数学必修4第一章 三角函数1.3 三角函数的诱导公式课时练习

1.3 第2课时 三角函数的诱导公式2

一、选择题

1．已知sin(α－)＝，则cos(＋α)的值为(　　)

A.　　　　 B．－

C.     D．－

[答案]　D

[解析]　cos(＋α)＝sin(－α)．

＝－sin(α－)＝－.

2．已知cos(＋α)＝－，且α是第四象限角，则cos(－3π＋α)(　　)

A.     B．－

C．±     D.

[答案]　B

[解析]　∵cos(＋α)＝－，∴sinα＝－，

∴cos(－3π＋α)＝－cosα＝－＝－.

3．若A、B是锐角△ABC的两个内角，则点P(cosB－sinA，sinB－cosA)在(　　)

A．第一象限   B．第二象限

C．第三象限   D．第四象限

[答案]　B

[解析]　∵A、B是锐角三角形的两个内角，∴A＋B>90°，∴B>90°－A，∴cosB<sinA，sinB>cosA，故cosB－sinA<0，sinB－cosA>0，选B.

4．已知锐角α终边上一点P的坐标是(2sin2，－2cos2)，则α等于(　　)

A．2     B．－2

C．2－    D.－2

[答案]　C

[解析]　解法一：由条件可知点P到原点距离为2，∴P(2cosα，2sinα)，∴，

根据诱导公式及α为锐角可知，

，∴α＝2－.

解法二：点P位于第一象限，且

tanα＝－cot2＝－tan＝tan，

∵2－∈，∴α＝2－.

5．(09·全国Ⅰ文)sin585°的值为(　　)

A．－    B.

C．－    D.

[答案]　A

[解析]　sin585°＝sin(360°＋225°)＝sin225°

＝sin(180°＋45°)＝－sin45°＝－.

6．已知cos(＋φ)＝且|φ|<，则tanφ等于(　　)

A．－    B.

C．－    D.

[答案]　C

[解析]　∵cos(＋φ)＝－sinφ＝，

∴sinφ＝－，∵－<φ<，

∴cosφ＝，∴tanφ＝＝－.

7．A、B、C为△ABC的三个内角，下列关系式中不成立的是(　　)

①cos(A＋B)＝cosC  ②cos＝sin

③tan(A＋B)＝－tanC  ④sin(2A＋B＋C)＝sinA

A．①②    B．③④

C．①④    D．②③

[答案]　C

[解析]　∵cos(A＋B)＝cos(π－C)＝－cosC，

∴①错，排除B、D；

cos＝cos＝cos＝sin，

∴②正确，排除A，∴选C.

8．tan110°＝k，则sin70°的值为(　　)

A．－   B.

C.    D．－

[答案]　A

[解析]　解法一：∵k<0，sin70°>0，∴排除C、B，

又|sin70°|<1，∴排除D，选A.

解法二：k＝tan110°＝－tan70°，∴tan70°＝－k>0，

∴cos70°＝－sin70°代入sin270°＋cos270°＝1中得，sin270°＝，∵k<0，sin70°>0，

∴sin70°＝－ .

二、填空题

9．sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin288°＋sin289°＋sin290°的值为________．

[答案]　

[解析]　∵sin21°＋sin289°＝sin21°＋cos21°＝1，

sin22°＋sin288°＝sin22°＋cos22°＝1，

sin2x°＋sin2(90°－x°)＝sin2x°＋cos2x°＝1，(1≤x≤44，x∈N)

∴原式＝(sin21°＋sin289°)＋(sin22°＋sin288°)＋…＋(sin244°＋sin246°)＋sin290°＋sin245°＝45＋2＝.

10．化简＝________.

[答案]　cos20°－sin20°

[解析]　原式＝

＝

＝|sin20°－cos20°|＝cos20°－sin20°.

11．已知sinα是方程5x2－7x－6＝0的根，α是第三象限角，则＝________.

[答案]　

[解析]　由已知得sinα＝－.

∵α是第三象限角，∴cosα＝－＝－.

∴原式＝＝＝.

12．若P(－4,3)是角α终边上一点，则的值为________．

[答案]　－

[解析]　由已知得sinα＝，原式＝

＝＝－＝－.

13．式子cos2＋cos2＝________.

[答案]　1

[解析]　原式＝sin2＋cos2

＝sin2＋cos2＝1.

14．若tan(π－α)＝2，则2sin(3π＋α)·cos＋sin·sin(π－α)的值为________．

[答案]　2

[解析]　∵tan(π－α)＝2，∴tanα＝－2，

∴原式＝－2sinα·(－sinα)＋(－cosα)·sinα

＝2sin2α－sinαcosα＝

＝＝＝2.

三、解答题

15．已知cos(75°＋α)＝，α是第三象限角，求sin(195°－α)＋cos(α－15°)的值．

[解析]　∵cos(75°＋α)＝>0，α是第三象限角，

∴75°＋α是第四象限角，

且sin(75°＋α)＝－＝－.

∴sin(195°－α)＋cos(α－15°)

＝sin[180°＋(15°－α)]＋cos(15°－α)

＝－sin(15°－α)＋cos(15°－α)

＝－sin[90°－(75°＋α)]＋cos[90°－(75°＋α)]

＝－cos(75°＋α)＋sin(75°＋α)

＝－－＝－.

16．已知x∈R，n∈Z，且f(sinx)＝sin(4n＋1)x，求f(cosx)．

[解析]　f(cosx)＝f

＝sin

＝sin

＝sin＝cos(4n＋1)x.

17．若sinα，cosα是关于x的方程3x2＋6mx＋2m＋1＝0的两根，求实数m的值．

[解析]　，

由②③得4m2＝1＋，∴12m2－4m－5＝0.

∴m＝－或m＝，m＝不适合①，m＝－适合①，

∴m＝－.

18．已知sin(3π－α)＝cos，cos(π－α)＝·cos(π＋β)，且0<α<π，0<β<π，求sinα和cosβ.

[解析]　由已知得sinα＝sinβ①

cosα＝cosβ②

①2＋②2得sin2α＋3cos2α＝2，

即sin2α＋3(1－sin2α)＝2，所以sin2α＝.

又0<α<π，则sinα＝.

将sinα＝代入①得sinβ＝.故cosβ＝±.

[点评]　cos(π－α)＝cos(π＋β)可化为cosα＝cosβ，利用sin2β＋cos2β＝1求解，也可化为cosα＝cosβ，利用sin2α＋cos2α＝1求解．