高中数学人教A版 (2019)必修 第二册第六章 平面向量及其应用6.2 平面向量的运算教案设计

【新教材】6.2.1 向量的加法运算

教学设计（人教A版）

本节通过数的加法启发我们，从运算的角度看，位移的合成、力的合成可看作向量的加法.借助于物理中位移的合成、力的合成来理解向量的加法，让学生顺理成章接受向量的加法定义.结合图形掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则.联系数的运算规律掌握向量加法运算的交换律和结合律.

课程目标

1、掌握向量的加法运算，并理解其几何意义；

2、会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量，培养数形结合解决问题的能力；

3、通过将向量运算与熟悉的数的运算进行类比，使学生掌握向量加法运算的交换律和结合律，并会用它们进行向量计算，渗透类比的数学方法.

数学学科素养

1.数学抽象：向量加法概念；

2.逻辑推理：利用向量加法证明几何问题；

3.直观想象：向量加法运算；

4.数学建模：从实际问题抽象出数学模型，数形结合，运用向量加法解决实际问题.

重点：会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量；

难点：理解向量加法的定义.

教学方法：以学生为主体，小组为单位，采用诱思探究式教学，精讲多练。

教学工具：多媒体。

一、    情景导入

数有加减乘除运算，那么向量有没有加减乘除运算，如果有，该怎么运算呢？

要求：让学生自由发言，教师不做判断。而是引导学生进一步观察.研探.

二、预习课本，引入新课

阅读课本7-10页，思考并完成以下问题

1.向量加法是如何定义的？

2.运用什么法则进行向量加法运算？

3.向量加法满足哪些运算律？

4.和向量和已知向量有什么关系？

要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。

三、新知探究

１、向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法.

２、三角形法则和平行四边形法则

(1)三角形法则（“首尾相接，首尾连”）

如图，已知向量a、ｂ.在平面内任取一点，作＝a，＝ｂ，则向量叫做a与ｂ的和，记作a＋ｂ，即 a＋ｂ，  规定： a + 0= 0 + a

(2)平行四边形法则

如图所示：＝＋(三角形法则) ，又因为＝，

所以＝＋(平行四边形法则)，

注意：在使用三角形法则时，应注意“首尾连接”，这个方法可推广到多个向量相加的情形；在使用平行四边形法则时，应注意范围的限制及和向量与两向量起点相同．

3.向量a+b与非零向量a，b的模及方向的关系

(1)当a与b不共线时，a＋b的方向与a，b都不相同，且|a＋b|＜|a|＋|b|.

(2)当a与b同向时，a＋b，a，b的方向相同，且|a＋b|＝|a|＋|b|.

(3)当a与b反向时，若|a|≥|b|，则a＋b与a的方向相同，且|a＋b|＝|a|－|b|.

若|a|＜|b|，则a＋b与b的方向相同，且|a＋b|＝|b|－|a|.

4．向量加法的运算律

(1)交换律：a＋b＝b＋a；

(2)结合律：a＋b＋c＝(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．

四、典例分析、举一反三

题型一  向量的三角形法则和平行四边形法则

例1 　如下图中(1)、(2)所示，试作出向量a与b的和．

【答案】见解析

【解析】如下图中(1)、(2)所示，

首先作＝a，然后作＝b，则＝a＋b．

解题技巧（应用三角形和平行四边形法则的步骤）

(1)应用三角形法则求向量和的基本步骤

①平移向量使之“首尾相接”，即第一个向量的终点与第二个向量的起点重合．

②以第一个向量的起点为起点，并以第二个向量的终点为终点的向量，即为两个向量的和．

(2)应用平行四边形法则求向量和的基本步骤

①平移两个不共线的向量使之共起点．

②以这两个已知向量为邻边作平行四边形．

③平行四边形中，与两向量共起点的对角线表示的向量为两个向量的和．

跟踪训练一

1、如图，已知a，b，求作a＋b；

【答案】见解析．

【解析】如图所示．

．

题型二  向量的加法运算

例2　如图，在△ABC中，O为重心，D，E，F分别是BC，AC，AB的中点，化简下列三式：

【答案】　(1) .  (2) .  (3) ..

【解析】　(1)＋＋＝＋＝.

(2)＋＋＝(＋)＋＝＋＝.

(3)＋＋＝＋＋＝＋＝.

解题技巧： (向量加法运算注意事项)

(1)可以利用向量的几何表示，画出图形进行化简或计算．

(2)要灵活应用向量加法运算律，注意各向量的起、终点及向量起、终点字母的排列顺序，特别注意勿将0写成0.

跟踪训练二

1、化简或计算：

(1)＋＋；

(2)＋＋＋＋.

【答案】(1).  (2) 0.

【解析】(1)＋＋＝(＋)＋＝＋＝.

(2)＋＋＋＋＝(＋)＋(＋)＋＝＋＋＝＋＝0.

题型三  利用向量加法证明几何问题

例3已知四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，且＝，＝.

求证：四边形ABCD是平行四边形．

【答案】见解析.

【解析】证明　＝＋，＝＋，

又∵＝，＝，∴＝，

∴AB＝DC且AB∥DC，

∴四边形ABCD为平行四边形．

解题技巧（用向量加法证明集合问题的基本思路）

用向量方法证明几何问题，首先要把几何问题中的边转化成相应的向量，通过向量的运算及其几何意义得到向量间的关系，然后再还原成几何问题．

跟踪训练三

1．如图所示，在平行四边形ABCD的对角线BD的反向延长线及延长线上取点E，F，使BE＝DF，求证：四边形AECF是平行四边形．

【答案】见解析．

【解析】证明　∵＝＋，＝＋，

又＝，＝，

∴＝，即AE与FC平行且相等．

∴四边形AECF是平行四边形．

题型四  向量加法的实际应用

例4　在水流速度为向东10 km/h的河中，如果要使船实际航行的速度的大小为10 km/h，方向垂直于对岸渡河，求船行驶速度的大小与方向．

【答案】　船行驶速度为20 km/h，方向与水流方向的夹角为120°.

【解析】　如图所示，表示水速，表示船实际航行的速度，表示船速，

由＝＋易知||＝||＝10，又∠OBC＝90°，所以||＝20，

所以∠BOC＝30°，所以∠AOC＝120°，即船行驶速度为20 km/h，

方向与水流方向的夹角为120°.

解题技巧： (向量加法解决实际问题的步骤)

跟踪训练四

1、在某地抗震救灾中，一救护车从A地按北偏东35°的方向行驶800 km到达B地接到受伤人员，然后又从B地按南偏东55°的方向行驶800 km送往C地医院，求这辆救护车行驶的路程及两次位移的和．

【答案】救护车行驶的路程是1600 km，两次行驶的位移和的大小为800 km，方向为北偏东80°.

【解析】如图所示，设，分别表示救护车从A地按北偏东35°方向行驶800 km，从B地按南偏东55°的方向行驶800 km.

则救护车行驶的路程指的是||＋||；

两次行驶的位移的和指的是＋＝.

依题意，有||＋||＝800＋800＝1600(km)．

又α＝35°，β＝55°，∠ABC＝35°＋55°＝90°.所以||＝＝＝800(km)．

其中∠BAC＝45°，所以方向为北偏东35°＋45°＝80°.

从而救护车行驶的路程是1600 km，两次行驶的位移和的大小为800 km，方向为北偏东80°.

五、课堂小结

让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧

六、板书设计

七、作业

课本10页练习，22页习题6.2的1，2题.

本节课重点是向量加法的定义，三角形法则和平行四边形法则，同时还涉猎到向量加法交换律和结合律。因此，在开始引入向量加法定后重在阐述三角行法则，然后借助向量平移得到平行四边形法则，然后对其应用.