高中数学3.3 二元一次不等式（组）与简单的线性教学演示ppt课件

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3.3.2 简单的线性规划问题(一)1．了解线性规划的意义，了解线性约束条件、线性目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念．2．掌握线性规划问题的图解法，会用图解法求目标函数的最大值、最小值．3．训练数形结合、化归等熟悉思想，培养和发展数学应用意识．线性规划相关概念.续表线性约束条件可行解最大值最小值线性约束条件x－y≥6，练习1：已知 x，y 满足约束条件 2x＋y＜9，分别确定 x≥1，x，y 的值，使 z＝x＋3y 取到最大值或最小值，其中__________为可行域，__________为线性目标函数．z＝x＋3y x≥0，练习2：已知实数 x，y 满足 y≤1，求 2x＋y 的 x－2y＋1≤0，最大值，这个问题就是______________．满足不等式组的解(x， y)叫做_______，如 是一组可行解，由所有可行解组成的集合即不等式组所表示的平面区域(如图 3－3－1 中阴影部分)是________．易知，当 x＝1，y＝1 时，目标函数 z＝2x＋y取最大值 3，故(1,1)是这个规划问题的________．线性规划问题可行解可行域最优解图 3－3－11．z＝x2＋y2－3 是线性目标函数吗？答案：不是，因为 x，y 的系数是 22．线性目标函数的最优解只有唯一一个吗？答案：不是，最优解可能有无数个．题型1线性目标函数的最值 x－4y≤－3，例1：已知变量 x，y满足 3x＋5y≤25，求 z＝2x＋y 的 x≥1，最大值和最小值． 思维突破：把z 看成直线在y 轴上的截距，先画出可行域，再求z 的最值．自主解答：作出不等式组所表示的可行域，如图 D14.图 D14设直线 l0：2x＋y＝0，直线 l：2x＋y＝z，则 z 的几何意义是直线 y＝－2x＋z 在 y 轴上的截距． 显然，当直线越往上移动时，对应在 y 轴上的截距越大，即 z 越大；当直线越往下移动时，对应在 y 轴上的截距越小，即 z 越小．作一组与直线 l0 平行的直线系 l，上下平移，可得：当直线 l 移动到直线 l2 时，即过点 A(5,2)时，zmax＝2×5＋2＝12；当直线 l 移动到直线 l1 时，即过点 B(1,1)时，zmin＝2×1＋1＝3.正确作出可行域后，将目标函数变为直线方程的斜截式的形式，应注意该直线在y 轴上的截距与目标函数z取值的关系．再注意该直线的斜率与可行域边界直线的斜率关系，以便准确找到最优解．【变式与拓展】 x－2y＋4≥0，1．已知实数 x，y 满足约束条件 2x＋y－2≥0， 3x－y－3≤0，则目标函数 z＝x＋2y 的最大值的可行解为________．(2,3)x－2≤0， 2．若x，y满足线性约束条件 y－1≤0，求 z＝x＋ x＋2y－2≥0，y 的最小值． 解：作出不等式组所表示的可行域如图 D17 中阴影部分． 将 z＝x＋y 变形为 y＝－x＋z，这是斜率为－1，随 z 变化的一组平行线，当直线 y＝－x＋z 经过可行域内的 A 点时，直线 y＝－x＋z 在 y 轴上的截距最小，z 也最小．这里 A 点是直线x＋2y－2＝0 与直线 y＝1 的交点．解方程组x＋2y－2＝0，y＝1，得x＝0，y＝1.此时 z＝0＋1＝1.故 z 的最小值为 1. 图 D17题型2线性规划的逆向性问题 y≥1，例2：已知实数 x，y 满足 y≤2x－1， x＋y≤m，如果目标函数 z＝x－y 的最小值为－1，则实数 m＝()A．7B．5C．4D．3 思维突破：画出x，y 满足的可行域，可得直线y＝2x－1与直线x＋y＝m 的交点使目标函数z＝x－y 取得最小值．答案：B【变式与拓展】 3．在如图 3－3－2 所示的可行域内，目标函数 z＝x＋ay)取得最小值的最优解有无数个，则 a 的一个可能值是( 图 3－3－2A. －3B．3C. －1D．1解析：分析知“目标函数与直线 BC 重合时 z 最小”，故Dx－y＋5≥0，4．已知 x，y 满足 x≤3， x＋y＋k≥0，且 z＝2x＋4y 的最小值)为－6，则常数 k＝( A．2 B．9C．3D．0解析：画图后知：当 x＝3 时 z＝2x＋4y 取最小值－6.D题型3线性规划的间接应用 x＋2y－19≥0，例3：设二元一次不等式组 x－y＋8≥0，所表示的平 2x＋y－14≤0，面区域为 M，使函数 y＝ax(a＞0，a≠1)的图象过区域 M 的 a)的取值范围是( A．[1,3] C．[2,9]B．[ 2, ]D．[ ,9] 思维突破：本题考查线性规划与指数函数．画出平面区域M，观察图象并结合指数函数性质即可．解析：如图 D15 中的阴影部分为平面区域 M, 显然，只需研究过(1,9)，(3,8)两种情形．图 D15a1≤9 且 a3≥8，即 2≤a≤9.答案：C【变式与拓展】 x－y＋1≥0，5．若实数 x，y 满足 x＋y≥0， x≤0，则 z＝3x＋2y 的最小值是(B )A．0C. B．1D．9例4：若 x，y 满足不等式组 求 z＝－3x －2y 的最值． 试解：作出约束条件表示的可行域，如图 D16 中的阴影部分，则点 A(10,4)，B(3,6)． 令 p＝3x＋2y， 作直线 l：3x＋2y＝0，当直线 l 右移过点 B(3,6)时，pmin＝21；当直线 l 继续右移过点 A(10,4)时，pmax＝38.又 z＝－p，故 zmax＝－21，zmin＝－38.图 D16 易错点评：直线在y 轴上的截距与目标函数z＝－3x－2y取值的关系上出错．直线ax＋by＝z 往右(或往左)平移时，z 随之增大(或减小)，只有当a>0 时，才能成立．当a<0 时，可利用换元将a 变为大于0.解简单线性规划问题的基本步骤：(1)画图：画出线性约束条件所表示的平面区域；(2)定线：令 z＝0，得到一过原点的直线； (3)平移：在线性目标函数所表示的一组平行线中，利用平移的方法找出与可行域有公共点且截距最大或最小的直线；(4)求最优解；(5)求最值．