高中数学人教版新课标A必修41.2 任意的三角函数教案

点击——象限角和终边相同角

一、要点扫描

1．象限角

  当角的顶点与坐标原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合，那么角的终边（除端点外）在第几象限，就说这个角是第几象限角。

  如是第一象限角；是第二象限角。

  注：如果角的顶点不与坐标原点重合，或者角的始边不与轴的非负半轴重合，则不能判断角在哪一个象限，也就是它不能称做象限角。

  2．轴线角

  当角的顶点与坐标原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合，那么角的终边落在坐标轴上，称做轴线角，这时这个角不属于任何象限。

  如，，，等都是轴线角。

  3．终边相同的角

  所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合

  ，

  即任一与角终边相同的角，都可以表示成角与整数个周角的和。

  注：（1）为任意角；

  （2）与之间是“+”号，可理解为；

  （3）相等的角，终边一定相同，终边相同的角不一定相等，终边相同的角有无数个，它们相差的整数倍；

  （4）这一条件不可少。

  4．各象限角的集合与轴线角的集合

  （1）象限角的集合

  第一象限角的集合为；

  第二象限角的集合为；

  第三象限角的集合为；

  第四象限角的集合为。

  （2）轴线角的集合

  终边落在轴的非负半轴上，角的集合为；

  终边落在轴的非正半轴上，角的集合为；

  终边落在轴上，角的集合为；

  终边落在轴的非负半轴上，角的集合为；

  终边落在轴的非正半轴上，角的集合为；

  终边落在轴上，角的集合为；

  终边落坐标轴上，角的集合为。

  注：象限角与轴线角的集合表示并不唯一，也还有其它的表示形式。如终边落在轴的非正半轴上，角的集合也可表示为。

  二、范例剖析

例1  已知角是第三象限角，则角的终边在（      ）

  ．第一象限             ．第二象限

．第三象限             ．第四象限

  分析：由角的表示法，确定的表示法，然后得出所在的范围。

  解析：∵是第三象限角，∴，

则，

∴所在的范围与的范围相同，

  ∴的终边在第二象限。

  故答案选。

  评注：终边相同的角的表示方法中，包括正整数、负整数和零，与的意义相同。

  例2  已知角、的终边相同，那么的终边在（    ）

  ．轴的非负半轴上     ．轴的非负半轴上

．轴的非正半轴上     ．轴的非正半轴上

  分析：将角、按终边终边相同角公式写出，然后作差，对其研究即可作出判断。

  解析：∵角、的终边相同，∴。

  作差，

∴的终边在轴的非负半轴上。

  故答案选。

  评注：对于终边为轴的角的集合，终边为轴的角的集合，终边为坐标轴的角的集合，要记熟记牢。

  三、知能展示

1．求终边为直线的角的集合。

2．角小于而大于，它的7倍角的终边又与自身终边重合，求角。

答案：

1．

2．分别为，，，，