数学选修2-21.5定积分的概念达标测试

章末检测卷（一）

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)

1．已知曲线y＝x2＋2x－2在点M处的切线与x轴平行，则点M的坐标是(　　)

A．(－1,3)   B．(－1，－3)

C．(－2，－3)   D．(－2,3)

答案　B

解析　∵f′(x)＝2x＋2＝0，∴x＝－1.

f(－1)＝(－1)2＋2×(－1)－2＝－3.

∴M(－1，－3)．

2．函数y＝x4－2x2＋5的单调递减区间是(　　) 

A．(－∞，－1)和(0,1)   B．(－1,0)和(1，＋∞)

C．(－1,1)   D．(－∞，－1)和(1，＋∞)

答案　A

解析　y′＝4x3－4x＝4x(x2－1)，令y′<0得x的范围为(－∞，－1)∪(0,1)，故选A.

3．函数f(x)＝x3＋ax2＋3x－9，在x＝－3时取得极值，则a等于(　　)

A．2  B．3  C．4  D．5

答案　D

解析　f′(x)＝3x2＋2ax＋3.∵f(x)在x＝－3时取得极值，

即f′(－3)＝0，∴27－6a＋3＝0，∴a＝5.

4．函数y＝ln的大致图象为(　　)

答案　D

解析　函数的图象关于x＝－1对称，排除A、C，当x>－1时，y＝－ln(x＋1)为减函数，故选D.

5．一物体在变力F(x)＝5－x2(力单位：N，位移单位：m)作用下，沿与F(x)成30°方向作直线运动，则由x＝1运动到x＝2时F(x)作的功为(　　)

A.J   B.J

C.J   D．2J

答案　C

解析　由于F(x)与位移方向成30°角．如图：F在位移方向上的分力F′＝F·cos 30°，

W＝ʃ(5－x2)·cos 30°dx

＝ʃ(5－x2)dx

＝(5x－x3)|＝×＝(J)．

6．二次函数y＝f(x)的图象过原点，且它的导函数y＝f′(x)的图象是过第一、二、三象限的一条直线，则函数y＝f(x)的图象的顶点所在象限是(　　)

A．一  B．二  C．三  D．四

答案　C

解析　∵y＝f′(x)的图象过第一、二、三象限，故二次函数y＝f(x)的图象必然先下降再上升且对称轴在原点左侧，又因为其图象过原点，故顶点在第三象限．

7．已知函数f(x)＝－x3＋ax2－x－1在(－∞，＋∞)上是单调函数，则实数a的取值范围是(　　)

A．(－∞，－]∪，＋∞)

B．－，]

C．(－∞，－]∪，＋∞)

D．－，3]

答案　B

解析　在f′(x)＝－3x2＋2ax－1≤0在(－∞，＋∞)恒成立，Δ＝4a2－12≤0⇒－≤a≤.

8．已知函数y＝f(x)的图象在点M(1，f(1))处的切线方程是y＝x＋2，f(1)＋f′(1)的值等于(　　)

A．1  B.  C．3  D．0

答案　C

解析　由已知切点在切线上，所以f(1)＝＋2＝，切点处的导数为切线斜率，所以f′(1)＝，

所以f(1)＋f′(1)＝3.

9．曲线y＝sin x，y＝cos x与直线x＝0，x＝所围成的平面区域的面积为(　　)

A．(sin x－cos x)dx   B．2(sin x－cos x)dx

C．(cos x－sin x)dx   D．2(cos x－sin x)dx

答案　D

解析　如图所示，两阴影部分面积相等，所示两阴影面积之和等于0<x<阴影部分面积的2倍．故选D.

10．设函数f(x)＝x－ln x(x>0)，则y＝f(x)(　　)

A．在区间(，1)，(1，e)内均有零点

B．在区间(，1)，(1，e)内均无零点

C．在区间(，1)内无零点，在区间(1，e)内有零点

D．在区间(，1)内有零点，在区间(1，e)内无零点

答案　C

解析　由题意得f′(x)＝，令f′(x)>0得x>3；令f′(x)<0得0<x<3；f′(x)＝0得x＝3，故知函数f(x)在区间(0,3)上为减函数，在区间(3，＋∞)上为增函数，在点x＝3处有极小值1－ln 3<0；又f(1)＝>0，f(e)＝－1<0，f()＝＋1>0.

11．方程2x3－6x2＋7＝0在(0,2)内根的个数为(　　)

A．0  B．1  C．2  D．3

答案　B

解析　令f(x)＝2x3－6x2＋7，

∴f′(x)＝6x2－12x，

由f′(x)>0得x>2或x<0；由f′(x)<0得0<x<2；又f(0)＝7>0，f(2)＝－1<0，

∴方程在(0,2)内只有一实根．

12．设曲线y＝xn＋1(n∈N*)在(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，则log2 014x1＋log2 014x2＋…＋log2 014x2 015的值为(　　)

A．－log2 0142 013   B．－1

C．(log2 0142 013)－1   D．1

答案　B

解析　∵y′|x＝1＝n＋1，

∴切线方程为y－1＝(n＋1)(x－1)，

令y＝0，得x＝1－＝，即xn＝.

所以log2 014x1＋log2 014x2＋…＋log2 014x2 013

＝log2 014(x1·x2·…·x2 013)

＝log2 014＝log2 014＝－1.

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)

13．若曲线y＝kx＋ln x在点(1，k)处的切线平行于x轴，则k＝________.

答案　－1

解析　∵y′＝k＋，∴y′|x＝1＝k＋1＝0，∴k＝－1.

14．已知函数f(x)＝－x3＋ax在区间(－1,1)上是增函数，则实数a的取值范围是________．

答案　a≥3

解析　由题意应有f′(x)＝－3x2＋a≥0，在区间(－1,1)上恒成立，则a≥3x2，x∈(－1,1)恒成立，故a≥3.

15．在平面直角坐标系xOy中，点P在曲线C：y＝x3－10x＋3上，且在第二象限内，已知曲线C在点P处的切线的斜率为2，则点P的坐标为________

答案　(－2,15)

解析　y′＝3x2－10＝2⇒x＝±2，又点P在第二象限内，∴x＝－2，得点P的坐标为(－2,15)

16．函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2，在x＝1时有极值10，那么a，b的值分别为________．

答案　4，－11

解析　f′(x)＝3x2＋2ax＋b，f′(1)＝2a＋b＋3＝0，f(1)＝a2＋a＋b＋1＝10，

，解得，或，当a＝－3时，x＝1不是极值点，a，b的值分别为4，－11.

三、解答题(本大题共6小题，共70分)

17．(10分)设函数f(x)＝2x3－3(a＋1)x2＋6ax＋8，其中a∈R.已知f(x)在x＝3处取得极值．

(1)求f(x)的解析式；

(2)求f(x)在点A(1,16)处的切线方程．

解　(1)f′(x)＝6x2－6(a＋1)x＋6a.

∵f(x)在x＝3处取得极值，

∴f′(3)＝6×9－6(a＋1)×3＋6a＝0，

解得a＝3.

∴f(x)＝2x3－12x2＋18x＋8.

(2)A点在f(x)上，

由(1)可知f′(x)＝6x2－24x＋18，

f′(1)＝6－24＋18＝0，

∴切线方程为y＝16.

18．(12分)已知f(x)＝log3，x∈(0，＋∞)，是否存在实数a、b，使f(x)同时满足下列两个条件：(1)f(x)在(0,1)上是减函数，在1，＋∞)上是增函数；(2)f(x)的最小值是1，若存在，求出a、b，若不存在，说明理由．

解　设g(x)＝，∵f(x)在(0,1)上是减函数，在1，＋∞)上是增函数，

∴g(x)在(0,1)上是减函数，在1，＋∞)上是增函数，

∴，∴，解得

经检验，a＝1，b＝1时，f(x)满足题设的两个条件．

19．(12分)设函数f(x)＝ln x＋ln(2－x)＋ax(a>0)．

(1)当a＝1时，求f(x)的单调区间；

(2)若f(x)在(0,1]上的最大值为，求a的值．

解　函数f(x)的定义域为(0,2)，

f′(x)＝－＋a.

(1)当a＝1时，f′(x)＝，

所以f(x)的单调递增区间为(0，)，

单调递减区间为(，2)．

(2)当x∈(0,1]时，f′(x)＝＋a>0，

即f(x)在(0,1]上单调递增，故f(x)在(0,1]上的最大值为f(1)＝a，因此a＝.

20．(12分)某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为30元，并且每件产品需向总公司缴纳a元(a为常数，2≤a≤5)的管理费，根据多年的管理经验，预计当每件产品的售价为x元时，产品一年的销售量为(e为自然对数的底数)万件．已知每件产品的售价为40元时，该产品的一年销售量为500万件，经物价部门核定每件产品的售价x最低不低于35元，最高不超过41元．

(1)求分公司经营该产品一年的利润L(x)(万元)与每件产品的售价x的函数关系式；

(2)当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L(x)最大？并求出L(x)的最大值．

解　(1)由于年销售量为Q(x)＝，则＝500，

所以k＝500e40，则年售量为Q(x)＝万件，

则年利润L(x)＝(x－a－30)

＝500e40·(35≤x≤41)．

(2)L′(x)＝500e40·.

①当2≤a≤4时，33≤a＋31≤35，

当35≤x≤41时，L′(x)≤0；

所以x＝35时，L(x)取最大值为500(5－a)e5.

②当4<a≤5时，35<a＋31≤36，

令L′(x)＝0，得x＝a＋31，易知x＝a＋31时，L(x)取最大值为500e9－a.

综上所述，当2≤a≤4，每件产品的售价为35元时，该产品一年的利润最大，最大利润为500(5－a)e5万元；当4<a≤5，每件产品的售价为(31＋a)元时，该产品一年的利润最大，最大利润为500e9－a万元．

21．(12分)设f(x)＝a(x－5)2＋6ln x，其中a∈R，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与y轴相交于点(0,6)．

(1)确定a的值；

(2)求函数f(x)的单调区间与极值．

解　(1)因为f(x)＝a(x－5)2＋6ln x，

故f′(x)＝2a(x－5)＋.

令x＝1，得f(1)＝16a，f′(1)＝6－8a，

所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为

y－16a＝(6－8a)(x－1)，

由点(0,6)在切线上可得6－16a＝8a－6，故a＝.

(2)由(1)知，f(x)＝(x－5)2＋6ln x(x>0)，

f′(x)＝x－5＋＝.

令f′(x)＝0，解得x1＝2，x2＝3.

当0<x<2或x>3时，f′(x)>0，

故f(x)在(0,2)和(3，＋∞)上为增函数；

当2<x<3时，f′(x)<0，故f(x)在(2,3)上为减函数．

由此可知，f(x)在x＝2处取得极大值f(2)＝＋6ln 2，在x＝3处取得极小值f(3)＝2＋6ln 3.

22．(12分)已知函数f(x)＝ax3－x2＋1(x∈R)，其中a>0.

(1)若a＝1，求曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程；

(2)若在区间－，]上，f(x)>0恒成立，求a的取值范围．

解　(1)当a＝1时，f(x)＝x3－ x2＋1，f(2)＝3.

f′(x)＝3x2－3x，f′(2)＝6，所以曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为

y－3＝6(x－2)，即y＝6x－9.

(2)f′(x)＝3ax2－3x＝3x(ax－1)．

令f′(x)＝0，解得x＝0或x＝.

以下分两种情况讨论：

①若0<a≤2，则≥.

当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：

当x∈－ ，]时，

f(x)>0等价于即

解不等式组得－5<a<5.因此0<a≤2.

②若a>2，则0<<.

当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：

当x∈－，]时，

f(x)>0等价于即

解不等式组得<a<5或a<－.

因此2<a<5.

综合①②，可知a的取值范围为0<a<5.