人教版新课标A选修2-21.7定积分的简单应用课后测评

§1.7.1　定积分在几何中的应用 §1.7.2　定积分在物理中的应用

[限时50分钟，满分80分]

一、选择题(每小题5分，共30分)

1．做直线运动的质点在任意位置x处，所受力F(x)＝1＋ex，则质点沿着与F(x)相同的方向，从点x1＝0处运动到点x2＝1处，力F(x)所做的功是

A．1＋e　　　　　　　　     B．e

C.           D．e－1

解析　W＝(1＋ex)dx＝(x＋ex)＝e.故选B.

答案　B

2．如图，阴影部分的面积是

A．2          B．－2

C.           D.

解析　S＝(3－x2－2x)dx

＝＝.

答案　C

3．汽车以32 m/s的速度行驶，到某处需要减速停车，设汽车以加速度a＝－8 m/s2匀减速刹车，则从开始刹车到停车，汽车行驶的路程为

A．128 m         B．64 m

C．32 m         D．80 m

解析　由匀减速运动可得vt＝v0＋at，

其中v0＝32 m/s，a＝－8 m/s2，

故vt＝32－8t，令vt＝0，得t＝4，

即刹车时间为4 s，可得刹车距离为

s＝(32－8t)dt＝(32t－4t2)＝64(m)．

答案　B

4．一物体从A处向B处运动，速度为1.4t m/s(t为运动的时间)，到B处时的速度为35 m/s，则AB间的距离为

A．120 m         B．437.5 m

C．360 m         D．480 m

解析　由1.4t＝35得t＝25，

∴|AB|＝1.4tdt＝0.7t2＝0.7×252＝437.5.

答案　B

5．曲线y＝x2＋2x与直线x＝－1，x＝1及x轴所围成的图形的面积为

A．2          B.

C.          D.

解析　曲线y＝x2＋2x与直线x＝－1，x＝1及x轴所围成的图形面积如下图中阴影部分，

S＝(x2＋2x)dx－(x2＋2x)dx

＝－

＝＋1－＋1＝2.

答案　A

6．由直线x＝－2，x＝2，y＝0及曲线y＝x2－x所围成的平面图形的面积为

A.          B.

C.          D.

解析　画出直线x＝－2，x＝2，y＝0和曲线y＝x2－x，则所求面积S为图中阴影部分的面积．

∴S＝(x2－x)dx＋＋(x2－x)dx

＝＋＋

＝0－＋＋－

＝＋＋＝.

答案　B

二、填空题(每小题5分，共15分)

7．由曲线y＝x2和y2＝x所围成的图形的面积为______．

解析　两曲线的交点的横坐标为x＝0，x＝1，

因此所求图形的面积为：

S＝dx－x2dx

＝

＝－＝.

答案　

8．如果用1 N的力能拉长弹簧1 cm，那么为了将弹簧拉长6 cm需做功________J.

解析　在弹性限度内，拉伸(或压缩)弹簧所需的力F(x)(单位：N)与弹簧拉伸(或压缩)的长度x(单位：m)成正比，即F(x)＝kx(常数k是比例系数)．由题意知，当F(x)＝1 N时，x＝0.01 m，可得k＝100.

由变力做功公式，得到将弹簧拉长6 cm耗费的功

W＝100xdx＝50x2＝0.18(J)．

答案　0.18

9．汽车以每小时32 km的速度行驶，到某处需要减速停车，设汽车以加速度a＝－1.8 m/s2刹车，则从开始刹车到停车，汽车所走的路程约为________ m．(精确到0.01)

解析　t＝0时，v0＝32 km/h＝ m/s＝ m/s.刹车后减速行驶，v(t)＝v0＋at＝－1.8t.

停止时，v(t)＝0，则－1.8t＝0，得t＝ s，

所以汽车所走的路程

s＝v(t)dt＝≈21.95(m)．

答案　21.95 m

三、解答题(本大题共3小题，共35分)

10．(10分)求由抛物线y＝－x2＋4x－3及其在点A(1，0)和点B(3，0)处的切线所围成图形的面积．

解析　由y′＝－2x＋4得在点A、B处切线的斜率分别为2和－2，

则两直线方程分别为y＝2x－2和y＝－2x＋6，

由得两直线交点坐标为C(2，2)，

∴S＝S△ABC－(－x2＋4x－3)dx

＝×2×2－

＝2－＝.

11．(12分)直线y＝kx分抛物线y＝x－x2与x轴所围图形为面积相等的两部分，求k的值．

解析　抛物线y＝x－x2与x轴两交点的横坐标x1＝0，x2＝1，所以抛物线与x轴所围图形的面积

S＝0＝－＝.

抛物线y＝x－x2与y＝kx两交点的横坐标

x1′＝0，x2′＝1－k，

所以＝0

＝(1－k)3.

又S＝，所以(1－k)3＝.

∴k＝1－ ＝1－.

12．(13分)有一动点P沿x轴运动，在时间t时的速度为v(t)＝8t－2t2(速度的正方向与x轴正方向一致)．求：

(1)P从原点出发，当t＝6时，求点P离开原点的路程和位移；

(2)P从原点出发，经过时间t后又返回原点时的t值．

解析　(1)由v(t)＝8t－2t2≥0得0≤t≤4，

即当0≤t≤4时，P点向x轴正方向运动，

当t＞4时，P点向x轴负方向运动．

故t＝6时，点P离开原点的路程

s1＝(8t－2t2)dt－(8t－2t2)dt

＝－＝.

当t＝6时，点P的位移为

(8t－2t2)dt＝＝0.

(2)依题意(8t－2t2)dt＝0，

即4t2－t3＝0，解得t＝0或t＝6，

t＝0对应于P点刚开始从原点出发的情况，t＝6是所求的值．