数学必修41.3 三角函数的诱导公式教案

三角函数的诱导公式(1)

教学目标

1.理解正弦、余弦的诱导公式二、三、四的推导过程；

2.掌握公式二、三、四，并会正确运用公式进行有关计算、化简；

3.了解、领会把未知问题化归为已知问题的数学思想，提高分析问题、解决问题的能力。

教学重点、难点

四组诱导公式、以及这四组公式的综合运用．

教学过程

一．问题情境

1．情境：

（一）复习：

(1)利用单位圆表示任意角的正弦值和余弦值：为角的终边与单位圆的交点

则  ，；

(2)由三角函数定义可以知道：终边相同的角的同一三角函数相等．

即有

2．问题：

除此之外还有一些角，它们的终边具有某种特殊关系，如关于坐标轴对称、关于原点对称等，那么它们的三角函数有何关系呢？

二．学生活动

如果角的终边与角的终边关于轴对称，那么与的三角函数值之间有什么关系？

设角，的终边分别与单位圆交于点，，则点和点关于轴对称（如图）．又根据三角函数的定义，点的坐标是，点的坐标是．故有．

由同角三角函数关系得．

特别地，角与角的终边关于轴对称，故有

如果角的终边与角的终边关于轴对称，或是关于原点对称，那么与的三角函数值之间有什么关系？

三．建构数学

三角函数的诱导公式：

(1)公式一：

(2)公式二：

(3)公式三：

(3)公式四：

说明：①公式中的指使公式两边有意义的任意一个角；

②若是角度制，同样成立,如，；

③公式特点：函数名不变，符号看象限；

四．数学运用

1．例题：

例1．求下列三角函数值：（1）；  （2）； （3）．

分析：先将不是范围内角的三角函数，转化为范围内的角的三角函数（利用诱导公式一）或先将负角转化为正角然后再用诱导公式化到范围内角的三角函数的值。

解：（1）（诱导公式一）

（诱导公式四）．

（2）（诱导公式二）（诱导公式一）

（诱导公式四）．

（3）

小结：用诱导公式可将任意角的三角函数化为锐角的三角函数，其一般步骤是：

①化负角的三角函数为正角的三角函数；

②化大于的正角的三角函数为内的三角函数；

③化内的三角函数为锐角的三角函数．

可概括为：“负化正，大化小，化到锐角为终了”（有时也直接化到锐角求值）．

例2．判断下列函数的奇偶性：

（1）；   （2）．

解 （1）因为函数的定义域是，且，

       所以是偶函数．

   （2）因为函数的定义域是，且

       ，

       所以是奇函数．

说明：公式二可直接对应三角函数的奇偶性．

例3．化简．

解：①当时，

原式．

②当时，

原式．

说明：关键抓住题中的整数是表示的整数倍与公式一中的整数有区别，所以必须把分成奇数和偶数两种类型，分别加以讨论．

五．回顾小结：

1．熟练运用公式化简、求值及证明；

2．用诱导公式可将任意角的三角函数化为锐角的三角函数的一般步骤；

3．运用化归思想和分类讨论的思想分析解决问题．

六．课外作业：

1．化简：

（1）；

（2）；

（3）．

2．已知，且是第四象限角，求的值．