高中数学人教版新课标A必修21.1 空间几何体的结构教学设计

课题

2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系

教材版本

新课标：人教版《数学2》

授课时间、授课人

2006-12-25   胡春林

授课班级

铜陵三中2006级高一（2）

教学目标

一 、知识要点

1.异面直线的定义             2.异面直线的画法

3.异面直线所成的角的定义     4.平行公理与等角定理

二、能力要求

1.掌握异面直线的定义，会用异面直线的定义判断两直线的位置关系。

2.会用平面衬托来画异面直线。

3.掌握并会应用平行公理和等角定理。

4.会用异面直线所成的角的定义找出或作出异面直线所成的角，会在直角三角形中求简单异面直线所成的角。

三、情感与价值目标

1.提高学生的空间想象能力和作图能力。、

2.增强动态意识，培养学生观察、对比、分析的思维，通过平移转化渗透数学中的化归及辩证唯物主义思想。

3.通过探究增强学生的合作意识、动脑意识和动手能力。

教学重点、难点

教学重点：异面直线的定义；异面直线所成的角的定义。

教学难点：异面直线所成角的推证与求解。

教学方法

讲授法、讨论法、指导合作探究法

教具准备

学生学案一份、上课用多媒体课作一个、合作探究（二）配套教学模型一个

备课札记

教学过程

一、复习引入

1．平面内两条直线的位置关系有（相交直线、平行直线）

相交直线（有一个公共点）；平行直线（无公共点）

2．实例。十字路口----立交桥

立交桥中, 两条路线AB, CD既不平行，又不相交（非平面问题）

六角螺母                       

二、新课讲解

1.异面直线的定义:

不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。

练习：在教室里找出几对异面直线的例子

注1：两直线异面的判别一 : 两条直线 既不相交、又不平行.

两直线异面的判别二 : 两条直线不同在任何一个平面内.

合作探究一：分别在两个平面内的两条直线是否一定异面？

答：不一定：它们可能异面，可能相交，也可能平行。 

空间两直线的位置关系

按平面基本性质分    （1）同在一个平面内：相交直线、平行直线

（2）不同在任何一个平面内：异面直线

按公共点个数分    （1）有一个公共点: 相交直线

（2）无公共点：平行直线、异面直线

2．异面直线的画法

说明: 画异面直线时 , 为了体现它们不共面的特点。常借助一个或两个平面来衬托.

合作探究二：如图是一个正方体的展开图,如果将它

还原为正方体, 那么 AB , CD , EF , GH 这四条线段

所在直线是异面直线的有         对?

答:共有三对

3.异面直线所成的角

(1)复习回顾

在平面内,两条直线相交成四个角, 其中不大于90度的角称为它们的夹角, 用以刻画两直线的错开程度, 如图.

(2)问题提出

在空间,如图所示, 正方体ABCD－EFGH中, 异面直线AB与HF的错开程度可以怎样来刻画

(3)解决问题

思想方法 : 平移转化成相交直线所成的角,即化空间图形问题为平面图形问题

异面直线所成角的定义: 如图,已知两条异面直线 a , b , 经过空间任一点O作 直线 a′∥a , b ′∥b 则把 a ′与 b ′所成的锐角(或直角)叫做异面直线所成的角(或夹角).

异面直线所成的角的范围( 0O , 90O ]

注2：如果两条异面直线 a , b 所成的角为直角，我们就称这两条直线互相垂直 ,

    记为a ⊥ b

思考 : 这个角的大小与O点的位置有关吗 ? 即O点位置不同时, 这一角的大小

      是否改变? 答 : 这个角的大小与O点的位置无关.

 (4)理论支持

㈠：我们知道,在同一平面内, 如果两条直线都和第三条直线平行,

　　那么这两条直线互相平行.在空间这一规律是否还成立呢?

观察 : 将一张纸如图进行折叠 , 则各折痕及边 a, b, c, d, e, … 之间有何关系？

         a∥b ∥c ∥d ∥e ∥ …

公理４：在空间平行于同一条直线的两条直线互相平行．——平行线的传递性

推广：在空间平行于一条已知直线的所有直线都互相平行．

㈡：在平面内, 我们可以证明 “ 如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补 ”．空间中这一结论是否仍然成立呢？

观察：如图所示,长方体ABCD-A1B1C1D1中, ∠ADC与∠A1D1C1 ,∠ADC与

∠A1B1C1两边分别对应平行,这两组角的大小关系如何?

答:从图中可看出, ∠ADC=∠A1D1C1,

 ∠ADC +∠A1B1C1=180O

定理（等角定理）：空间中，如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．

证: 这个角的大小与O点的位置无关.

证明 : 如图 ,  再过空间另一点O’作a″∥a ,

设a ′与 b ′所成的角为∠1, a ″与 b 所成的角为∠2 ,

∵ a′∥a , a″ ∥a ∴ a′∥ a″ (公理4),

同理 b′∥b, ∴ ∠1 = ∠2 (等角定理)

注3：在求作异面直线所成的角时,O点常选在其中的一条直线上(如线段的端点,线段的中点等)

4．例题选讲

1.下图长方体中

(1)说出以下各对线段的位置关系?

①EC和BH是  相交   直线

②BD和FH是  平行   直线 

③BH和DC是  异面   直线 

(2)与棱 A B 所在直线异面的棱共有   4   条?

课后思考：长方体的棱中共有多少对异面直线？

例2．如图，正方体ABCD-EFGH中如图，正方体

ABCD-EFGH中O为侧面ADHE的中心，求

(1)BE与CG所成的角？

(2)FO与BD所成的角？

解：(1)如图：∵CG∥BF，

∴∠EBF(或其补角)为异面直线BE与CG所成的角，

又  BEF中∠EBF =450 ，所以BE与CG所成的角为450

（2）连接FH，

∵HD∥EA∥FB ∴HD∥FB ∴四边形HFBD为平行四边形，

∴HF∥BD，∴∠HFO（或其补角）为异面直线FO与BD所成的角。

连接HA、AF，易得FH=HA=AF，∴△AFH为等边△，

又依题意知O为AH中点, ∴∠HFO=300     即FO与BD所成的夹角是300

注4：求异面直线的步骤是:“一作(找)二证三求”

5．课堂练习

.如图,已知长方体ABCD-EFGH中, AB =, AD =, AE = 2

(1)求BC 和EG 所成的角是多少度?

(2)求AE 和BG 所成的角是多少度?

解答：(1) 450  (2) 600

 6．课堂小结

异面直线的定义: 不同在 任何 一个平面内的两条直线叫做异面直线。

空间两直线的位置关系：相交直线、平行直线、异面直线

异面直线的画法：用平面来衬托

异面直线所成的角：平移，转化为相交直线所成的角

公理４（平行公理）：在空间平行于同一条直线的两条直线互相平行．

等角定理：空间中，如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．

异面直线所成角的求法: 一作(找)二证三求

课后作业

作业：P56：6

课后思考题：

1．在平面内我们有“垂直于同一条直线的两条直线平行”在空间, 这一结论是否一定成立? 答 : 不一定

注：不是所有的平面中的定理都可以推广到空间 ,若推广需证明其正确性.

2．“ 若直线 a 与直线 b 异面，直线 b 与直线 c 异面。 则a与c 也异面”。这一命题对吗？为什么？  ( 即:异面直线是否具有传递性）

答：不一定。

注：异面直线不具有传递性

如图，正四面体 A-BCD 中 , E、F 分别是边 AD、

BC的中点，求异面直线 EF与AC 所成的角？

思考：在此题中，连接AC ，若有AC＝BD，则四边形EFGH是什么图形？

教

学

后

记