平分，根据平行四边形的判定得出即可；
根据矩形的性质求出，，，即可得出答案．
本题考查了矩形的判定，平行四边形的性质和判定的应用，能熟记矩形和平行四边形的性质和判定是解此题的关键．