2021年北京朝阳区劲松二中九年级上期末数学试卷

这是一份2021年北京朝阳区劲松二中九年级上期末数学试卷，共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共8小题；共40分）
1. 9 的相反数是
A. −9B. 9C. ±9D. 19

2. 4 的算术平方根是
A. 2B. ±2C. 16D. ±16

3. 在一个不透明的袋子里装有两个红球和两个黄球，它们除颜色外都相同．随机从中摸出一球，记下颜色后放回袋中，充分摇匀后，再随机摸出一球，两次都摸到黄球的概率是
A. 12B. 13C. 14D. 16

4. 已知 m3=n4，那么下列式子中一定成立的是
A. 4m=3nB. 3m=4nC. m=4nD. mn=12

5. 如图，△ABC 中，∠C=90∘，AB=5，BC=3，CA=4，那么 sinA 等于
A. 34B. 43C. 35D. 45

6. 若点 2,5，4,5 是抛物线 y=ax2+bx+c 上的两个点，那么这条抛物线的对称轴是
A. 直线 x=1B. 直线 x=2C. 直线 x=3D. 直线 x=4

7. 如图，AB 是 ⊙O 的直径，弦 CD⊥AB，∠C=30∘，CD=23，则 S阴影=
A. πB. 2πC. 233D. 23π

8. 如图，AB 是半圆 O 的直径，点 P 从点 A 出发，沿半圆弧 AB 顺时针方向匀速移动至点 B，运动时间为 t，△ABP 的面积为 S，则下列图象能大致刻画 S 与 t 之间的关系的是 ．
A. B.
C. D.

二、填空题（共4小题；共20分）
9. 不等式 x−82>1 的解集是 ．

10. 如图，函数 y=12xx>0 的图象经过 △OAB 的顶点 B 和边 AB 的中点 C，如果点 B 的横坐标为 3，则点 C 的坐标为 ．

11. 如图，为了测量某风景区内一座古塔 AB 的高度，小明分别在塔的对面一楼层 CD 的楼底 C，楼顶 D 处，测得塔顶 A 的仰角为 45∘ 和 30∘，已知楼高 CD 为 10 m，则塔 AB 的高度为 m．

12. 如图，在半径为 5 的 ⊙O 中，AB，CD 是互相垂直的两条弦，垂足为 P，且 AB=CD=8，则 OP 的长为 ．

三、解答题（共13小题；共169分）
13. 某商场举行“庆元旦，送惊喜” 抽奖活动，10000 个奖券中设有中奖奖券 200 个．
（1）小红第一个参与抽奖且抽取一张奖券，她中奖的概率有多大?
（2）元旦当天在商场购物的人中，估计有 2000 人次参与抽奖，商场当天准备多少个奖品较合适?

14. 计算：−12−1−3tan30∘+π−10+−3．

15. 化简：x+22+xx−4．

16. 如图，在 △ABC 和 △ADE 中，ABAD=BCDE=ACAE，点 B，D，E 在一条直线上．求证：△ABD∽△ACE．

17. 已知二次函数 y=x2+2x+c．
（1）当 c=−3 时，求出该二次函数的图象与 x 轴的交点坐标；
（2）若 −2
18. 如图，CE 是 △ABC 外角 ∠ACD 的平分线，AF∥CD 交 CE 点交于点 F，FG∥AC 交 CD 于点 G，求证：四边形 ACGF 是菱形．

19. 如图，在 △ABC 中，∠C=90∘，tanA=33，∠ABC 的平分线 BD 交 AC 于点 D，CD=3，求 AB 的长．

20. （1）已知抛物线的顶点为 −1,−3，与 y 轴的交点为 0,−5，求抛物线的解析式．
（2）求经过 A1,4，B−2,1 两点，对称轴为 x=−1 的抛物线的解析式．

21. 如图所示，点 A，B，C，D 在 ⊙O 上，AC⊥BD 于点 E，过点 O 作 OF⊥BC 于点 F．求证：
（1）△AEB∽△OFC；
（2）AD=2FO．

22. 如图，在 △ABC 中，∠ABC=90∘，BC=3，D 为 AC 延长线上一点，AC=3CD．过点 D 作 DH∥AB，交 BC 的延长线于点 H．
（1）求 BD⋅cs∠HBD 的值；
（2）若 ∠CBD=∠A，求 AB 的长．

23. 如图 1，AB 为 ⊙O 的直径，C 为 ⊙O 上一点，若直线 CD 与 ⊙O 相切于点 C，AD⊥CD，垂足为 D．
（1）求证：△ADC∽△ACB；
（2）如果把直线 CD 向下平行移动，如图 2，直线 CD 交 ⊙O 于 C，G 两点，若题目中的其他条件不变，且 AG=4，BG=3，求 tan∠DAC 的值．

24. 如图，在 ⊙O 中，弦 BC 与半径 OA 垂直于点 D，连接 AB，AC．点 E 为 AC 的中点，连接 DE．
（1）若 AB=6，求 DE 的长．
（2）若 ∠BAC=100∘，求 ∠CDE 的度数．

25. 已知点 A2,−2 和点 B−4,n 在抛物线 y=ax2a≠0 上．
（1）求 a 的值及点 B 的坐标；
（2）点 P 在 y 轴上，且满足 △ABP 是以 AB 为直角边的直角三角形，求点 P 的坐标；
（3）平移抛物线 y=ax2a≠0，记平移后点 A 的对应点为 Aʹ，点 B 的对应点为 Bʹ．点 M2,0 在 x 轴上，当抛物线向右平移到某个位置时，AʹM+MBʹ 最短，求此时抛物线的函数解析式．
答案
第一部分
1. A
2. A
3. C
4. A
5. C
6. C
7. D【解析】由题意知四边形 CODA 为菱形，∠CDO=30∘，OA=2，S阴影=S扇形AOD=16S⊙O=16×4π=23π．
8. C【解析】点 P 在弧 AB 上运动时，随着时间 t 的增大，点 P 到 AB 的距离先变大，当到达弧 AB 的中点时，最大，然后逐渐变小，直至到达点 B 时为 0，并且点 P 到 AB 的距离的变化不是直线变化，
∵AB 的长度等于半圆的直径，
∴△ABP 的面积为 S 与 t 的变化情况相同，纵观各选项，只有C选项图象符合．
第二部分
9. x>10
10. 6,2
【解析】把 x=3 代入 y=12xx>0 中，得 y=4，
∴B3,4，
∵C 点是 AB 的中点，A 点在 x 轴上，
∴C 点的纵坐标为：4÷2=2，
把 y=2 代入 y=12xx>0 中，得 x=6，
∴C6,2．
11. 15+53
12. 32
【解析】作 OM⊥AB 于 M，ON⊥CD 于 N，连接 OB，OD．
∵AB=CD=8，
∴BM=DN=4．
∴OM=ON=52−42=3．
∵AB⊥CD，
∴∠DPB=90∘．
∵OM⊥AB 于 M，ON⊥CD 于 N，
∴∠OMP=∠ONP=90∘．
∴ 四边形 MONP 是矩形．
∵OM=ON，
∴ 矩形 MONP 是正方形．
∴ OP=32．
第三部分
13. （1） P小红中奖的概率=20010000=150．
（2） 150×2000=40，
因此商场当天准备奖品 40 个比较合适．
14. 原式=−2−3×33+1+3=−1．
15. 原式=x2+4x+4+x2−4x=2x2+4.
16. ∵ 在 △ABC 和 △ADE 中，ABAD=BCDE=ACAE，
∴ △ABC∽△ADE，
∴ ∠BAC=∠DAE，
∴ ∠BAD=∠CAE．
∵ ABAD=ACAE，
∴ ABAC=ADAE，
∴ △ABD∽△ACE．
17. （1） 由题意，得
y=x2+2x−3.
当 y=0 时，x2+2x−3=0，解得
x1=−3,x2=1.
∴ 该二次函数的图象与 x 轴的交点坐标为 −3,0，1,0．
（2） 抛物线 y=x2+2x+c 的对称轴为 x=−1．
（i）若抛物线与 x 轴只有一个交点，则交点为 −1,0．
有 0=1−2+c，解得 c=1．
（ii）若抛物线与 x 轴有两个交点，且满足题意，则有：
当 x=−2 时，y<0，
∴4−4+c<0，解得 c<0．
当 x=1 时，y>0，
∴1+2+c>0，解得 c>−3．
∴−3综上所述，c 的取值范围是 c=1 或 −318.
∵AF∥CD，FG∥AC，
∴ 四边形 ACGF 是平四边形．
∵CE 平分 ∠ACD，
∴∠1=∠2，
∵AF∥CD，
∴∠2=∠3，
∴∠1=∠3，
∴AF=AC，
∴ 四边形 ACGF 是菱形．
19. 在 Rt△ABC 中，∠C=90∘，tanA=33，
所以 ∠A=30∘，
所以 ∠ABC=60∘．
因为 BD 是 ∠ABC 的平分线，
所以 ∠CBD=∠ABD=30∘．
又因为 CD=3，
所以 BC=CDtan30∘=3．
在 Rt△ABC 中，∠C=90∘，∠A=30∘，
所以 AB=BCsin30∘=6．
答：AB 的长为 6．
20. （1） 由顶点坐标为 −1,−3，设抛物线解析式为 y=ax+12−3．
将 0,−5 代入解析式中可得 a=−2．
y=−2x2−4x−5．
（2） 抛物线的对称轴为 −b2a=−1，
可得 b=2a．
设抛物线的解析式为 y=ax2+2ax+c．
将 1,4 、 −2,1 代入解析式可得
a+2a+c=4,4a−4a+c=1.
可得 a=1,c=1.
∴ 抛物线的解析式为 y=x2+2x+1．
21. （1） 连接 OB，
则 ∠BAC=12∠BOC，而 OF⊥BC．
∴∠COF=12∠BOC．
∴∠BAC=∠COF．
又 ∠BEA=∠CFO=90∘，
∴△AEB∽△OFC．
（2） ∵∠CBD=∠CAD，∠BEC=∠AED=90∘，
∴△AED∽△BEC．
∴AEBE=ADBC．
由（1）知 AEBE=OFCF，
∴ADBC=OFCF．
又 OF⊥BC 于点 F，
∴BC=2CF．
∴AD=2FO．
22. （1） ∵DH∥AB，
∴∠BHD=∠ABC=90∘，△ABC∽△DHC，
∴ACDC=BCHC=31．
∴CH=1．
在 Rt△BHD 中，cs∠HBD=BHBD，
∴BDcs∠HBD=BH=4．
（2） ∵∠A=∠CBD，∠ABC=∠BHD，
∴△ABC∽△BHD，
∴BCHD=ABBH．
∵△ABC∽△DHC，
∴ABDH=ACDC=31，
∴AB=3DH，
∴3DH=3DH4，DH=2，
∴AB=6．
23. （1）
连接 OC．
∵DC 与 ⊙O 相切于点 C，OC 是 ⊙O 半径，
∴DC⊥OC（圆的切线垂直于过切点的半径）．
∵AD⊥DC，
∴∠ADC=∠DCO=90∘，
∴AD∥OC，
∴∠2=∠3．
∵OA=OC，
∴∠2=∠1，
∴∠1=∠3．
∵AB 是 ⊙O 直径，
∴∠ACB=90∘．
∵∠1=∠3，∠ACB=∠ADC=90∘，
∴△ADC∽△ACB（如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似）．
（2） ∵ 四边形 ABGC 是圆内接四边形，
∴∠B+∠ACG=180∘（圆内接四边形的对角互补），
∵∠ACG+∠ACD=180∘，
∴∠B=∠ACD．
∵∠AGB=∠ADC=90∘，
∴∠DAC=∠GAB．
在 Rt△GAB 中，tan∠GAB=GBAG=34，
∴tan∠DAC=34．
24. （1） ∵E 为 AC 中点，且 AD⊥BC，
∴CECA=CDCB，
∴△CED∽△CAB，
∴DE=12AB=3．
（2） ∵BD=CD，
∴ 在 △ABD 和 △ACD 中，
AD=AD,∠ADB=∠ADC,BD=CD,
∴△ABD≌△ACD，
∴∠ABC=∠ACD，∠BAD=∠CAD=50∘，
又 ∵△CED∽△CAB，
∴∠CDE=∠ABC，
∴∠ABD=40∘，即 ∠CDE=40∘．
25. （1） a=−12，
抛物线解析式为：y=−12x2．
B−4,−8．
（2）
记直线 AB 与 x 、 y 轴分别交于 C 、 D 两点，
则直线 AB:y=x−4．C4,0 、 D0,−4
在 Rt△COD 中，OC=DO，
∴∠ODA=45∘．
①以 A 为直角顶点，则 ∠P1AB=90∘，
在 Rt△P1AD 中，∠P1DA=45∘，
则 ADP1D=cs45∘=22，
∴P1D=2AD=4．
∵D0,−4，
∴P10,0．
②以 B 为直角顶点，则 ∠DBP2=90∘，
在 Rt△DBP2 中，∠BDP2=∠ODC=45∘，
∴DP2=2BD=8，
∴P0,−12，
∴ 综上，P0,0 或 0,−12．
（3）
记点 A 关于 x 轴的对称点为 E2,2，
则 BE:y=53x−43．
令 y=0，得 x=45，
即 BE 与 x 轴的交点为 Q45,0，
MQ=∣2−45∣=65．
故抛物线 y=−12x2 向右平移 65 个单位时 AʹM+MBʹ 最短．
此时，抛物线的解析式为 y=−12x−652．