人教A版 (2019)必修 第二册第六章 平面向量及其应用6.2 平面向量的运算教学设计及反思

这是一份人教A版 (2019)必修 第二册第六章 平面向量及其应用6.2 平面向量的运算教学设计及反思，共7页。教案主要包含了预习课本，引入新课，新知探究，典例分析，课堂小结，板书设计，作业等内容，欢迎下载使用。


实数与向量的积及它们的混合运算称为向量的线性运算，也叫向量的初等运算，是进一步学习向量知识和运用向量知识解决问题的基础。实数与向量的积的结果是向量，要按大小和方向这两个要素去理解。向量平行定理实际上是由实数与向量的积的定义得到的，定理为解决三点共线和两直线平行问题又提供了一种方法。特别：向量的平行要与平面中直线的平行区别开。
课程目标
1．掌握实数与向量的积的定义以及实数与向量的积的三条运算律，会利用实数与向量的积的运算律进行有关的计算；
2．理解两个向量平行的充要条件，能根据条件判断两个向量是否平行；
3．通过对实数与向量的积的学习培养学生的观察、分析、归纳、抽象的思维能力，了解事物运动变化的辩证思想.
数学学科素养
1.数学抽象：向量数乘概念；
2.逻辑推理：向共线的充要条件及其应用；
3.数学运算：向量的线性运算；
4.数学建模：用已知量表示未知量中从实际问题抽象出数学模型，数形结合，运用向量加法解决实际问题.
重点：实数与向量的积的定义、运算律，向量平行的充要条件；
难点：理解实数与向量的积的定义，向量平行的充要条件.
教学方法：以学生为主体，小组为单位，采用诱思探究式教学，精讲多练。
教学工具：多媒体。
情景导入
我们已经学习了向量的加法，请同学们作出和向量，并请同学们指出相加后，和的长度与方向有什么变化？这些变化与哪些因素有关？
要求：让学生自由发言，教师不做判断。而是引导学生进一步观察.研探.
二、预习课本，引入新课
阅读课本13-16页，思考并完成以下问题
1、向量数乘的定义及其几何意义是什么？
2、向量数乘运算满足哪三条运算律？
3、向量共线定理是怎样表述的？
4、向量的线性运算是指的哪三种运算？
要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。
三、新知探究
1、定义
实数与向量的积是一个向量，记作. 它的长度和方向规定如下：
（1）.
（2）时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向相反；特别地，当或时，.
2、实数与向量的积的运算律
设、为任意向量，、为任意实数，则有：
（1）；
（2）；
（3）.
3、向量平行的充要条件：
向量与非零向量平行的充要条件是有且仅有一个实数，使得.
四、典例分析、举一反三
题型一 向量的线性运算
例1 化简下列各式：
(1)2(3a－2b)＋3(a＋5b)－5(4b－a)；
(2)eq \f(1,6)[2(2a＋8b)－4(4a－2b)]．
【答案】(1) 14a－9b. (2)－2a＋4b.
【解析】(1)原式＝6a－4b＋3a＋15b－20b＋5a＝14a－9b.
(2)原式＝eq \f(1,6)(4a＋16b－16a＋8b)
＝eq \f(1,6)(－12a＋24b)
＝－2a＋4b.
解题技巧（向量线性运算的方法）
(1)向量的数乘运算可类似于代数多项式的运算．例如实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是在这里的“同类项”“公因式”指向量，实数看作是向量的系数．
(2)向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，利用代数方程的方法求解，同时在运算过程中要多注意观察，恰当运用运算律，简化运算．
跟踪训练一
1、设向量a＝3i＋2j，b＝2i－j，求eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)a－b))－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a－\f(2,3)b))＋(2b－a)．
2、已知a与b，且5x＋2y＝a,3x－y＝b，求x，y.
【答案】1、－eq \f(5,3)i－5j. 2、eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(1,11)a＋\f(2,11)b，,y＝\f(3,11)a－\f(5,11)b.))．
【解析】1、原式＝eq \f(1,3)a－b－a＋eq \f(2,3)b＋2b－a
＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)－1－1))a＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1＋\f(2,3)＋2))b
＝－eq \f(5,3)a＋eq \f(5,3)b
＝－eq \f(5,3)(3i＋2j)＋eq \f(5,3)(2i－j)
＝－eq \f(5,3)i－5j.
2、联立方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(5x＋2y＝a，,3x－y＝b，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(1,11)a＋\f(2,11)b，,y＝\f(3,11)a－\f(5,11)b.))
题型二 向量线性运算的应用
例2 如图所示，四边形ABCD是一个等腰梯形，AB∥DC，M，N分别是DC，AB的中点，已知eq \(AB,\s\up15(―→))＝a，eq \(AD,\s\up15(―→))＝b，eq \(DC,\s\up15(―→))＝c，试用a，b，c表示eq \(BC,\s\up15(―→))，eq \(MN,\s\up15(―→)).
【答案】 eq \(BC,\s\up15(―→))－a＋b＋c. eq \(MN,\s\up15(―→))＝eq \f(1,2)a－b－eq \f(1,2)c.
【解析】 eq \(BC,\s\up15(―→))＝eq \(BA,\s\up15(―→))＋eq \(AD,\s\up15(―→))＋eq \(DC,\s\up15(―→))＝－a＋b＋c.
∵eq \(MN,\s\up15(―→))＝eq \(MD,\s\up15(―→))＋eq \(DA,\s\up15(―→))＋eq \(AN,\s\up15(―→))，
又eq \(MD,\s\up15(―→))＝－eq \f(1,2)eq \(DC,\s\up15(―→))，eq \(DA,\s\up15(―→))＝－eq \(AD,\s\up15(―→))，eq \(AN,\s\up15(―→))＝eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up15(―→))，
∴eq \(MN,\s\up15(―→))＝eq \f(1,2)a－b－eq \f(1,2)c.
解题技巧： (用已知向量表示未知向量)
用图形中的已知向量表示所求向量，应结合已知和所求，联想相关的法则和几何图形的有关定理，将所求向量反复分解，直到全部可以用已知向量表示即可，其实质是向量的线性运算的反复应用．
跟踪训练二
1、如图所示，D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，M，N分别是DE，BC的中点，已知eq \(BC,\s\up15(―→))＝a，eq \(BD,\s\up15(―→))＝b，试用a，b分别表示eq \(DE,\s\up15(―→))，eq \(CE,\s\up15(―→))，eq \(MN,\s\up15(―→)).
【答案】eq \(DE,\s\up15(―→))＝eq \f(1,2)a. eq \(CE,\s\up15(―→))＝－eq \f(1,2)a＋b. eq \(MN,\s\up15(―→))＝eq \f(1,4)a－b.
【解析】由三角形中位线定理，知DE平行且等于eq \f(1,2)BC，故eq \(DE,\s\up15(―→))＝eq \f(1,2)eq \(BC,\s\up15(―→))，
即eq \(DE,\s\up15(―→))＝eq \f(1,2)a.
eq \(CE,\s\up15(―→))＝eq \(CB,\s\up15(―→))＋eq \(BD,\s\up15(―→))＋eq \(DE,\s\up15(―→))＝－a＋b＋eq \f(1,2)a＝－eq \f(1,2)a＋b.
eq \(MN,\s\up15(―→))＝eq \(MD,\s\up15(―→))＋eq \(DB,\s\up15(―→))＋eq \(BN,\s\up15(―→))＝eq \f(1,2)eq \(ED,\s\up15(―→))＋eq \(DB,\s\up15(―→))＋eq \f(1,2)eq \(BC,\s\up15(―→))
＝－eq \f(1,4)a－b＋eq \f(1,2)a＝eq \f(1,4)a－b.
题型三 共线定理的应用
例3 已知非零向量e1，e2不共线．
(1)如果eq \(AB,\s\up16(→))＝e1＋e2，eq \(BC,\s\up16(→))＝2e1＋8e2，eq \(CD,\s\up16(→))＝3(e1－e2)，求证：A，B，D三点共线；
(2)欲使ke1＋e2和e1＋ke2共线，试确定实数k的值．
【答案】（1）见解析，（2）k＝±1.
【解析】 (1)证明：∵eq \(AB,\s\up16(→))＝e1＋e2，
eq \(BD,\s\up16(→))＝eq \(BC,\s\up16(→))＋eq \(CD,\s\up16(→))＝2e1＋8e2＋3e1－3e2＝5(e1＋e2)＝5eq \(AB,\s\up16(→)).
∴eq \(AB,\s\up16(→))，eq \(BD,\s\up16(→))共线，且有公共点B．
∴A，B，D三点共线．
(2)∵ke1＋e2和e1＋ke2共线，
∴存在实数λ，使ke1＋e2＝λ(e1＋ke2)，
即(k－λ)e1＝(λk－1)e2.
∵e1与e2不共线，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(k－λ＝0，,λk－1＝0，))解得k＝±1.
解题技巧（用向量共线的条件证明两条直线平行或重合的思路）
(1)若b＝λa(a≠0)，且b与a所在的直线无公共点，则这两条直线平行；
(2)若b＝λa(a≠0)，且b与a所在的直线有公共点，则这两条直线重合．例如，若向量eq \(AB,\s\up15(―→))＝λeq \(AC,\s\up15(―→))，则eq \(AB,\s\up15(―→))，eq \(AC,\s\up15(―→))共线，又eq \(AB,\s\up15(―→))与eq \(AC,\s\up15(―→))有公共点A，从而A，B，C三点共线，这是证明三点共线的重要方法．
跟踪训练三
1、已知e1，e2是两个不共线的向量，若eq \(AB,\s\up16(→))＝2e1－8e2，eq \(CB,\s\up16(→))＝e1＋3e2，eq \(CD,\s\up16(→))＝2e1－e2，求证：A，B，D三点共线；
2、已知A，B，P三点共线，O为直线外任意一点，若eq \(OP,\s\up16(→))＝xeq \(OA,\s\up16(→))＋yeq \(OB,\s\up16(→))，求x＋y的值．
【答案】1、见解析.2、x＋y＝1.
【解析】1、证明：∵eq \(CB,\s\up16(→))＝e1＋3e2，eq \(CD,\s\up16(→))＝2e1－e2，
∴eq \(BD,\s\up16(→))＝eq \(CD,\s\up16(→))－eq \(CB,\s\up16(→))＝e1－4e2.
又eq \(AB,\s\up16(→))＝2e1－8e2＝2(e1－4e2)，
∴eq \(AB,\s\up16(→))＝2eq \(BD,\s\up16(→))，∴eq \(AB,\s\up16(→))∥eq \(BD,\s\up16(→)).
∵AB与BD有公共点B，
∴A，B，D三点共线．
2、解 由于A，B，P三点共线，所以向量eq \(AB,\s\up16(→))，eq \(AP,\s\up16(→))在同一直线上，由向量共线定理可知，必定存在实数λ使eq \(AP,\s\up16(→))＝λeq \(AB,\s\up16(→))，
即eq \(OP,\s\up16(→))－eq \(OA,\s\up16(→))＝λ(eq \(OB,\s\up16(→))－eq \(OA,\s\up16(→)))，
所以eq \(OP,\s\up16(→))＝(1－λ)eq \(OA,\s\up16(→))＋λeq \(OB,\s\up16(→))，
故x＝1－λ，y＝λ，即x＋y＝1.
五、课堂小结
让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧
六、板书设计
向量的数乘运算
定义 例1 例2 例3
注意：
2.向量线性运算
3. 向量平行充要条件
七、作业
课本15、16页练习，22页习题6.2的8，9，12，13，14，15题.
向量数乘运算以及加法、减法统称为向量的三大线性运算，向量的数乘运算其实是加法运算的推广及简化.教学时从加法入手，引入数乘运算，充分体现了数学知识之间的内在联系.实数与向量的乘积仍然是一个向量，既有大小，又有方向.特别是方向与已知向量是共线向量，进而引出共线向量定理.这样平面内任意一条直线就可以用点A和某个向量表示了.共线向量定理是本章节的重要的内容，应用相当广泛，且容易出错，尤其是定理的前提条件：向量是非零向量.共线向量的应用主要用于证明点共线或线平行等，且与后学的知识有着密切的联系.