选修2-21.5定积分的概念习题

1.7.2　定积分在物理中的应用

1．一物体沿直线以v＝3t＋2(t单位：s，v单位：m/s)的速度运动，则该物体在3～6 s间的运动路程为

(　　)．

A．46 m   B．46.5 m 

C．87 m   D．47 m

解析　s＝(3t＋2)dt＝

＝(54＋12)－＝46.5(m)．故选B.

答案　B

2．以初速40 m/s竖直向上抛一物体，t s时刻的速度v＝40－10t2，则此物体达到最高时的高度为

(　　)．

A. m   B. m 

C. m   D. m

解析　由v＝40－10t2＝0⇒t2＝4，t＝2.

∴h＝ (40－10t2)dt＝

＝80－＝(m)．

答案　A

3．一物体在力F(x)＝3x2－2x＋5(力单位：N，位移单位：m)作用力下，沿与力F(x)相同的方向由x＝5 m直线运动到x＝10 m处做的功是

(　　)．

A．925 J  B．850 J  C．825 J  D．800 J

解析　W＝F(x)dx＝ (3x2－2x＋5)dx

＝(x3－x2＋5x)

＝(1 000－100＋50)－(125－25＋25)＝825(J)．

答案　C

4．质点直线运动瞬时速度的变化律为v(t)＝－3sin t，则t1＝3至t2＝5时间内的位移是________．(精确到0.01)

解析　s＝v(t)dt＝ (－3sin t)dt＝3cos t＝3(cos 5－cos 3)≈3.82 m.

答案　3.82 m

5．变速直线运动的物体的速度v(t)＝5－t2，前2 s所走过的路程为________．

解析　设前2 s所走过的路程为x(2)，∴x(2)＝v(t)dt＝ (5－t2)dt，∴x(2)＝＝.

答案　

6．物体A以速度vA＝3t2＋1(米/秒)在一直线上运动，同时物体B以速度vB＝10t(米/秒)在同一直线上与物体A同方向运动，问多长时间物体A比B多运动5米，此时，物体A、B运动的路程各是什么？

解　依题意知物体A、B均作变速直线运动，所以可借助变速直线运动的路程公式求解．A从开始到t秒所走的路程为

sA＝vAdt＝ (3t2＋1)dt＝t3＋t；

B从开始到t秒所走的路程为sB＝vBdt＝10 tdt＝5t2.

由题意得：sA＝sB＋5，即t3＋t＝5t2＋5，得t＝5(秒)．

此时，sA＝53＋5＝130(米)，sB＝5×52＝125(米)．

答　5秒后物体A比B多运动5米，此时，物体A、B运动的路程分别是130米和125米．

7．如果用1 N的力能将弹簧拉长1 cm，为了将弹簧拉长6 cm，所耗费的功为

(　　)．

A．0.18 J   B．0.26 J 

C．0.12 J   D．0.28 J

解析　设F(x)＝kx，当F＝1 N时，x＝0.01 m，则k＝100.W＝100xdx＝50x2＝0.18(J)．故选A.

答案　A

8．一物体以速度v(t)＝3t2－2t＋3做直线运动，它在t＝0和t＝3这段时间内的位移是

(　　)．

A．9  B．18  C．27  D．36

解析　s＝v(t)dt＝ (3t2－2t＋3)dt＝(t3－t2＋3t)＝33－32＋3×3－0＝27.故选C.

答案　C

9．汽车以每小时32 km的速度行驶，到某处需要减速停车，设汽车以加速度a＝－1.8 m/s2刹车，则从开始刹车到停车，汽车所走的路程约为________．

解析　t＝0时，v0＝32 km/h＝m/s＝ m/s.刹车后减速行驶，v(t)＝v0＋at＝－1.8 t．停止时，v(t)＝0，则－1.8 t＝0，得t＝ s，所以汽车所走的距离

s＝v(t)dt＝≈21.95(m)．

答案　21.95 m

10．如图所示，将一弹簧从平衡位置拉到离平衡位置l m处，则克服弹簧力所做的功为________．

解析　在弹性限度内，拉伸(压缩)弹簧所需的力与弹簧拉伸(压缩)的长度成正比，即F(x)＝kx，其中k为比例系数．由变力做功公式得W＝kxdx＝kx2＝kl2(J)．

答案　kl2(J)

11．一物体按规律x＝bt3作直线运动，式中x为时间t内通过的距离，媒质的阻力与速度的平方成正比，试求物体由x＝0运动到x＝a时，阻力做的功．

解　物体的速度v＝x′(t)＝(bt3)′＝3bt2，媒质阻力F阻＝kv2＝k·(3bt2)2＝9kb2t4.(其中k为比例常数，k>0)

当x＝0时，t＝0，当x＝a时，t＝t1＝，

ka2.

12．(创新拓展)A、B两站相距7.2 km，一辆电车从A站开往B站，电车开出t s后到达途中C点，这一段速度为1.2 t(m/s)，到C点速度达24 m/s，从C点到B站前的D点以等速行驶，从D点开始刹车，经t s后，速度为(24－1.2 t)m/s，在B点恰好停车，试求：

(1)A、C间的距离；

(2)B、D间的距离；

(3)电车从A站到B站所需的时间．

解　(1)设A到C经过t1 s，

由1.2t1＝24得t1＝20(s)，

∴AC＝1.2tdt＝0.6 t2＝240(m)．

(2)设从D―→B经过t2s，

由24－1.2 t2＝0得t2＝20(s)，

∴DB＝∫200(24－1.2t)dt＝240(m)．

(3)CD＝7 200－2×240＝6 720(m)．

从C到D的时间为t3＝＝280(s)．

于是所求时间为20＋280＋20＝320(s)．